Η αναζήτηση βρήκε 123 εγγραφές

από nickchalkida
Παρ Φεβ 26, 2021 8:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Τομή εφαπτομένων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 167

Re: Τομή εφαπτομένων

Και μια γεωμετρική διατύπωση για τις συντεταγμένες του σημείου S.

τετμημένη = ο αριθμητικός μέσος των τετμημένων των A, B
τεταγμένη = ο γεωμετρικός μέσος των τεταγμένων των A, B.
από nickchalkida
Πέμ Φεβ 25, 2021 11:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριχοτόμοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 253

Re: Τριχοτόμοι

Ας είναι $E$ η τομή της $AC$ με την προέκταση της $BS$ και $D$ η τομή της $AC$ με την προέκταση της $BT$. Γράφω τον κύκλο $(T,TC)$, τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$, φέρω την $ET$ και προεκτείνω. (...τα υπόλοιπα όπως στο σχήμα) $\displaystyle{ \begin{aligned} & \left. \begin{aligned} &\t...
από nickchalkida
Τετ Φεβ 24, 2021 1:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 181

Re: Ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα

Παρατήρηση: Θεωρώντας τις υπόριζες ποσότητες στον μαθηματικό τύπο που έδωσε ο Μιχάλης και αναζητώντας ακέραιες λύσεις για τις : $\displaystyle{ \begin{aligned} & \bullet\ 2k^2 + 1 = m^2 \cr & \bullet\ 20k^2 + 1 = m^2 \cr & \cdots \cr & \bullet\ ak^2 + 1 = m^2 \cr \end{aligned} }$ ή ισοδύναμα για τη...
από nickchalkida
Τρί Φεβ 23, 2021 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Διαφορά τετραγώνων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 148

Re: Διαφορά τετραγώνων

Για όσους δεν πιστεύουν ...
από nickchalkida
Τρί Φεβ 23, 2021 11:00 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Γόνιμος τόπος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 143

Re: Γόνιμος τόπος

Επειδή η άσκηση άπτεται της φυσικής, δίνω και μία "φυσική" προσέγγιση. Θεωρώ το κινητό $S$ που ξεκινά από την αρχή των αξόνων κινούμενο με ευθύγραμμη ομαλή ταχύτητα $u$ και συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$, το κινητό $T$ που ξεκινά από το σημείο $(a,0)$ κινούμενο επί του $O_x$ με ομαλή ταχύτητα $v=u$...
από nickchalkida
Δευ Φεβ 22, 2021 10:44 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Μέγιστο γινόμενο
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2235

Re: Μέγιστο γινόμενο

Η κακοκαιρία είχε και το τίμημά της! Αυτό που ήταν διασκεδαστικό ... μια καθαρή διατύπωση της λύσης. Ελπίζω η παρακάτω να ικανοποιεί τα κριτήρια του Γιώργου. Ας είναι $C$ το μέσο του $PQ$ και $D$ το μέσο του $SC$. $\displaystyle{ \begin{aligned} (SP \cdot PQ)_{max} &= (SP \cdot {PQ\over 2})_{max} = ...
από nickchalkida
Κυρ Φεβ 14, 2021 11:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διαφορά λόγων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 181

Re: Διαφορά λόγων

Είναι $QP=QO$ και $SP=OP$. Επειδή $\displaystyle{ \begin{aligned} & QT = QP - TP \leftrightarrow {QP \over QT} - {TP \over QT} = 1 \cr \end{aligned} }$ θα πρέπει ισοδύναμα, να αποδείξω $\displaystyle{ \begin{aligned} & {QP \over QT} = {SP \over PT} \leftrightarrow {QO \over QT} = {OP \over PT} \cr \...
από nickchalkida
Παρ Φεβ 05, 2021 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Η διχοτόμηση του μήνα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 310

Re: Η διχοτόμηση του μήνα

Νομίζω η κατασκευή είναι φανερή από το σχήμα. Με διάμετρο $AE$ γράφω ημικύκλιο που τέμνει την προέκταση της $DC$ στο $Z$. Είναι τότε $S=AZ \cap BC$. Η ανάλυση έγινε προηγουμένως από τον "rek2". Επιπλέον συμφωνώ ότι "ο αναθεματισμός του θεματοδότη θανάση ως μη θεμιτός είναι ανεπιθύμητος". (... ευτυχώ...
από nickchalkida
Παρ Φεβ 05, 2021 10:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτομικά φαινόμενα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 217

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Ζητώ συγνώμη διότι προηγουμένως την άσκηση την έλυσα κάνοντας λάθος στο σχήμα, έτσι επανέρχομαι. Εύκολα βλέπω ότι το $S$ διχοτομεί το τόξο $AT$ και ότι $SA$ διχοτομεί την $\angle BAT$. Υπολογίζω διαδοχικά $\displaystyle{ \begin{aligned} & MD^2 = 6^2 +2.5^2 \rightarrow MD=6.5 \cr & NA \cdot MD = DA \...
από nickchalkida
Παρ Φεβ 05, 2021 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτομικά φαινόμενα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 217

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

Απάντηση μόνο για το β.

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& MN^2 = AN^2 + AM^2 = 2.5^2 + 6^2 \rightarrow MN = 6.5 \cr 
& {MS \over SN} = {MN-SN \over SN} = {MN \over SN} -1 = {6.5 \over 2.5} -1 = 1.6 \cr 
\end{aligned} 
}
από nickchalkida
Παρ Φεβ 05, 2021 10:28 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Η διχοτόμηση του μήνα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 310

Re: Η διχοτόμηση του μήνα

Να συμπληρώσω (για όσους δεν είδαν) το κ.λ.π του "Rec2" και το διασκεδαστικά του Θανάση.
Όταν AB=BE θα πρέπει να είναι SB=SC,
αλλά τότε CZ=BE και ZE=CB άτοπο. (για τυχόν ορθογώνιο)
(... αν υπάρχει, θα πρέπει να προσδιοριστεί το είδος, και ίσως καλύτερη αιτιολόγηση)
από nickchalkida
Παρ Φεβ 05, 2021 9:15 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μήκος διχοτόμου
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 275

Re: Μήκος διχοτόμου

Έχει σχεδόν καλυφθεί, ... μια ακόμα διατύπωση.
από nickchalkida
Πέμ Φεβ 04, 2021 3:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία 55
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 186

Re: Διπλάσια γωνία 55

Επειδή είναι διπλάσια 55, θα είναι $aa=55 \rightarrow a=5$ :mrgreen: (... για λίγο γέλιο) Φέρνω την κάθετη $CH$ επί της $AC$ στο $C$, και έστω $G$, $H$ τα σημεία τομής αυτής με τις εφαπτόμενες από το σημείο $A$ στον κύκλο $(D,DB)$. Εύκολα βλέπω ότι $\angle EDA = 4\theta$ και επειδή το $EDCH$ είναι π...
από nickchalkida
Δευ Ιαν 25, 2021 1:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 51
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 153

Re: Μεγάλες κατασκευές 51

Εύκολα βρίσκω $\displaystyle{ & \left. \begin{aligned} & (2x+y)(x+y) = 40 \cr & {x \over 4} = {y + {x \over 2} \over 3} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow x={8 \sqrt{2} \over 3}, \ \ y={2 \sqrt{2} \over 3} \cr }$ Με πυθαγόρειο τότε $\displaystyle{ PC^2 = AC^2 - AP^2 \rightarrow PC = {4 \over 3} ...
από nickchalkida
Δευ Ιαν 25, 2021 10:25 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ώρα εφαπτομένης 86
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 219

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Ας μην ξεχνάμε και την Ευκλείδεια κατασκευή του \Phi.
από nickchalkida
Τρί Ιαν 19, 2021 9:52 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Αισθητήρας λ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 209

Re: Αισθητήρας λ

Να δώσω και ένα σχήμα για την γεωμετρική κάλυψη, όπου m=5

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& {PB \over OB} = m \rightarrow PB=BT=ST=PS=m \cdot OB \cr 
& \tan\theta = {ST \over OT} = {m \cdot OB \over OB + m \cdot OB} =  {m \over m+1}, \ \ \ m \neq -1 \cr 
\end{aligned} 
}
από nickchalkida
Παρ Ιαν 15, 2021 11:31 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Απαντήσεις: 26
Προβολές: 1318

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Στο ίδιο πνεύμα με αυτό της προηγούμενης απάντησης από τον Μιχάλη. Την καταγράφω για τον κόπο και την ελάχιστη διαφορετικότητα. Οι διχοτόμοι $BE$, $CD$ τέμνονται στο $K$, και είναι $GH \parallel BE$ και $HF \parallel DC$. Είναι τότε $\displaystyle{ {AB \over BH} = {AB \over BG} = {AK \over KH} = {AC...
από nickchalkida
Τρί Ιαν 12, 2021 2:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα εφαπτομένης 80
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 209

Re: Ώρα εφαπτομένης 80

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι: $\displaystyle{ \begin{aligned} & PE = FO = SK = EL = 3\cot\theta \cr & HD = OG = KT = LH = 3\tan(\theta -45) \cr \end{aligned} }$ Όταν $PT = 5$ θα είναι προφανώς $PH = 4$, οπότε τότε παίρνουμε: $\displaystyle{ \begin{aligned} & 3\cot\theta + 3\cot\theta + 3\...
από nickchalkida
Δευ Ιαν 11, 2021 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 255

Re: Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

Επειδή η $B\widehat{A}C$ διχοτομείται το $A$ βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου του $BC$ και επειδή η $B\widehat{A}S$ τριχοτομείται το $A$ θα προσδιορίζεται από την υπερβολή $(B,G,C)$. (Για την συγκεκριμένη κατασκευή το $A$ ανήκει στο παραπληρωματικό τόξο.) Κάνοντας χρήση κάποιων Απολλώνιων ιδιοτήτων, πα...
από nickchalkida
Δευ Ιαν 11, 2021 6:53 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κάθετες χορδές στον Αρχιμήδη
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 632

Re: Κάθετες χορδές στον Αρχιμήδη

Άλλη μία, παραστατική, μη συμβατική απόδειξη, βασισμένη στην πρόταση $9$ του "Περί Λημμάτων", κατά την οποία δύο κάθετες χορδὲς σε ένα κύκλο, ορίζουν απέναντι τόξα παραπληρωματικά. Δηλαδή ότι $\displaystyle{ \overset{\frown} {AC} + \overset{\frown} {BD} = \overset{\frown} {CB} + \overset{\frown} {AD...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση