Η αναζήτηση βρήκε 57 εγγραφές

από nickchalkida
Τετ Μαρ 20, 2019 3:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Η σκάλα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 460

Re: Η σκάλα

Σκεπτόμενος να δώσω, όσο το δυνατόν πιο απλό σκεπτικό, κατέληξα στο ακόλουθο. Για να περάσει η σκάλα, πρέπει να περάσουν όλα τα σημεία της. Άρα πρέπει να περάσει και το μέσον. Ο γεωμετρικός τόπος όμως του μέσου της σκάλας $M$ είναι τo τεταρτοκύκλιο $HMG$, διότι $BM={AC \over 2}=c$. Δηλαδή για να περ...
από nickchalkida
Τρί Μαρ 19, 2019 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αποδείξτε την ορθότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 339

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Από την ομοιότητα των τριγώνων $ADB$ καἰ $CZB$, συμπεραίνουμε: $\displaystyle{ {ZC \over ZB} = {AD \over BD} = 3 \rightarrow ZC = 3 \cdot ZB }$ Από πυθαγόρειο τώρα στο $CZB$ έχουμε: $\displaystyle{ ZB^2 + (3ZB)^2 = 25 \rightarrow ZB = {\sqrt{10} \over 2} }$ αλλά $AB^2=2^2+6^2 \rightarrow AB = \sqrt{...
από nickchalkida
Τετ Ιαν 09, 2019 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα λόγω προόδου
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 439

Re: Καθετότητα λόγω προόδου

Λύση παρόμοια με του άλλου Νίκου (Δόλορου) αλλά περιοριστική ως προς το είδος του τριγώνου (6-7-8)... (Η λύση του Νίκου Δόλορου είναι πιο γενική) Ας υποθέσουμε ότι οι πλευρές του τριγώνου είναι όροι αριθμητικης προόδου ως ακολούθως $AB=12w$, $AC=14w$ και $BC=16w$. Θα είναι τότε $TC=2w$ και $SC=4w$. ...
από nickchalkida
Τετ Ιαν 09, 2019 2:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 320

Re: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

θεωρώντας γνωστό ότι Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $M$ για τα οποία το αθροισμα των τετραγώνων δύο δοθέντα σημεία $A$, $B$ είναι σταθερό και ίσο με $k^2$ είναι κύκλος με κέντρο το μέσο του $AB$ και ακτίνα ίση με $\displaystyle{ r = \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} }$ και παρατηρώντας στο πρόβλη...
από nickchalkida
Τετ Ιαν 09, 2019 1:10 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μεγαλώνει αλλά ...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 327

Re: Μεγαλώνει αλλά ...

Έστω το τρίγωνο $AST$ με $AS=1$, $AT=2$, $ST=1,5$. 1) $N$ η τομή της μεσοκαθέτου του $TS$ με την $AS$. 2) $C$ η τομή της παραλλήλου από το $N$ με την $TS$ και της $AT$. 3) $B$ το άλλο σημείο τομης του κύκλου $(C,CT)$ με την $AS$. Τότε το τριγωνο $ABC$ πληρεί τις προυποθέσεις του προβλήματος. Παρόμοι...
από nickchalkida
Σάβ Ιαν 05, 2019 8:18 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λεπτεπίλεπτη αύξηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 292

Re: Λεπτεπίλεπτη αύξηση

Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και τους άξονες εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Έστω $BE=\tan \theta_1$ και $BG=\tan \theta_2$. Μας ενδιαφέρει πότε $(OKL) = (KLEG)$. Τότε θα έχουμε $\displaystyle{ \begin{aligned} & (OEG) = 2 \cdot (OKL) \rightarrow \cr & \tan\theta_2 - \tan\theta_1 = 2 \cdot (\cot...
από nickchalkida
Παρ Ιαν 04, 2019 11:57 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Απάτητη κορυφή
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 430

Re: Απάτητη κορυφή

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
& AB = (5,-2) \cr 
& AD = (4,5) \cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow AB + AD = (9,3) \rightarrow C= (7,2) 
}

Στο τελευταίο βήμα αφαιρέσαμε τις συντεταγμένες του A.
από nickchalkida
Παρ Ιαν 04, 2019 10:04 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1001

Re: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός

... Το είδα κάπου στο facebook και το θεώρησα ενδιαφέρον...
Αντικαθρεπτισμός! :coolspeak:
από nickchalkida
Παρ Δεκ 21, 2018 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ακτινοσκόπηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 247

Re: Ακτινοσκόπηση

Εάν φέρουμε την διχοτόμο $AM$ της $\angle SAC = 45^o$, αυτή θα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου (επειδή AC=AS) και εύκολα προκύπτουν οι γωνίες για το ισοσκελές τρίγωνο $AOB$. Από θεώρημα ημιτόνων τότε: $\displaystyle{ \begin{aligned} & {R \over \sin {(3 \pi / 8)}}={2 \over \sin {(2 \pi / 8)}} \rig...
από nickchalkida
Τετ Δεκ 19, 2018 4:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τρεις διαδρομές
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 306

Re: Τρεις διαδρομές

Επειδή οι λόγοι αποστάσεων και χρόνων θα είναι ίδιοι, έχουμε $\displaystyle{ \begin{aligned} {x \over x \cos a + x \sin a} &= {13 \over 17 } \rightarrow \cr { 1 \over \cos a + \sin a} &= {13 \over 17 } \rightarrow \cr { 1 \over 1 + 2 \cos a \sin a} &= {169 \over 289 } \rightarrow \cr 2 \cos a \sin a...
από nickchalkida
Τρί Δεκ 18, 2018 11:51 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τμήμα υποτείνουσας
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 310

Re: Τμήμα υποτείνουσας

Παρόμοια με την προηγούμενη, θεώρημα διαμέσων στο AST, λαμβάνουμε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
AS^2 + AT^2 &= 2AM^2 + {ST^2 \over 2} \rightarrow \cr 
65 &= 2(4+{x \over 2})^2 + {x^2 \over 2} \rightarrow \cr 
& x^2 +8x-33=0 \rightarrow x=3 \cr 
 
\end{aligned} 
}
από nickchalkida
Δευ Δεκ 17, 2018 4:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυλογάς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 456

Re: Πολυλογάς

Άν (ABM)=(AMC)=E τότε

\displaystyle{ 
{PS \over ST} = {(PSA) \over (STA)} = {PD \over TE} =  {(PMA) \over (MTA)} =  {E - {4E \over 7} \over E - {5E \over 11} } = {11 \over 14} 
}
από nickchalkida
Δευ Δεκ 10, 2018 12:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 359

Re: Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου

α) 'Αλλως. Με θεώρημα Πάππου στις τριάδες σημείων $H, D, \infty$ και $E, B, \infty$. Επειδή τότε $\displaystyle{ \begin{aligned} & S = HB \cap DE \cr & C = D \infty \cap B\infty \cr & Z = H \infty \cap E\infty \cr \end{aligned} }$ β) 'Αλλως. Θεωρώντας πλαγιογώνιο σύστημα συντεταγμένων και το $S$ ως ...
από nickchalkida
Πέμ Δεκ 06, 2018 4:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 299

Re: Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

Φέρνω την κάθετη $AF$. Θα είναι τότε $\displaystyle{ \begin{aligned} {BC \over DE} &= {BC \cdot AF \over DE \cdot AF} = {(ABC) \over (ADE)} \cr &= {AB \cdot HC \over AE \cdot DG} = {AB \cdot AC \cdot \tan(A_1) \over AE \cdot AD \cdot \tan(A_2)} \end{aligned} }$ αρκεί να αποδείξουμε λοιπόν ότι $\angl...
από nickchalkida
Πέμ Δεκ 06, 2018 12:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Λεπτό σημείο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 366

Re: Λεπτό σημείο

1) Θεωρώ το σχεδόν ισοδύναμο σύστημα $\displaystyle{ \begin{aligned} & x+y = 68 \cr & x-y = 24 \cr \end{aligned} }$ και το επιλύω όπως στο σχήμα. Στο σημείο $A=(24,0)$ και με βάση $AB=44$ κατασκευάζω ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ορθή την $C$, οι συντεταγμένες του οποιου είναι οι ρίζες του συστήματ...
από nickchalkida
Τετ Δεκ 05, 2018 4:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθογώνιο τραπέζιο σε ορθογώνιο τρίγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 213

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος θα είναι:

\displaystyle{ 
E = ({bc \over c+a} + {bc \over b+a}){b+c-a \over 2} 
}

Για b=8, c=15, a=17 δίνει E=25.65
από nickchalkida
Τρί Νοέμ 27, 2018 2:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεσοκάθετος και εφαπτομένη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 297

Re: Μεσοκάθετος και εφαπτομένη

Χρησιμοποιώντας την κατασκευή του σχήματος
είναι TA=AB=BC=CD=1 και

\displaystyle{ 
OA = CE = \sqrt{CB \cdot CT} = \sqrt{3} 
}

και με πυθαγόρειο στο AOS

\displaystyle{ 
OS = \sqrt{OA^2 + AS^2}=\sqrt{28} 
}
από nickchalkida
Δευ Νοέμ 12, 2018 12:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 355

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Από δύναμη σημείου S έχω 13y=7x.
Από ομοιότητα τριγώνων MFS, MDE παίρνω

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& \frac{13}{(x+7)/2}=\frac{x+7}{13+y} \rightarrow \\ 
& \frac{(x+7)^2}{2} = 169 + 13y \rightarrow \\ 
& \frac{(x+7)^2}{2} = 169 + 7x \rightarrow  \cdots \rightarrow x=17 \\ 
\end{aligned} 
}
από nickchalkida
Παρ Νοέμ 09, 2018 11:43 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο επόμενος αριθμός
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 593

Re: Ο επόμενος αριθμός

Αν το βρήκα θα παίξω Joker. :wallbash: Η λύση μου to $20$, το γινόμενο των δυο πρώτων στηλών, εναλλάξ +/-, κυκλική μετατόπιση της πρώτης στήλης. $\displaystyle{ \begin{aligned} & 2 \cdot 14 - 2 \cdot 3 = 22 \\ & 3 \cdot 9 + 2 \cdot 4 = 35 \\ & 4 \cdot 6 - 2 \cdot 2 = 20 \\ \end{aligned} }$ από εμένα...
από nickchalkida
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:42 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τρεις κάθετες χορδές
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 386

Re: Τρεις κάθετες χορδές

Πρώτα να ευχηθώ χρόνια πολλά στους Μιχάληδες!
Τώρα για την άσκηση επειδή

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
& c^2 + (2a+c)^2 + b^2 + x^2 = d^2 \\ 
& c \cdot (2a+c) = b\cdot x 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow d^2 = c^2 + (2a+c)^2 + b^2 + \frac{c^2(2a+c)^2}{b^2}   
}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση