Η αναζήτηση βρήκε 1333 εγγραφές

από emouroukos
Παρ Απρ 06, 2018 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: "Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1118

"Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)

Την Κυριακή 18 Μαρτίου πραγματοποιήθηκε στα Ιωάννινα ημερίδα με θέμα τους Γεωμετρικούς Μετασχηματισμούς και ομιλητές τον Κώστα Δόρτσιο και εμένα. Το θέμα της ομιλίας μου ήταν ο " εξωτικός " μετασχηματισμός της αντιστροφής . Μπορείτε να βρείτε την πλήρη παρουσίαση του θέματος (με μικρές αλλαγές) εδώ ...
από emouroukos
Παρ Μαρ 09, 2018 10:38 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2018/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 387

Re: SEEMOUS 2018/2

Έστω $\displaystyle X = ABCD \in {\mathcal{M}_{m,m}}\left( \mathbb{R} \right).$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle X = A{A^t}$ και άρα ο πίνακας $\displaystyle X$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Επίσης, είναι: $\displaystyle {X^3} = \left( {ABC} \right)\left( {DAB} \right)\left( {CDA} \right)\le...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6030

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Αρχιμήδης Μεγάλοι - Θέμα 2ο.png Μια άλλη λύση για το 4ο Θέμα των Μεγάλων μπορεί να δοθεί με χρήση της συμμετρικής αντιστροφής . Θεωρούμε τη συμμετρική αντιστροφή $\displaystyle {\rm T}:{\rm X} \mapsto {\rm X}',$ δηλαδή τη σύνθεση της συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο $\displaystyle \ell $ της γωνίας $...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6030

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Θέμα 4ο μικρών: Αρχιμήδης Μικροί - Θέμα 4ο.png Έστω $\displaystyle x'x$ η εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle c$ στο σημείο $\displaystyle B$. Τότε, είναι $\displaystyle \angle x'{\rm B}\Delta = \angle {\rm B}{\rm A}\Delta = \omega $ (γωνία χορδής και εφαπτομένης). Επίσης, είναι $\displaystyle {\r...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6030

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Θέμα 1 μικρών : (α) Για $\displaystyle x = \frac{1}{2} - \sqrt 3 $ έχουμε ότι $\displaystyle x + \sqrt 3 = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ και $\displaystyle {x^2} + \sqrt 3 = {\left( {\frac{1}{2} - \sqrt 3 } \right)^2} + \sqrt 3 = \frac{1}{4} - \sqrt 3 + 3 + \sqrt 3 = \frac{{13}}{4} \in \mathbb{Q}.$ (...
από emouroukos
Κυρ Φεβ 11, 2018 11:55 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 665

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 3. Στις πλευρές $AD$ και $CD$ παραλληλογράμμου $ABCD$ με κέντρο $O$ σημειώθηκαν σημεία $P$ και $Q$ αντίστοιχα, ώστε $\angle AOP = \angle COQ = \angle ABC$. α) Αποδείξτε, ότι $\angle ABP = \angle CBQ$. β) Αποδείξτε, ότι οι ευθείες $AQ$ και $CP$ τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλ...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 10, 2018 6:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 665

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 5. Το πολυώνυμο $P(x)$ ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: $P(0) =1$, $(P(x))^2 = 1+x+x^{100}Q(x)$ για όλα τα πραγματικά $x$, όπου $Q(x)$ κάποιο πολυώνυμο. Να αποδείξετε, ότι ο συντελεστής του $x^{99}$ του πολυωνύμου $(P(x)+1)^{100}$ είναι ίσος με μηδέν. Επειδή ο αριθμός $0$ είνα...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 10, 2018 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 665

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλες τις τιμές του $a$, για τις οποίες θα βρεθούν τέτοια $x,y$ και $z$, ώστε οι αριθμοί $\cos x, \cos y$ και $\cos z$ να είναι ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους και να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με τη δοθείσα σειρά, επιπλέον οι αριθμοί $\cos (x+a), \cos (y+a)$ κα...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 10, 2018 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 665

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 1. Το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $f(x) =ax^2+bx+c$ παίρνει ετερόσημες τιμές στα σημεία $c$ και $\dfrac{1}{a}$. Αποδείξτε, ότι οι ρίζες του τριωνύμου $f(x)$ έχουν ετερόσημες τιμές. Είναι $\displaystyle f\left( c \right)f\left( {\frac{1}{a}} \right) = \left( {a{c^2} + bc + c} \right)...
από emouroukos
Δευ Φεβ 05, 2018 4:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 652

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

8. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί τέτοιος φυσικός αριθμός $n > 10^{2018}$, ώστε το άθροισμα όλων των πρώτων αριθμών, μικρότερων του $n$, θα είναι σχετικά πρώτο με τον $n$. Για κάθε ακέραιο $n \ge 3$, συμβολίζουμε με $\displaystyle f\left( n \right)$ το άθροισμα των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι...
από emouroukos
Πέμ Φεβ 01, 2018 3:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 448

Ανισότητα υπό συνθήκη!

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c με \displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 ισχύει η ανισότητα:

\displaystyle \left( {{a^2} - 3a + 3} \right)\left( {{b^2} - 3b + 3} \right)\left( {{c^2} - 3c + 3} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}.
από emouroukos
Πέμ Φεβ 01, 2018 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 631

Re: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο

Έστω $\displaystyle {X_n} = \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}$ και $\displaystyle X_n^i = {X_n} \setminus \left\{ i \right\}$ για κάθε $\displaystyle i \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}.$ Συμβολίζουμε με $\cal{A}$ το σύνολο των συναρτήσεων $f$ με τη δοσμένη ιδιότητα και $\cal{B}$ το σύνολο όλων ...
από emouroukos
Τετ Ιαν 31, 2018 6:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 705

Re: Συναρτησιακή

Μια διαφορετική προσέγγιση: Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle g\left( x \right) = f\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Είναι $\displaystyle f\left( {cx - \frac{1}{{c - 1}}} \right) = f\left( {c\left( {x - \frac{1}{{c ...
από emouroukos
Πέμ Ιαν 25, 2018 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπόλοιπο διαίρεσης!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 634

Re: Υπόλοιπο διαίρεσης!

Αν $\displaystyle p = 2,$ τότε $\displaystyle \xi = 2$ και το ζητούμενο υπόλοιπο είναι ίσο με $\displaystyle 0.$ Έστω ότι ο $\displaystyle p$ είναι περιττός πρώτος. $\bullet$ Αν $\displaystyle p \equiv 1\left( {\bmod 4} \right),$ τότε $\displaystyle \left( {\frac{{ - 1}}{p}} \right) = 1$ και άρα υπά...
από emouroukos
Πέμ Ιαν 25, 2018 12:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 1476

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ

Χρόνια Πολλά στο Γρηγόρη Κωστάκο, με υγεία και αδιάκοπη δημιουργικότητα! Θα τα πούμε, ελπίζω, σύντομα και από κοντά.
από emouroukos
Κυρ Ιαν 07, 2018 1:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 2268

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά! Ας αποδείξουμε την τελευταία ισότητα (που αποδίδεται στον Hermite): Αν $a \in \mathbb{Z}$, τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω, λοιπόν, ότι $a \notin \mathbb{Z}$, οπότε $\displaystyle 0 < \left\{ a \right\} < 1.$ Τότε, υπάρχει $\displaystyle k \in \left\{ {1,2, \ldots ,m - 1} \...
από emouroukos
Τετ Δεκ 13, 2017 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μια γεωμετρική ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 558

Re: Μια γεωμετρική ανισότητα!

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $\displaystyle OXY$, ώστε η ευθεία $\displaystyle BC$ να ταυτίζεται με τον άξονα των $\displaystyle X$ και η κάθετη ευθεία από το $\displaystyle A$ προς την $\displaystyle BC$ να ταυτίζεται με τον άξονα των $\displaystyle Y$. Τότε, έχουμε ότι $\displaystyl...
από emouroukos
Δευ Δεκ 04, 2017 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2017/A2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 407

Re: Putnam 2017/A2

Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε ακέραιο $n \ge 2$ ισχύει: $\displaystyle {Q_n}\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right)}^2} - 1}}{{{Q_{n - 2}}\left( x \right)}} \Leftrightarrow {Q_n}\left( x \right){Q_{n - 2}}\left( x \right) - {\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)}...
από emouroukos
Τρί Νοέμ 28, 2017 3:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κριτήριο ισοσκελούς τραπεζίου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 917

Re: Κριτήριο ισοσκελούς τραπεζίου

Εδώ έχει (ουσιαστικά) αποδειχθεί ότι $\displaystyle{{\left( {AB + CD} \right)^2} \ge {\left( {IA + ID} \right)^2} + {\left( {IB + IC} \right)^2}},$ με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν $IA= ID$ και $IB=IC$. Στην περίπτωση αυτή, είναι $\displaystyle \angle IBC = \angle ICB$ και $\displaystyle \angle ...
από emouroukos
Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Συνάρτηση 1-1
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1200

Re: Συνάρτηση 1-1

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle f\left( x \right) = \ln x$ για κάθε $\displaystyle x > 0.$ Έστω ότι υπήρχε $\displaystyle t > 0$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle f\left( t \right) > \ln t.$ Τότε, θα είχαμε ότι: $\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow {e^{f...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση