Η αναζήτηση βρήκε 1354 εγγραφές

από emouroukos
Κυρ Ιαν 19, 2020 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 213

Re: Ανισότητα!

Γεια σου Θάνο και χρόνια σου πολλά! Είναι: $\displaystyle \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right) = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) + {a^2} + {b^2} + 3$ Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες $\displaystyle {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}$ και (από τ...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 18, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4319

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Η προσθήκη των εκφωνήσεων στην αρχική ανάρτηση του Αλέξανδρου έγινε από εμένα, ύστερα από σχετική παράκληση συναδέλφου, στις 1:15 μ.μ. (άρα προφανώς μετά τη λήξη του διαγωνισμού). Το επισήμανα με την ανάρτησή μου #11 παραπάνω, που "ανέβηκε" στις 1:18 μ.μ. Έκρινα ότι τα θέματα πρέπει να βρίσκονται στ...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4319

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Οι ενδεικτικές λύσεις των σημερινών θεμάτων από την Ε.Μ.Ε.
από emouroukos
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4319

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Στην αρχική δημοσίευση του Αλέξανδρου προστέθηκαν οι εκφωνήσεις των σημερινών θεμάτων του Ευκλείδη.
από emouroukos
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σταθερό σημείο αύξουσας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 171

Re: Σταθερό σημείο αύξουσας

Ναι, υπάρχει. Θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο. Έστω $f:\left[ 0,1 \right] \rightarrow \left[ 0,1 \right] $ μια αύξουσα συνάρτηση τέτοια, ώστε $f\left( x \right) \ne x$ για κάθε $x \in \left[ 0,1 \right]$. Θεωρούμε το σύνολο $A=\left\{ x\,\,\in \left[ 0,1 \right] \,\,: f\left( x \right) >x \righ...
από emouroukos
Τρί Νοέμ 19, 2019 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 166

Re: Ανισότητα

Λίγο διαφορετικά από τον Αλέξανδρο, αλλά με την ίδια ιδέα: Με εφαρμογή της βασικής ανισότητας $\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx$ για $\displaystyle x = ab,$ $\displaystyle y = bc$ και $\displaystyle z = ca,$ προκύπτει ότι $\displaystyle {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge ab...
από emouroukos
Τρί Νοέμ 12, 2019 3:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Σειρά με 1-1 συνάρτηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 412

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε $n \in \mathbb{N}$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f\left( k \right)}}{{{k^2}}}} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} ,$ οπότε το συμπέρασμα έπεται άμεσα, αφού η αρμονική σειρά αποκλίνει. Έστω $n \in \mathbb{N}$ και $\displaystyle {A_n} ...
από emouroukos
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Μία με συνεχείς που αντιμετατίθεναι.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 276

Re: Μία με συνεχείς που αντιμετατίθεναι.

Επειδή $f\left( x \right) \ne g\left( x \right) $ για κάθε $x\in \mathbb{R},$ η συνεχής συνάρτηση $f - g$ διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $f\left( x \right) > g\left( x \right) $ για κάθε $x\in \mathbb{R}.$ Τότε, είναι: $f\left( f\left( x \right) \right...
από emouroukos
Κυρ Οκτ 06, 2019 5:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διδακτική των Μαθηματικών
Θέμα: Πόσο φανερό ;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 548

Re: Πόσο φανερό ;

Εννοείται πως ο Γιώργης έχει δίκιο. Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε μια απόδειξη του "φανερού" ισχυρισμού από το βιβλίο του Γιώργου Τσίντσιφα "Επιπεδομετρία" (σελ. 398) - ένα πραγματικό κόσμημα της ελληνικής μαθηματικής βιβλιογραφίας. Χρησιμοποιείται το (διόλου φανερό) Αξίωμα της Συνέχειας...
από emouroukos
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 649

Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P\left( x \right), Q\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ δύο πολυώνυμα τέτοια, ώστε να ισχύει $P\left( P\left( x \right) \right)=\left( Q\left( x \right) \right) ^2.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $R\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ τέτοιο, ώστε $P\left( x \r...
από emouroukos
Σάβ Αύγ 24, 2019 12:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 374

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Γεια σου Τηλέμαχε! Έστω $\displaystyle x$ μια πραγματική ρίζα της δοσμένης εξίσωσης (προφανώς, $\displaystyle x \ne 0$). Διαιρώντας με $\displaystyle {x^2}$ και συμπληρώνοντας τα τετράγωνα, βρίσκουμε ότι $\displaystyle {x^2} + ax + 2 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow $ $\displaystyle...
από emouroukos
Πέμ Μάιος 02, 2019 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3983

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 1: Έστω $\mathbb{P}$ το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$, για τις οποίες ισχύει $\displaystyle f(p)^{f(q)} +q^p = f(q)^{f(p)} +p^q$ για κάθε $p,q \in \mathbb{P}$. Έστω $\displaystyle p,q \in \mathbb{P},$ με $\displaystyle p > q >...
από emouroukos
Πέμ Μάιος 02, 2019 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3983

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 2: Ας είναι $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c$ και $a+b+c = ab+bc+ca > 0$. Να αποδείξετε ότι ισχύει $\sqrt{bc}(a + 1) \geqslant 2$. Να βρείτε όλες τις τριάδες $(a,b,c)$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα. Αν $\displaystyle a > 1,$ τότε...
από emouroukos
Δευ Απρ 29, 2019 9:38 am
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Ένα 4ο θέμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1168

Re: Ένα 4ο θέμα

Καλημέρα! Χριστός Ανέστη και Χρόνια Πολλά σε όλους τους εορτάζοντες! Μερικές παρατηρήσεις πάνω στη λύση του θέματος, που φέρνει στη μνήμη την Άσκηση 6 Β΄Ομάδας (σελ. 152) του σχολικού βιβλίου της Γ΄ Λυκείου και το θέμα Δ3 των Πανελλαδικών Εξετάσεων του 2014... 1. Η παραπάνω απόδειξη του Βασίλη δίνε...
από emouroukos
Τετ Μαρ 27, 2019 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 530

Re: Ανισότητα

Καλημέρα! Μια άλλη προσέγγιση (μέσω μιας γνωστής γενικής μεθόδου). Η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{{xyz}} \Leftrightarrow 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} = \frac{8}{{xyz}}$ $\displaystyle \bf\color{red} \left( 1 \r...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 10341

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 2 Μεγάλων

Το σχήμα - και η απόδειξη (χωρίς λέξεις).
Αρχιμήδης 2019 (Μεγάλοι) - Θέμα 2.png
Αρχιμήδης 2019 (Μεγάλοι) - Θέμα 2.png (104.16 KiB) Προβλήθηκε 5050 φορές
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 10341

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 3 Μεγάλων Έστω $\displaystyle x = \frac{k}{\ell }$ και $\displaystyle y = \frac{m}{n},$ όπου $\displaystyle k,\ell ,m,n$ θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle \left( {k,\ell } \right) = \left( {m,n} \right) = 1.$ Είναι: $\displaystyle y{x^y} = y + 1 \Leftrightarrow \frac{m}{n}{\left( {\frac{k...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 10341

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 1 Μεγάλων Για κάθε $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ είναι $\displaystyle {5^{n - k}}{a_k} = {5^{n - k + 1}}{a_{k - 1}} + {3^{k-1}} \cdot {5^{n - k}}.$ Με πρόσθεση των σχέσεων αυτών κατά μέλη για $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ και διαγράφοντας...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 26, 2019 10:32 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 38940

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 102 Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2006 \}.$ Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5; Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης των αριθμών με το $5$ είναι οι αριθμοί $0,1,2,3,4$. Αφού επιλέγουμε $6$ αριθμούς, δύο από αυτούς...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 26, 2019 10:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 38940

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 101 Οι ακέραιοι $a$,$b$,$c$ και $d$, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο $\{0,1,2,3,\dots,2007 \}$. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $ad - bc$ να είναι άρτιος; Για να είναι ο αριθμός $ad - bc$ άρτιος, πρέπει οι αριθμοί $ad$ και $bc$ να είναι και οι δύο άρτ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση