Η αναζήτηση βρήκε 1349 εγγραφές

από emouroukos
Τρί Νοέμ 19, 2019 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 141

Re: Ανισότητα

Λίγο διαφορετικά από τον Αλέξανδρο, αλλά με την ίδια ιδέα: Με εφαρμογή της βασικής ανισότητας $\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx$ για $\displaystyle x = ab,$ $\displaystyle y = bc$ και $\displaystyle z = ca,$ προκύπτει ότι $\displaystyle {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge ab...
από emouroukos
Τρί Νοέμ 12, 2019 3:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Σειρά με 1-1 συνάρτηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 373

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε $n \in \mathbb{N}$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f\left( k \right)}}{{{k^2}}}} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} ,$ οπότε το συμπέρασμα έπεται άμεσα, αφού η αρμονική σειρά αποκλίνει. Έστω $n \in \mathbb{N}$ και $\displaystyle {A_n} ...
από emouroukos
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Μία με συνεχείς που αντιμετατίθεναι.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 246

Re: Μία με συνεχείς που αντιμετατίθεναι.

Επειδή $f\left( x \right) \ne g\left( x \right) $ για κάθε $x\in \mathbb{R},$ η συνεχής συνάρτηση $f - g$ διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $f\left( x \right) > g\left( x \right) $ για κάθε $x\in \mathbb{R}.$ Τότε, είναι: $f\left( f\left( x \right) \right...
από emouroukos
Κυρ Οκτ 06, 2019 5:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διδακτική των Μαθηματικών
Θέμα: Πόσο φανερό ;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 494

Re: Πόσο φανερό ;

Εννοείται πως ο Γιώργης έχει δίκιο. Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε μια απόδειξη του "φανερού" ισχυρισμού από το βιβλίο του Γιώργου Τσίντσιφα "Επιπεδομετρία" (σελ. 398) - ένα πραγματικό κόσμημα της ελληνικής μαθηματικής βιβλιογραφίας. Χρησιμοποιείται το (διόλου φανερό) Αξίωμα της Συνέχειας...
από emouroukos
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 203

Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P\left( x \right), Q\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ δύο πολυώνυμα τέτοια, ώστε να ισχύει $P\left( P\left( x \right) \right)=\left( Q\left( x \right) \right) ^2.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $R\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ τέτοιο, ώστε $P\left( x \r...
από emouroukos
Σάβ Αύγ 24, 2019 12:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 351

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Γεια σου Τηλέμαχε! Έστω $\displaystyle x$ μια πραγματική ρίζα της δοσμένης εξίσωσης (προφανώς, $\displaystyle x \ne 0$). Διαιρώντας με $\displaystyle {x^2}$ και συμπληρώνοντας τα τετράγωνα, βρίσκουμε ότι $\displaystyle {x^2} + ax + 2 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow $ $\displaystyle...
από emouroukos
Πέμ Μάιος 02, 2019 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3816

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 1: Έστω $\mathbb{P}$ το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$, για τις οποίες ισχύει $\displaystyle f(p)^{f(q)} +q^p = f(q)^{f(p)} +p^q$ για κάθε $p,q \in \mathbb{P}$. Έστω $\displaystyle p,q \in \mathbb{P},$ με $\displaystyle p > q >...
από emouroukos
Πέμ Μάιος 02, 2019 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3816

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 2: Ας είναι $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c$ και $a+b+c = ab+bc+ca > 0$. Να αποδείξετε ότι ισχύει $\sqrt{bc}(a + 1) \geqslant 2$. Να βρείτε όλες τις τριάδες $(a,b,c)$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα. Αν $\displaystyle a > 1,$ τότε...
από emouroukos
Δευ Απρ 29, 2019 9:38 am
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Ένα 4ο θέμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1132

Re: Ένα 4ο θέμα

Καλημέρα! Χριστός Ανέστη και Χρόνια Πολλά σε όλους τους εορτάζοντες! Μερικές παρατηρήσεις πάνω στη λύση του θέματος, που φέρνει στη μνήμη την Άσκηση 6 Β΄Ομάδας (σελ. 152) του σχολικού βιβλίου της Γ΄ Λυκείου και το θέμα Δ3 των Πανελλαδικών Εξετάσεων του 2014... 1. Η παραπάνω απόδειξη του Βασίλη δίνε...
από emouroukos
Τετ Μαρ 27, 2019 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 503

Re: Ανισότητα

Καλημέρα! Μια άλλη προσέγγιση (μέσω μιας γνωστής γενικής μεθόδου). Η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{{xyz}} \Leftrightarrow 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} = \frac{8}{{xyz}}$ $\displaystyle \bf\color{red} \left( 1 \r...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9899

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 2 Μεγάλων

Το σχήμα - και η απόδειξη (χωρίς λέξεις).
Αρχιμήδης 2019 (Μεγάλοι) - Θέμα 2.png
Αρχιμήδης 2019 (Μεγάλοι) - Θέμα 2.png (104.16 KiB) Προβλήθηκε 4759 φορές
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9899

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 3 Μεγάλων Έστω $\displaystyle x = \frac{k}{\ell }$ και $\displaystyle y = \frac{m}{n},$ όπου $\displaystyle k,\ell ,m,n$ θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle \left( {k,\ell } \right) = \left( {m,n} \right) = 1.$ Είναι: $\displaystyle y{x^y} = y + 1 \Leftrightarrow \frac{m}{n}{\left( {\frac{k...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9899

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 1 Μεγάλων Για κάθε $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ είναι $\displaystyle {5^{n - k}}{a_k} = {5^{n - k + 1}}{a_{k - 1}} + {3^{k-1}} \cdot {5^{n - k}}.$ Με πρόσθεση των σχέσεων αυτών κατά μέλη για $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ και διαγράφοντας...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 26, 2019 10:32 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 38588

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 102 Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2006 \}.$ Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5; Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης των αριθμών με το $5$ είναι οι αριθμοί $0,1,2,3,4$. Αφού επιλέγουμε $6$ αριθμούς, δύο από αυτούς...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 26, 2019 10:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 38588

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 101 Οι ακέραιοι $a$,$b$,$c$ και $d$, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο $\{0,1,2,3,\dots,2007 \}$. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $ad - bc$ να είναι άρτιος; Για να είναι ο αριθμός $ad - bc$ άρτιος, πρέπει οι αριθμοί $ad$ και $bc$ να είναι και οι δύο άρτ...
από emouroukos
Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 847

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Θέτουμε $\displaystyle g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ και $\displaystyle h\left( x \right) = g\left( {g\left( x \right)} \right),$ $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$ Παρατηρούμε ότι κάθε λύση της εξίσωσης $\displaystyle g\left( x \right) = x$ είναι και λύση της εξίσωσης $\displaystyle h\left( x...
από emouroukos
Παρ Απρ 06, 2018 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: "Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1498

"Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)

Την Κυριακή 18 Μαρτίου πραγματοποιήθηκε στα Ιωάννινα ημερίδα με θέμα τους Γεωμετρικούς Μετασχηματισμούς και ομιλητές τον Κώστα Δόρτσιο και εμένα. Το θέμα της ομιλίας μου ήταν ο " εξωτικός " μετασχηματισμός της αντιστροφής . Μπορείτε να βρείτε την πλήρη παρουσίαση του θέματος (με μικρές αλλαγές) εδώ ...
από emouroukos
Παρ Μαρ 09, 2018 10:38 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2018/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 604

Re: SEEMOUS 2018/2

Έστω $\displaystyle X = ABCD \in {\mathcal{M}_{m,m}}\left( \mathbb{R} \right).$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle X = A{A^t}$ και άρα ο πίνακας $\displaystyle X$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Επίσης, είναι: $\displaystyle {X^3} = \left( {ABC} \right)\left( {DAB} \right)\left( {CDA} \right)\le...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 7708

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Αρχιμήδης Μεγάλοι - Θέμα 2ο.png Μια άλλη λύση για το 4ο Θέμα των Μεγάλων μπορεί να δοθεί με χρήση της συμμετρικής αντιστροφής . Θεωρούμε τη συμμετρική αντιστροφή $\displaystyle {\rm T}:{\rm X} \mapsto {\rm X}',$ δηλαδή τη σύνθεση της συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο $\displaystyle \ell $ της γωνίας $...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 7708

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Θέμα 4ο μικρών: Αρχιμήδης Μικροί - Θέμα 4ο.png Έστω $\displaystyle x'x$ η εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle c$ στο σημείο $\displaystyle B$. Τότε, είναι $\displaystyle \angle x'{\rm B}\Delta = \angle {\rm B}{\rm A}\Delta = \omega $ (γωνία χορδής και εφαπτομένης). Επίσης, είναι $\displaystyle {\r...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση