Η αναζήτηση βρήκε 1344 εγγραφές

από emouroukos
Σάβ Αύγ 24, 2019 12:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 272

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Γεια σου Τηλέμαχε! Έστω $\displaystyle x$ μια πραγματική ρίζα της δοσμένης εξίσωσης (προφανώς, $\displaystyle x \ne 0$). Διαιρώντας με $\displaystyle {x^2}$ και συμπληρώνοντας τα τετράγωνα, βρίσκουμε ότι $\displaystyle {x^2} + ax + 2 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow $ $\displaystyle...
από emouroukos
Πέμ Μάιος 02, 2019 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3355

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 1: Έστω $\mathbb{P}$ το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$, για τις οποίες ισχύει $\displaystyle f(p)^{f(q)} +q^p = f(q)^{f(p)} +p^q$ για κάθε $p,q \in \mathbb{P}$. Έστω $\displaystyle p,q \in \mathbb{P},$ με $\displaystyle p > q >...
από emouroukos
Πέμ Μάιος 02, 2019 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3355

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 2: Ας είναι $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c$ και $a+b+c = ab+bc+ca > 0$. Να αποδείξετε ότι ισχύει $\sqrt{bc}(a + 1) \geqslant 2$. Να βρείτε όλες τις τριάδες $(a,b,c)$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα. Αν $\displaystyle a > 1,$ τότε...
από emouroukos
Δευ Απρ 29, 2019 9:38 am
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Ένα 4ο θέμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1053

Re: Ένα 4ο θέμα

Καλημέρα! Χριστός Ανέστη και Χρόνια Πολλά σε όλους τους εορτάζοντες! Μερικές παρατηρήσεις πάνω στη λύση του θέματος, που φέρνει στη μνήμη την Άσκηση 6 Β΄Ομάδας (σελ. 152) του σχολικού βιβλίου της Γ΄ Λυκείου και το θέμα Δ3 των Πανελλαδικών Εξετάσεων του 2014... 1. Η παραπάνω απόδειξη του Βασίλη δίνε...
από emouroukos
Τετ Μαρ 27, 2019 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 423

Re: Ανισότητα

Καλημέρα! Μια άλλη προσέγγιση (μέσω μιας γνωστής γενικής μεθόδου). Η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{{xyz}} \Leftrightarrow 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} = \frac{8}{{xyz}}$ $\displaystyle \bf\color{red} \left( 1 \r...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9167

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 2 Μεγάλων

Το σχήμα - και η απόδειξη (χωρίς λέξεις).
Αρχιμήδης 2019 (Μεγάλοι) - Θέμα 2.png
Αρχιμήδης 2019 (Μεγάλοι) - Θέμα 2.png (104.16 KiB) Προβλήθηκε 4367 φορές
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9167

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 3 Μεγάλων Έστω $\displaystyle x = \frac{k}{\ell }$ και $\displaystyle y = \frac{m}{n},$ όπου $\displaystyle k,\ell ,m,n$ θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle \left( {k,\ell } \right) = \left( {m,n} \right) = 1.$ Είναι: $\displaystyle y{x^y} = y + 1 \Leftrightarrow \frac{m}{n}{\left( {\frac{k...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 23, 2019 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9167

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Πρόβλημα 1 Μεγάλων Για κάθε $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ είναι $\displaystyle {5^{n - k}}{a_k} = {5^{n - k + 1}}{a_{k - 1}} + {3^{k-1}} \cdot {5^{n - k}}.$ Με πρόσθεση των σχέσεων αυτών κατά μέλη για $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ και διαγράφοντας...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 26, 2019 10:32 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37613

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 102 Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2006 \}.$ Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5; Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης των αριθμών με το $5$ είναι οι αριθμοί $0,1,2,3,4$. Αφού επιλέγουμε $6$ αριθμούς, δύο από αυτούς...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 26, 2019 10:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37613

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 101 Οι ακέραιοι $a$,$b$,$c$ και $d$, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο $\{0,1,2,3,\dots,2007 \}$. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $ad - bc$ να είναι άρτιος; Για να είναι ο αριθμός $ad - bc$ άρτιος, πρέπει οι αριθμοί $ad$ και $bc$ να είναι και οι δύο άρτ...
από emouroukos
Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 802

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Θέτουμε $\displaystyle g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ και $\displaystyle h\left( x \right) = g\left( {g\left( x \right)} \right),$ $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$ Παρατηρούμε ότι κάθε λύση της εξίσωσης $\displaystyle g\left( x \right) = x$ είναι και λύση της εξίσωσης $\displaystyle h\left( x...
από emouroukos
Παρ Απρ 06, 2018 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: "Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1431

"Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)

Την Κυριακή 18 Μαρτίου πραγματοποιήθηκε στα Ιωάννινα ημερίδα με θέμα τους Γεωμετρικούς Μετασχηματισμούς και ομιλητές τον Κώστα Δόρτσιο και εμένα. Το θέμα της ομιλίας μου ήταν ο " εξωτικός " μετασχηματισμός της αντιστροφής . Μπορείτε να βρείτε την πλήρη παρουσίαση του θέματος (με μικρές αλλαγές) εδώ ...
από emouroukos
Παρ Μαρ 09, 2018 10:38 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2018/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 571

Re: SEEMOUS 2018/2

Έστω $\displaystyle X = ABCD \in {\mathcal{M}_{m,m}}\left( \mathbb{R} \right).$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle X = A{A^t}$ και άρα ο πίνακας $\displaystyle X$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Επίσης, είναι: $\displaystyle {X^3} = \left( {ABC} \right)\left( {DAB} \right)\left( {CDA} \right)\le...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 7550

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Αρχιμήδης Μεγάλοι - Θέμα 2ο.png Μια άλλη λύση για το 4ο Θέμα των Μεγάλων μπορεί να δοθεί με χρήση της συμμετρικής αντιστροφής . Θεωρούμε τη συμμετρική αντιστροφή $\displaystyle {\rm T}:{\rm X} \mapsto {\rm X}',$ δηλαδή τη σύνθεση της συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο $\displaystyle \ell $ της γωνίας $...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 7550

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Θέμα 4ο μικρών: Αρχιμήδης Μικροί - Θέμα 4ο.png Έστω $\displaystyle x'x$ η εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle c$ στο σημείο $\displaystyle B$. Τότε, είναι $\displaystyle \angle x'{\rm B}\Delta = \angle {\rm B}{\rm A}\Delta = \omega $ (γωνία χορδής και εφαπτομένης). Επίσης, είναι $\displaystyle {\r...
από emouroukos
Σάβ Μαρ 03, 2018 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 7550

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Θέμα 1 μικρών : (α) Για $\displaystyle x = \frac{1}{2} - \sqrt 3 $ έχουμε ότι $\displaystyle x + \sqrt 3 = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ και $\displaystyle {x^2} + \sqrt 3 = {\left( {\frac{1}{2} - \sqrt 3 } \right)^2} + \sqrt 3 = \frac{1}{4} - \sqrt 3 + 3 + \sqrt 3 = \frac{{13}}{4} \in \mathbb{Q}.$ (...
από emouroukos
Κυρ Φεβ 11, 2018 11:55 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 975

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 3. Στις πλευρές $AD$ και $CD$ παραλληλογράμμου $ABCD$ με κέντρο $O$ σημειώθηκαν σημεία $P$ και $Q$ αντίστοιχα, ώστε $\angle AOP = \angle COQ = \angle ABC$. α) Αποδείξτε, ότι $\angle ABP = \angle CBQ$. β) Αποδείξτε, ότι οι ευθείες $AQ$ και $CP$ τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλ...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 10, 2018 6:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 975

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 5. Το πολυώνυμο $P(x)$ ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: $P(0) =1$, $(P(x))^2 = 1+x+x^{100}Q(x)$ για όλα τα πραγματικά $x$, όπου $Q(x)$ κάποιο πολυώνυμο. Να αποδείξετε, ότι ο συντελεστής του $x^{99}$ του πολυωνύμου $(P(x)+1)^{100}$ είναι ίσος με μηδέν. Επειδή ο αριθμός $0$ είνα...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 10, 2018 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 975

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλες τις τιμές του $a$, για τις οποίες θα βρεθούν τέτοια $x,y$ και $z$, ώστε οι αριθμοί $\cos x, \cos y$ και $\cos z$ να είναι ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους και να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με τη δοθείσα σειρά, επιπλέον οι αριθμοί $\cos (x+a), \cos (y+a)$ κα...
από emouroukos
Σάβ Φεβ 10, 2018 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 975

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)

Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 1. Το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $f(x) =ax^2+bx+c$ παίρνει ετερόσημες τιμές στα σημεία $c$ και $\dfrac{1}{a}$. Αποδείξτε, ότι οι ρίζες του τριωνύμου $f(x)$ έχουν ετερόσημες τιμές. Είναι $\displaystyle f\left( c \right)f\left( {\frac{1}{a}} \right) = \left( {a{c^2} + bc + c} \right)...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση