Η αναζήτηση βρήκε 602 εγγραφές

από stranton
Πέμ Απρ 11, 2019 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Έκδοση από το Παράρτημα Λακωνίας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 553

Έκδοση από το Παράρτημα Λακωνίας

Στην ετήσια εκδήλωση που έκανε πρόσφατα το Παράρτημα Λακωνίας της Ε.Μ.Ε. έγινε παρουσίαση μιας εργασίας, που δημιούργησαν μαθητές από σχολεία του νομού μαζί με μέλη του Παραρτήματος. Αυτή εκδόθηκε σε ένα μικρό βιβλίο και διατέθηκε την ημέρα της εκδήλωσης. Ο τίτλος της εργασίας είναι: «Φράσεις από τα...
από stranton
Δευ Ιουν 11, 2018 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 58
Προβολές: 11342

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Το Γ3 απ' ευθείας Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση $E(x)=5$ έχει μοναδική λύση στο διάστημα $(0,8)$. Είναι $E(x)=5 \Leftrightarrow \dfrac{(\pi+4)x^2-64x+256}{16\pi}=5 \Leftrightarrow$ $(\pi+4)x^2-64x+256=80\pi \Leftrightarrow (\pi+4)x^2-64x+256-80\pi=0$. Είναι $\Delta =64^2-4(\pi+4)(256-80\pi)=64^2-64(\...
από stranton
Παρ Μάιος 18, 2018 12:08 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 466

Re: Ανισότητα

Υποθέτουμε ότι $\hat{A}\geq\dfrac{\hat{B}+\hat{C}}{2} \Rightarrow 2\hat{A}\geq\hat{B}+\hat{C} \Rightarrow $ $2\hat{A}\geq 180\textdegree-\hat{A} \Rightarrow \hat{A}\geq 60\textdegree \Rightarrow \cos A\leq \cos 60\textdegree \Rightarrow$ $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\leq \dfrac{1}{2} \Rightarrow b^2+c^2...
από stranton
Πέμ Φεβ 08, 2018 6:59 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση πρώτου αριθμού
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 581

Re: Εύρεση πρώτου αριθμού

Διαφορετικά Έστω $r_1,r_2$ οι ρίζες της εξίσωσης. Τότε $r_1r_2=-340p$. Άρα $p/r_1$ ή $p/r_2$. Έστω $p/r_1$, οπότε $r_1=mp$, $m$ ακέραιος. Είναι $r_1+r_2=-p \Rightarrow r_2=-(m+1)p$. Τότε $r_1r_2=-340p \Rightarrow -(m+1)pmp=-340p \Rightarrow (m+1)mp=2^2\cdotp 5\cdotp 17$. Άρα $p\in\{2,5,17\}$. Ελέγχο...
από stranton
Πέμ Φεβ 08, 2018 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση πρώτου αριθμού
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 581

Εύρεση πρώτου αριθμού

Να βρείτε τον πρώτο αριθμό p αν και οι δύο ρίζες της εξίσωσης

x^2+px-340p=0 είναι ακέραιες.
από stranton
Τρί Οκτ 31, 2017 8:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γνήσια αύξουσα συνάρτηση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1387

Γνήσια αύξουσα συνάρτηση

Έστω f:[a,b]\to\mathbb{R} συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι:

για κάθε x με a\leq x<b και για κάθε \delta>0 υπάρχει y\in(x,x+\delta)\cap[a,b] τέτοιο ώστε f(x)<f(y).

Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση.
από stranton
Τρί Οκτ 17, 2017 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1127

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

2. Είναι $f(0)=0$ και για κάθε $x>0$ έχουμε: $f^5(x)+xf(x)+x^2=0 \Rightarrow f(x)[f^4(x)+x]=-x^2 \Rightarrow f(x)<0$. Έστω $x_0\geq 0$. Τότε $f^5(x_0)+x_0f(x_0)+x_0^2=0.$ Έχουμε: $f^5(x)+xf(x)+x^2-f^5(x_0)-x_0f(x_0)-x_0^2=0=0 \Rightarrow$ $f^5(x)-f^5(x_0)+xf(x)-xf(x_0)+xf(x_0)-x_0f(x_0)+(x-x_0)(x+x...
από stranton
Τετ Σεπ 27, 2017 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ισοδυναμία ισοτήτων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 784

Ισοδυναμία ισοτήτων

Έστω a, b\in\mathbb{R} με a+b=1. Να αποδείξετε ότι:

|a^2-b^2|=1  \Leftrightarrow |a^3-b^3|=1
από stranton
Δευ Ιούλ 10, 2017 12:14 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Τα Μαθηματικά στο Νέο Λύκειο
Απαντήσεις: 103
Προβολές: 12246

Re: Τα Μαθηματικά στο Νέο Λύκειο

Συμφωνώ και συνυπογράφω.

Στράτης Αντωνέας
Μαθηματικός
ΓΕΛ Καστορείου Λακωνίας
από stranton
Παρ Ιουν 09, 2017 4:01 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 14515

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Στο Γ4 βγαίνει καλύτερο φράγμα απλώς με $f(x) \geqslant -1$. Πραγματικά, και δεν χρειάζεται τίποτα από τα παραπάνω ερωτήματα. Το wolfram βγάζει περίπου -0,87 Έχει ενδιαφέρον αν μπορούμε να φτάσουμε εκεί κοντά χωρίς κομπιούτερ. Για $x>0$ είναι $\sin x<x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120} \Rightarrow \d...
από stranton
Δευ Μαρ 13, 2017 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σταθερό σημείο συνάρτησης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 933

Σταθερό σημείο συνάρτησης

Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1], με

f(0)>0 , f(1)=1 και f'(1)>1.

Δείξτε ότι υπάρχει x_0\in(0,1) τέτοιος ώστε f(x_0)=x_0.
από stranton
Κυρ Ιαν 29, 2017 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Απαντήσεις: 162
Προβολές: 22378

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Για το Γ1. Έχουμε την εξίσωση: $x^4-32x^2+257=\dfrac{4|x+2|}{x^2+4x+8}$ Έστω $f(x)=x^4-32x^2+257$ και $g(x)=\dfrac{4|x+2|}{x^2+4x+8}=\dfrac{4|x+2|}{|x+2|^2+4}$ με $x\in\mathbb{R}$. Είναι $f'(x)=4x^3-64x=4x(x-4)(x+4)$ από τον πίνακα μονοτονίας της $f$ βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστη τιμή στις θέσεις $x=-...
από stranton
Πέμ Δεκ 08, 2016 12:02 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 120
Προβολές: 12413

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

ΑΣΚΗΣΗ 8 Είναι: $r_1+r_2+r_3-r_4=(r_1+r_2+r_3+r_4)-2r_4=-\dfrac{b}{a}-2r_4$ Το γινόμενο των τεσσάρων παρενθέσεων είναι: $\Gamma=\left(-\dfrac{b}{a}-2r_1\right)\left(-\dfrac{b}{a}-2r_2\right)\left(-\dfrac{b}{a}-2r_3\right)\left(-\dfrac{b}{a}-2r_4\right)=$ $\left(\dfrac{b}{a}+2r_1\right)\left(\dfrac{...
από stranton
Πέμ Δεκ 01, 2016 10:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 120
Προβολές: 12413

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

ΑΣΚΗΣΗ 6
Έστω P(x) πολυώνυμο βαθμού 48, για το οποίο δίνεται ότι P(\kappa)=\dfrac{1}{\kappa} για \kappa=1,2,\ldots , 49.
Να βρείτε το P(50).
από stranton
Τρί Νοέμ 29, 2016 8:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 120
Προβολές: 12413

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

ΑΣΚΗΣΗ 4
Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές,
για το οποίο δίνεται ότι P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=5.
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος k ώστε P(k)=22.
από stranton
Τρί Νοέμ 08, 2016 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 165
Προβολές: 16648

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

21. $x^3 + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}}$ Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $6x-4\sqrt{2}\geq 0 \Leftrightarrow x\geq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ Τότε: $x^3+4 \sqrt{2} = 6\sqrt[3]{6x-4 \sqrt{2}} \Leftrightarrow$ $x^3-2\sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}} -6\sqrt{2} \Leftrightarrow$ $x^3-\lef...
από stranton
Τετ Νοέμ 02, 2016 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1514

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Παρόμοιο θέμα με αλλαγή του είδους μονοτονίας. Έστω $f,g:[0,1]\to [0,1]$ συνεχείς συναρτήσεις. Υποθέτουμε ότι η $f$ είναι αύξουσα και $g\circ f=f\circ g$. Δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει $x_0\in [0,1]$ τέτοιος, ώστε $f(x_0)=g(x_0)=x_0 .$ Δείτε εδώ για τη λύση...
από stranton
Τετ Νοέμ 02, 2016 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Κοινό σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1448

Κοινό σταθερό σημείο

Συνέχεια από εδώ . Είναι γνωστό θέμα και πρέπει να το έχουμε δεί. Δεν το βρήκα στην αναζήτηση και το προτείνω. Έστω $f,g:[0,1]\to [0,1]$ συνεχείς συναρτήσεις. Υποθέτουμε ότι η $f$ είναι αύξουσα και $g\circ f=f\circ g$. Δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει $x_0\in ...
από stranton
Κυρ Οκτ 23, 2016 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 165
Προβολές: 16648

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

11. $\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5$ Όπως και σε προηγούμενη εξίσωση. Έστω $x$ ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε $\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}=a \Rightarrow x^2-3 \sqrt{2} x+9=a^2 \; (1)$ και $\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=b \Rightarrow x^2-4 \sqrt{2} x+16=b^2 \; (2)$ Είναι $a...
από stranton
Κυρ Οκτ 23, 2016 10:58 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Βασικές μη ρητές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 630

Βασικές μη ρητές συναρτήσεις

Με αφορμή το θέμα αυτό, να αποδείχθεί ότι

Οι συναρτήσεις \sin x, \; \cos x , \; \tan x , \; \cot x , \; a^x , \; \log_{a}x με 0<a\neq 1 δεν είναι ρητές.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση