Για το 5)
Η συνάρτηση
είναι αύξουσα ενω η
είναι φθίνουσα.
Η αναζήτηση βρήκε 3578 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Ιαν 21, 2024 10:04 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: ΘΕΜΑ
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1124
- Δευ Ιαν 15, 2024 12:43 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Μία ενδιαφέρουσα ανισότητα!
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 1053
Re: Μία ενδιαφέρουσα ανισότητα!
Ωραία...μια απόδειξη της $\displaystyle \boxed{e^{x}> 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6},\forall x\in \left ( -\infty,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )}.$ Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle h\left ( x \right )=e^{x}-\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{2}}{2}-1,x\in \mathbb{R...
- Τρί Οκτ 17, 2023 7:40 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Σύγκλιση σειράς
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 676
Re: Σύγκλιση σειράς
Ελπίζω τα παρακάτω να μην είναι λάθος ... Επειδή η $f$ είναι κοίλη και θετική, έπεται ότι είναι αύξουσα. Επίσης, $\displaystyle{\left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)' = \frac{f''(x)}{f(x)} - \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 < 0}$ που σημαίνει ότι η ακολουθία μέσα στη σειρά είναι φθίνουσα. Τέλος, $\d...
- Τρί Οκτ 17, 2023 11:09 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Σύγκλιση σειράς
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 676
Σύγκλιση σειράς
Εστω
παραγωγίσιμη και κοίλη.
Αν
τότε η σειρά
συγκλίνει.
παραγωγίσιμη και κοίλη.
Αν
τότε η σειρά
συγκλίνει.
- Δευ Οκτ 16, 2023 12:04 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1206
Re: Τριγωνομετρική ανισότητα
Χρησιμοποιώντας τον σύνδεσμο της παραπάνω ανάρτησης έχουμε ότι $f(x)=|\sum_{k=0}^{N}c_ke^{ikx}|^2,c_k\in \mathbb{C}$ Αμεσα προκύπτει ότι $A=\sum_{k=0}^{N}|c_k|^2$ Χρησιμοποιώντας C-S έχουμε $f(x)\leq |\sum_{k=0}^{N}|c_k||^2\leq (N+1)\sum_{k=0}^{N}|c_k|^2=(N+1)A$ Η ισότητα επιτυγχάνεται αν πάρουμε $c...
- Κυρ Οκτ 15, 2023 8:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1206
- Κυρ Οκτ 15, 2023 12:50 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1206
Τριγωνομετρική ανισότητα
Με αφορμή το https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=184&t=74621 Εστω $f(x)=A+\sum_{k=1}^{N}a_kcoskx+b_ksinkx$ όπου $A,a_k,b_k\in \mathbb{R},|a_N|+|b_N|\neq 0$ Αν ισχύει $f(x)\geqslant 0,x\in \mathbb{R}$ τότε ισχύει $f(x)\leq A(N+1),x\in \mathbb{R}$ Η τελευταία ανισότητα είναι η καλύτερη δυνατή.
- Πέμ Οκτ 12, 2023 7:48 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1281
Re: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα
Καλημέρα Μιχάλη.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 12, 2023 12:55 amΣταύρο, είμαι στο εξωτερικό για λίγες μέρες.
Θα γράψω λύση, αν χρειαστεί, όταν επιστρέψω.
Εχω λύση.
Δεν την έγραψα μήπως ασχοληθεί κανένας άλλος.
Αν σε δύο μέρες δεν γραφεί λύση θα την γράψω.
Είναι πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα.
Καλή επιστροφή στην πατρίδα.
- Τετ Οκτ 11, 2023 6:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1281
Re: Πονηρή Τριγωνομετρική ανισότητα
Επαναφορά.
- Τρί Οκτ 10, 2023 10:09 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Πρωτότυπο Όριο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 511
Re: Πρωτότυπο Όριο
Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^{x+1}$, με $x>0$. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} \displaystyle f(\dfrac{k}{n^2}),$ αν αυτό υπάρχει. Γενικότερα αν $f(x)=xg(x)$ και $g$ συνεχής στο $0$ τότε $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} \display...
- Τρί Οκτ 10, 2023 8:48 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όριο και Ολοκλήρωμα!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 766
Re: Όριο και Ολοκλήρωμα!
Αλλιώς.
Αρκεί να βρούμε το
DHL
κλπ
- Πέμ Σεπ 28, 2023 10:49 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ύπαρξη ξ_1, ξ_2 #2
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 719
Re: Ύπαρξη ξ_1, ξ_2 #2
Σε συνέχεια αυτής της άσκησης ... θέτω τη παρακάτω. Δίδεται συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(\xi_1) f'(\xi_2) = \left ( \frac{...
- Πέμ Σεπ 21, 2023 2:20 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όριο με ακολουθία
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 627
Re: Όριο με ακολουθία
Είναι φανερό ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a_0 \geq 0$.Αν $a_0 =1 $ είναι σταθερή οπότε το όριο $0$. Αν $a_0 <1 $ τότε $a_0=\cos \phi , \phi\in (0,\frac{\pi }{2}]$ και άμεσα προκύπτει ότι $a_n=\ cos \frac{\phi }{2^n}$ ενω αν $a_0 >1 $ τότε $a_0=\cosh \phi , \phi >0$ και άμεσα προκύπτει ότι $a_n=\...
- Τρί Σεπ 19, 2023 9:28 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Μη γραμμικό σύστημα ισοτιμιών
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 711
Re: Μη γραμμικό σύστημα ισοτιμιών
Μια ιδιοκατασκευή: Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι $p\geq 3$, ώστε να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $x,y,z$, τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες ισοτιμίες: $xyz\equiv 1(modp)$ $xy+yz+zx\equiv 3(modp)$ $x^2+y^2+z\equiv x^2+y+z^2\equiv 0(modp)$. Στην ουσία έχουμε να λύσουμε το σύστημα $xyz=1$ $xy+yz+zx=3$ $x^...
- Τρί Σεπ 19, 2023 8:09 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Κυβική ρίζα ορισμένου ολοκληρώματος
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1339
Re: Κυβική ρίζα ορισμένου ολοκληρώματος
Η ανισότητα δεν ισχύει.
Ειδικότερα δεν είναι καλά διατυπωμένο το θέμα.
- Κυρ Σεπ 17, 2023 10:05 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Ύπαρξη ορίου στο άπειρο
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 692
Re: Ύπαρξη ορίου στο άπειρο
Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}.$ Αν $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}=0$, να δείξετε ότι το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \inf...
- Σάβ Σεπ 16, 2023 1:30 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Εγκλωβισμός ορισμένου ολοκληρώματος
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 399
Re: Εγκλωβισμός ορισμένου ολοκληρώματος
Αποδείξτε ότι: $\pi (e - 1) <\displaystyle \int_0^\pi {{e^{|\,\cos 4x\,|}}\,dx} < 2\left( {{e^{\frac{\pi }{2}}} - 1} \right)$ Είναι $\displaystyle \int_0^\pi e^{|cos 4x|}dx =\int_0^\pi e^{|cos x|}dx=2 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}e^{\cos x}dx=2 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}e^{\sin x}dx$ Επειδή για $0<x<\fr...
- Τετ Σεπ 13, 2023 10:03 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: sup του inf -2
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 750
Re: sup του inf -2
Εστω $A$ το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων $\displaystyle f:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\rightarrow [-1,1]$ που είναι παραγωγίσιμες στο$\displaystyle ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ Να υπολογισθεί το $\displaystyle sup_{f\in A}inf_{x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}|f(x)+f'(x)|$ Βρείτε τ...
- Τετ Σεπ 13, 2023 9:58 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ιαπωνική ανισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 474
Re: Ιαπωνική ανισότητα
Για είναι
- Τρί Σεπ 12, 2023 11:25 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Ύπαρξη ξ
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 592
Ύπαρξη ξ
Εστω δύο φορές παραγωγίσημη.
Αν
και
τότε
υπάρχει
με
Αν
και
τότε
υπάρχει
με