Τα περιττά πολλαπλάσια του 3 διαιρούμενα με 4 δίνουν υπόλοιπο 3.
Ευκολο.
Ετσι η δύναμη του 7 λήγει σε 3.
Εχουμε τελευταίο ψηφίο του αριθμού 5.
Διαιρείται με 5.

Για το 5)
Η συνάρτηση
είναι αύξουσα ενω η

είναι φθίνουσα.

Ωραία...μια απόδειξη της $\displaystyle \boxed{e^{x}> 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6},\forall x\in \left ( -\infty,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )}.$ Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle h\left ( x \right )=e^{x}-\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{2}}{2}-1,x\in \mathbb{R...

Ελπίζω τα παρακάτω να μην είναι λάθος ... Επειδή η $f$ είναι κοίλη και θετική, έπεται ότι είναι αύξουσα. Επίσης, $\displaystyle{\left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)' = \frac{f''(x)}{f(x)} - \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 < 0}$ που σημαίνει ότι η ακολουθία μέσα στη σειρά είναι φθίνουσα. Τέλος, $\d...

Εστω
παραγωγίσιμη και κοίλη.
Αν

τότε η σειρά

συγκλίνει.

Χρησιμοποιώντας τον σύνδεσμο της παραπάνω ανάρτησης έχουμε ότι $f(x)=|\sum_{k=0}^{N}c_ke^{ikx}|^2,c_k\in \mathbb{C}$ Αμεσα προκύπτει ότι $A=\sum_{k=0}^{N}|c_k|^2$ Χρησιμοποιώντας C-S έχουμε $f(x)\leq |\sum_{k=0}^{N}|c_k||^2\leq (N+1)\sum_{k=0}^{N}|c_k|^2=(N+1)A$ Η ισότητα επιτυγχάνεται αν πάρουμε $c...

Προς το παρόν.
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fej ... sz_theorem

Με αφορμή το https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=184&t=74621 Εστω $f(x)=A+\sum_{k=1}^{N}a_kcoskx+b_ksinkx$ όπου $A,a_k,b_k\in \mathbb{R},|a_N|+|b_N|\neq 0$ Αν ισχύει $f(x)\geqslant 0,x\in \mathbb{R}$ τότε ισχύει $f(x)\leq A(N+1),x\in \mathbb{R}$ Η τελευταία ανισότητα είναι η καλύτερη δυνατή.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Πέμ Οκτ 12, 2023 12:55 am

Σταύρο, είμαι στο εξωτερικό για λίγες μέρες.

Θα γράψω λύση, αν χρειαστεί, όταν επιστρέψω.

Καλημέρα Μιχάλη.
Εχω λύση.
Δεν την έγραψα μήπως ασχοληθεί κανένας άλλος.
Αν σε δύο μέρες δεν γραφεί λύση θα την γράψω.
Είναι πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα.
Καλή επιστροφή στην πατρίδα.

Επαναφορά.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^{x+1}$, με $x>0$. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} \displaystyle f(\dfrac{k}{n^2}),$ αν αυτό υπάρχει. Γενικότερα αν $f(x)=xg(x)$ και $g$ συνεχής στο $0$ τότε $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} \display...

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑

Δευ Οκτ 09, 2023 9:34 pm

Να υπολογίσετε το όριο



αν αυτό υπάρχει.

Αλλιώς.
Αρκεί να βρούμε το



DHL



κλπ

Σε συνέχεια αυτής της άσκησης ... θέτω τη παρακάτω. Δίδεται συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(\xi_1) f'(\xi_2) = \left ( \frac{...

Είναι φανερό ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a_0 \geq 0$.Αν $a_0 =1 $ είναι σταθερή οπότε το όριο $0$. Αν $a_0 <1 $ τότε $a_0=\cos \phi , \phi\in (0,\frac{\pi }{2}]$ και άμεσα προκύπτει ότι $a_n=\ cos \frac{\phi }{2^n}$ ενω αν $a_0 >1 $ τότε $a_0=\cosh \phi , \phi >0$ και άμεσα προκύπτει ότι $a_n=\...

Μια ιδιοκατασκευή: Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι $p\geq 3$, ώστε να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $x,y,z$, τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες ισοτιμίες: $xyz\equiv 1(modp)$ $xy+yz+zx\equiv 3(modp)$ $x^2+y^2+z\equiv x^2+y+z^2\equiv 0(modp)$. Στην ουσία έχουμε να λύσουμε το σύστημα $xyz=1$ $xy+yz+zx=3$ $x^...

orestisgotsis έγραψε: ↑

Κυρ Σεπ 17, 2023 5:26 pm

Η ανισότητα δεν ισχύει.
Ειδικότερα δεν είναι καλά διατυπωμένο το θέμα.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}.$ Αν $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}=0$, να δείξετε ότι το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \inf...

Αποδείξτε ότι: $\pi (e - 1) <\displaystyle \int_0^\pi {{e^{|\,\cos 4x\,|}}\,dx} < 2\left( {{e^{\frac{\pi }{2}}} - 1} \right)$ Είναι $\displaystyle \int_0^\pi e^{|cos 4x|}dx =\int_0^\pi e^{|cos x|}dx=2 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}e^{\cos x}dx=2 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}e^{\sin x}dx$ Επειδή για $0<x<\fr...

Εστω $A$ το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων $\displaystyle f:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\rightarrow [-1,1]$ που είναι παραγωγίσιμες στο$\displaystyle ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ Να υπολογισθεί το $\displaystyle sup_{f\in A}inf_{x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}|f(x)+f'(x)|$ Βρείτε τ...

Για είναι