Η αναζήτηση βρήκε 133 εγγραφές

από jason.prod
Κυρ Δεκ 20, 2020 12:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Διαγωνισμός EMC 2020
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1339

Re: Διαγωνισμός EMC 2020

Καλησπέρα σας! Μπορεί να παραθέσει κάποιος τα χθεσινά θέματα, αν το επιτρέπει η επιτροπή φυσικά… Καλημέρα. Η επιτροπή δεν το επιτρέπει αυτό, ακόμα (ο διαγωνισμός είναι σε εξέλιξη). Μόλις αναρτηθούν στο επίσημο site του διαγωνισμού, θα αναρτηθούν και εδώ. Μιας και μου δίνεται η ευκαιρία όμως, θέλω ν...
από jason.prod
Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:40 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Διαγωνισμός EMC 2020
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1339

Διαγωνισμός EMC 2020

Καλημέρα σε όλα τα μέλη του forum που ασχολούνται με τους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Φέτος είναι η 9η χρονιά που διοργανώνεται το European Mathematical Cup, ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε παιδιά γυμνασίου και λυκείου. Ο διαγωνισμός αυτός διοργανώνεται σε δύο επίπεδα (juniors, seniors) και επιπέ...
από jason.prod
Τρί Ιουν 16, 2020 3:27 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1040

Re: Διοφαντική!

Άλλη μια λύση και από μένα, με επιφύλαξη λόγω του περασμένου της ώρας. Στην αρχή αποδεικνύουμε το ακόλουθο (γνωστό) λήμμα: Λήμμα: Αν $p$ πρώτος $5(\text{mod}6)$, τότε $x^2+xy+y^2\equiv0(\text{mod}p)\Rightarrow p|x,y$. Απόδειξη: Γράφουμε $p=6k+5$. Παρακάτω όλες οι ισότητες είναι ισοτιμίες $\text{mod}...
από jason.prod
Κυρ Μάιος 24, 2020 7:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Μηδενική ορίζουσα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1085

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μεταφέρω τη παρακάτω άσκηση με πολλή επιφύλαξη ως προς τη μετάφραση. Δίδεται πίνακας $A \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right)$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{ A \det A + A^* \det A^*=i \left( A+ A^* \right)}$ Να δειχθεί ότι $\det A =0$ αν ο $n$ περιττός. Καλησπέρα. Δίνω μια λύση με μία, κάπως κλ...
από jason.prod
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:43 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διαγωνισμός EMC 2019
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 525

Διαγωνισμός EMC 2019

Καλημέρα σε όλη τη μαθηματική κοινότητα, και ιδιαίτερα στα μέλη που ασχολούνται με τους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Φέτος είναι η 8η χρονιά που διοργανώνεται το European Mathematical Cup, ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε παιδιά γυμνασίου και λυκείου. Ο διαγωνισμός αυτός διοργανώνεται σε δύο επίπεδ...
από jason.prod
Τρί Ιούλ 16, 2019 4:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 8061

Re: IMO 2019

Το πρώτο πρόβλημα είναι. Αν $\mathbb{Z}$ είναι το σύνολο των ακεραίων να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει , $f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))$ για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$ Νομίζω αρκετά εύκολη για ΙΜΟ. Απλώς βάλτε $x=0$ και μετά $x=1, y$ το $y-1$ και έχε...
από jason.prod
Πέμ Μάιος 02, 2019 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 5044

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 2: Ας είναι $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c$ και $a+b+c = ab+bc+ca > 0$. Να αποδείξετε ότι ισχύει $\sqrt{bc}(a + 1) \geqslant 2$. Να βρείτε όλες τις τριάδες $(a,b,c)$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα. Μια τηλεγραφική λύση για το πρ...
από jason.prod
Κυρ Νοέμ 11, 2018 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διαγωνισμός EMC 2018
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 2574

Διαγωνισμός EMC 2018

Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του forum που ασχολούνται με τους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Φέτος είναι η 7η χρονιά που διοργανώνεται το European Mathematical Cup, ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε παιδιά γυμνασίου και λυκείου. Είναι ένας διαγωνισμός που διοργανώνεται σε δύο επίπεδα (juniors, seniors) κ...
από jason.prod
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στρατηγική Νίκης
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1925

Re: Στρατηγική Νίκης

Να σημειωθεί ότι το πρόβλημα μάλλον δεν είναι για επίπεδο Αρχιμήδη, αφού αποτελεί, στην ουσία, το πρόβλημα C7 της IMO Shortlist 2009 και ταυτόχρονα το πρόβλημα 6 της ίδιας ολυμπιάδας!
από jason.prod
Δευ Ιουν 26, 2017 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα Τετραγώνων
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1798

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Αν ο φυσικός αριθμός $n$ είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο $2n$ είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων. Για μαθητές μέχρι αύριο! Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι αν οι $m,n$ είναι ο καθένας άθροισμα τετραγώνων, τότε και το γινόμενό τους $mn$ είναι άθροισμα τετραγώνων. Εδώ είναι...
από jason.prod
Τετ Ιουν 14, 2017 11:13 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολύ ωραία συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1290

Re: Πολύ ωραία συναρτησιακή

Δίνω μια λύση για αυτήν την, ομολογουμένως, πολύ ωραία συναρτησιακή. Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. $i)$Υπάρχει $x_0$ ώστε να ισχύει $f(x_0) \le x_0$. Τότε, θέτουμε $x=x_0, y=\frac{x_0-f(x_0)}{2}$, οπότε έχουμε $f(\frac{x_0-f(x_0)}{2})=0$, οπότε η συνάρτηση έχει ρίζα $a$. Αν λοιπόν θέσουμε $x=a, y=...
από jason.prod
Παρ Απρ 14, 2017 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1089

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Δίνω δύο λύσεις, εκ μέρους του Ραφαήλ Τσιάμη . Λύση 1η (που είναι και η πιο εύκολη): Από την αρχική παίρνουμε ότι: $f(x^2+y^2) < f(x^2+y^2)+2f(x)f(y) = (x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)$, οπότε για κάθε $x$ ισχύει $f(x)<2x$. Εφαρμόζοντας στην αρχική έχουμε ότι $f(x^2+y^2) = (x+y)^2-2f(x)f(y) > (x+y)^2-8xy = x^...
από jason.prod
Κυρ Νοέμ 13, 2016 4:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2016
Απαντήσεις: 115
Προβολές: 19244

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Για το 4ο της γ λυκείου, μια λύση εκτός γνώσεων, βέβαια, που έχουν τα παιδιά της γ λυκείου. Θεωρούμε $w$ μία κυβική ρίζα της μονάδας διαφορετική από το 1. Τότε έχουμε ότι $w^3=1 \implies (w-1)(w^2+w+1)=0 \implies w^2+w+1=0$(1). Επίσης, $w^7=(w^3)^2 * w=w$, οπότε τελικά $w^7+w^2+1=w^2+w+1=0$ που δίνε...
από jason.prod
Τρί Σεπ 06, 2016 11:57 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 2562

Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{a,b,c > 0}$ με $\displaystyle{abc = 1,}$ τότε ισχύει: $\displaystyle{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a \ge \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} }. (1)$ Έχουμε ότι $(1) \iff (\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})^2 \ge (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}...
από jason.prod
Παρ Σεπ 02, 2016 3:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 950

Re: Συναρτησιακή

Και αυτή ξεχάστηκε.

Την επαναφέρω, δεν είναι δύσκολη.
από jason.prod
Παρ Σεπ 02, 2016 12:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1132

Re: Συναρτησιακή

Ας δούμε και το: Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^+\to\Bbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(2x+2f(y))=x+f(x)+2y,} (1)$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^+.$ Επαναφορά! Ξεχάστηκε. Ας δούμε μία λύση. Στην (1) θέτουμε $y->2x+2f(y)$, οπότε παίρνουμε ότι $f(2x+2x+2f(x)+4y)=5x+f(x)+4f(y) \impli...
από jason.prod
Τετ Αύγ 24, 2016 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ακολουθία πολυωνύμων!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 933

Re: Ακολουθία πολυωνύμων!

Και αλλιώς: Έχουμε $\begin{aligned} f_{n+2}(x) &\equiv 2xf_{n+1}(x)-(x^2-1)f_{n}(x) \\ &\equiv 2xf_{n+1}(x)+2f_{n}(x) \\ &\equiv 2(xf_{n+1}(x)+f_{n}(x)) \\ &\equiv 2{x[2(xf_{n}(x)+f_{n-1}(x))]+f_{n}(x)} \\ &\equiv (4x^2+2)f_{n}(x) + 4xf_{n-1}(x) \\ &\equiv -2f_{n}(x)+4xf_{n-1}(x) \\ &\equiv -4[xf_{n...
από jason.prod
Δευ Αύγ 01, 2016 5:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 982

Re: Ανισότητα!

Μου θυμίζει αυτήν της JBMO 2015. Είναι $(ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c)=9abc \implies ab+bc+ca\ge3\sqrt{abc}$, και $\sum{\frac{1}{ab}}=\frac{3}{abc}$. Αυτές οι δύο σχέσεις δίνουν ότι αρκεί $6\sqrt{abc}+\frac{3}{abc}\ge9$, που είναι η ΑΜ-ΓΜ για 9 όρους. Edit: Με πρόλαβαν, το αφήνω γιατί είναι λίγο διαφορε...
από jason.prod
Δευ Ιούλ 11, 2016 5:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2016
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 7846

Re: IMO 2016

...Βέβαια αν είδα καλά και σύμφωνα με την παραπάνω μετάφραση θα πρέπει να διακριθούν για τη θέση του $A$ δύο περιπτώσεις, γιατί μιλάει για ευθεία $BC$ και όχι πλευρά $BC$. Γεια χαρά! Στο αγγλικό κείμενο αναφέρεται ότι το $F$ βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία $A, C$. Έχετε δίκιο, παράλειψή μου. Συγγνώμη ...
από jason.prod
Δευ Ιούλ 11, 2016 10:24 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2016
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 7846

Re: IMO 2016

Δίνω τα θέματα της πρώτης μέρας του διαγωνισμού. Ευχαριστώ το Ραφαήλ Τσιάμη που μου τα έστειλε. Πρόβλημα 1 Έστω τρίγωνο $BCF$ ορθογώνιο στο B. Επιλέγουμε σημείο $A$ της ευθείας $CF$ ώστε να ισχύει $AF=BF$ και το $F$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος $AC$. Επίσης, θεωρούμε σημείο D ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση