L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της δεύτερης μέρας για την 9η τάξη. 1. Μια συνοικία αποτελείται από ένα τετράγωνο $10 \times 10$. Την νύχτα της πρωτοχρονιάς ξαφνικά χιόνισε και έκτοτε κάθε νύχτα σε κάθε κελί έπεφτε από $10$ εκατοστά χιόνι, χιόνιζε μόνο...

Πολύ όμορφη πρωτοβουλία, ευχαριστούμε!

Το αντίστοιχο του θεωρήματος του Clairaut της επιπεδομετρίας. Θεωρούμε το τετράεδρο $SABC$ και επί των εδρών του $SBC, SCA, SAB$ και προς τα έξω κατασκευάζουμε τρία πρίσματα. Αν $O$ είναι η τομή των πάνω βάσεων των πρισμάτων αυτών, κατασκευάζουμε επί της τέταρτης έδρας $ABC$ πρίσμα που η παράπλευρη...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της δεύτερης μέρας για την 10η τάξη. 1. Δίνεται ένα ευθύγραμμο μονοπάτι, που αποτελείται από πράσινες και κόκκινες σανίδες (μονοπάτι ευθύγραμμο τμήμα, διαμερισμένο σε σανίδες ευθύγραμμα τμήματα). Τα χρώματα των σανίδων ε...

Ίσως χάνω κάτι - δε βλέπω λύση εντός φακέλου. Μάλλον έχεις δίκιο, ίσως καλύτερα να μεταφερθεί στους φακέλους της Γ' Λύκείου. Αυτό που είχα υπόψη είναι το εξής: Όλη η έκφραση, ως συνάρτηση του $x$, στο αριστερό μέλος της ανίσωσης $\dfrac{\Bigl[ f(x) - a - \sqrt{x^2 + 324} \Bigr]^2}{f(x) - a} \le 0$ ...

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, η εξίσωση $f(x) < a$ αποκλείεται να έχει ακριβώς μία λύση για οποιαδήποτε τιμή του $a$. Να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση. Σε αυτό το φάκελο υποτίθεται, ότι ακόμα δεν ξέρουμε την έννοια της συνέχειας. Αλλά και αν την ξέρουμε, νομίζω θέλει λίγο ...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη. 1. Στον χώρο βρίσκεται ένας άπειρος κύλινδρος ( δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, που απέχουν σταθερή απόσταση $R>0$ από δοθείσα ευθεία $l$). Μπορούν άραγε έξι ευθείες, φορείς των...

L Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Νίζνϊι Νόβγκοροντ 19-25 Απριλίου 2024 Θέματα της πρώτης μέρας για την 9η τάξη. 1. Ο Κώστας και ο Νίκος ξέρουν μόνο τους φυσικούς αριθμούς, που δεν υπερβαίνουν το $10^9-4000$. Ο Κώστας θεωρεί καλούς τους αριθμούς που μπορούν να γραφούν στην μορφή $abc+ab+ac+bc$, όπο...

LXXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 20 Μαρτίου 2022 $\bullet $ 10η τάξη Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό $n$, που κατέχει την ακόλουθη ιδιότητα: για οποιονδήποτε περιττό πρώτο αριθμό $p$, μικρότερο του $n$, η διαφορά $n-p$ είναι κι αυτή πρώτος αριθμός. (Ι. Ακούλιτς) Πρόβλημα 2. Τα σ...

Η γεωμετρική ερμηνεία της άσκησης στην ουσία είναι η εξής: Το άθροισμα των τετραγώνων των εμβαδών των εδρών ενός τετράεδρου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των εμβαδών των μη παράλληλων εδρών του περιγεγραμμένου παραλληλεπιπέδου σε αυτό. Η πρόταση αυτή μπορεί να αποδειχθεί με την βοήθεια δυο ε...

Να βρείτε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς , για τον καθέ από τους οποίους υπάρχει συνάρτηση τέτοια, ώστε



για οποιοδήποτε .

Στο καρτεσιανό επίπεδο είναι σημειωμένα πεπερασμένο πλήθος σημείων με διαφορετικές ανά δυο τετμημένες. Ο αριθμός $n \in \mathbb{N}^*$ είναι τέτοιος, ώστε αν από οποιαδήποτε $n+1$ σημειωμένα σημεία φέρουμε την γραφική παράσταση πολυώνυμου το πολύ $n$ βαθμού, τότε σε αυτήν την γραφική παράσταση θα βρί...

Με $X(\alpha)$ θα συμβολίσουμε το σημείο με συντεταγμένες $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ ( όλα αυτά βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων). Διαλέγουμε μια τυχαία γωνία $\phi$ και φέρουμε τις χορδές $P(\phi)P(2022\phi), P(2022\phi)P(2022^2\phi), \ldots$ (στο βήμα με αριθμό $n$ φ...

Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς , για τους οποίους υπάρχουν πολυώνυμα μιας μεταβλητής και , τέτοια ώστε η ισότητα



να ισχύει για όλες τις τιμές του εκτός από πεπερασμένο αριθμό.

Ορισμός: Θεωρούμε τετράεδρο $ABCD.$ Αν μία τρίεδρη γωνία του, π.χ η τρίεδρη γωνία με κορυφή $A,$ είναι τρισορθογώνια, τότε το $ABCD$ ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή $A.$ Τρισορθογώνιο τετράεδρο.png Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο $ABCD$ κατά την κορυφή $A.$ Μία μεταβλητή σφαίρα $...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η ανίσωση

έχει μοναδική λύση, όπου

, .

Σε ισοεδρικό τετράεδρο $OABC$ αποδείξτε ότι $\displaystyle R^{2}\geq \frac{E\sqrt{3}}{2}$ όπου $R$ η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου και $E$ το εμβαδόν των ίσων τριγωνικών εδρών του. Έστω $a,b,c$ τα μήκη των ακμών μιας εκ των ίσων εδρών του τετραέδρου, $O$ το κέντρο της περιγεγραμ...

Με αφορμή ένα προηγούμενο θέμα. Δίνετε μια διάλεξη πάνω σε πολυωνυμικές εξισώσεις σε ακροατήριο με σχεδόν μηδενική γνώση πανεπιστημιακών μαθηματικών, έχοντας μόνο βασικές γνώσεις μαθηματικών. Πως θα εξηγούσατε όσο μπορούσατε καλύτερα το Θεώρημα Abel-Ruffini. Όποιος θέλει μπορεί να γράψει ένα μεγάλο...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 31 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 11η τάξη, 2η μέρα Πρόβλημα 1. Υπάρχει άραγε στο καρτεσιανό επίπεδο σημείο, ως προς το οποίο είναι συμμετρική η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}$; (Ντ. Γκοριάσιν) Πρόβλημα 2. Ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου διεξήχθη σ...

Το παρακάτω ίσως φανεί χρήσιμο σε άλλα θέματα... Να υπολογιστούν τα μήκη των διαμέσων τετραέδρου συναρτήσει των μηκών των ακμών του. Θεωρούμε το λίγο γενικότερο πρόβλημα της εύρεσης της απόστασης δυο σημείων $P$ και $M$, αν είναι γνωστές οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες $\lambda_{i}$ του σημείου $P$ ...