Η αναζήτηση βρήκε 1257 εγγραφές

από Al.Koutsouridis
Πέμ Δεκ 03, 2020 12:41 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κριτήριο διχοτόμου
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 12

Κριτήριο διχοτόμου

Αν δεν έχει ξανά εμφανιστεί...

Δίνεται τρίγωνο ABC και σημείο D της πλευράς BC. Να αποδείξετε ότι το τμήμα AD είναι διχοτόμος της γωνίας A, αν και μόνο αν

\left ( AB+BD \right ) \left( AC-CD \right) =AD^2.
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 30, 2020 10:20 am
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Σχολών
Θέμα: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1008

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

2. Να δειχθεί ότι σε τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{ M,N}$ μέσα των $\displaystyle{AB,\Gamma\Delta}$ αντίστοιχα οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{4MN^2 = A\Delta ^2 + B\Gamma^2 + B\Delta^2 + A\Gamma^2 - AB^2 - \Gamma\Delta^2}$ . Μετά να δειχθεί οτι αν οι σφαίρες διαμέτρ...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 70

Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος

Έστω $F_{1}F_{2}C$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή $F_{2}$, $E$ και $\Upsilon$ είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία $F_{1}$ και $F_{2}$, έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο $C$. (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημεί...
από Al.Koutsouridis
Παρ Νοέμ 27, 2020 10:57 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 439

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Οι ρίζες του $6x^2 - 24x - 4a$ είναι οι $\frac{6 \pm \sqrt{36+6a}}{3}$. Θέλουμε λοιπόν $0 \leqslant 36+6a \leqslant 36$. Για να είναι λοιπόν οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου μη αρνητικές πραγματικές πρέπει και αρκεί $a \in [-6,0]$. Έστω $x_1,x_2,x_3$ οι ρίζες του $x^3 + ax^2 + bx - 8$. Τότε (από Vieta...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 439

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a,b για τις οποίες τα πολυώνυμα 6x^2-24x-4a και x^3+ax^2+bx-8 έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.
Σίγουρα είναι σωστή η διατύπωση; Μήπως είναι π.χ. για b \geq0. Βγαίνει περίεργη περιοχή για τα a,b με b <0.
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 282

Re: Απόλυτο-παραμετρική

george visvikis έγραψε:
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:01 pm

Αυτό εξυπακούεται, αφού έχουμε ξεκαθαρίσει από την αρχή ότι a\ne0.
Σωστά! :coolspeak:
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 23, 2020 8:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 282

Re: Απόλυτο-παραμετρική

Για την πληρότητα της λύσης ας αναφέρουμε και τον έλεγχο

\dfrac{{2a + 7}}{{a + 1}} \neq \dfrac{{2a - 7}}{{a - 1}} για a >0.
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 22, 2020 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοιόθετες επικαλύψεις
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 61

Ομοιόθετες επικαλύψεις

Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο στο επίπεδο. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ομοιόθετων με αυτό παραλληλογράμμων με θετικό συντελεστή ομοιοθεσίας μικρότερο της μονάδας, που χρειάζονται για να το επικαλύψουν.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 21, 2020 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 147

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 6. 7. 8. Στον πίνακα γράφτηκαν $n$ δευτεροβάθμια τριώνυμα της μορφής $\star x^2 + \star x + \star$ (στην θέση των συντελεστών είναι γραμμένα αστέρια). Μπορούμε άραγε για κάποιο $n > 100$ να τοποθετήσουμ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 282

Re: Απόλυτο-παραμετρική

:coolspeak: Να βρείτε γενικά για ποιές πραγματικές τιμές του a έχει η εξίσωση ακριβώς τέσσερεις ρίζες.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόλυτο-παραμετρική
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 282

Απόλυτο-παραμετρική

Να βρείτε την ελάχιστη ακέραια τιμή της παραμέτρου a, για την οποία η εξίσωση

\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.
από Al.Koutsouridis
Παρ Νοέμ 20, 2020 9:59 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αναζητώντας το μέσο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 206

Re: Αναζητώντας το μέσο

Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο $S$ της πλευράς $AC$ , ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$ υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $T$ . Φέρουμε $TM \perp BC$ . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ , αν το σημείο $M$ είναι το μέσο της $BC$ Αν $T^{\prime...
από Al.Koutsouridis
Τετ Νοέμ 18, 2020 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 1982
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 118

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 1982

Θέματα της 10ης τάξης Πρόβλημα 1. α) Να αποδείξετε, ότι αν από κάποιο εσωτερικό σημείο ενός κανονικού τετράεδρου όλες οι ακμές του φαίνονται υπό ίσες γωνίες, τότε αυτό το σημείο είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετράεδρου. β) Υπάρχουν άραγε εκτός του εσωτερικού ενός (τυχαίου) τετράεδ...
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 16, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δεν τέμνει στο μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 135

Re: Δεν τέμνει στο μέσο

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 16, 2020 8:13 pm
Όχι μέσο.png Χωρίς λόγια ...
Εν γένει υπάρχουν δυο σημεία M για τα οποία MK=ML, αρκεί να μην ξεχαστεί.
από Al.Koutsouridis
Δευ Νοέμ 16, 2020 3:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δεν τέμνει στο μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 135

Δεν τέμνει στο μέσο

Στο τρίγωνο $ABC$ με $(\angle C =90^0)$ στην κάθετο $BC$ δίνονται τα σημεία $K$ και $L$ τέτοια, ώστε $\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB$. Στην υποτείνουσα $AB$ δίνεται σημείο $M$ τέτοιο, ώστε $ML=KL$. Να αποδείξετε, ότι η κάθετος από το σημείο $C$ προς την ευθεία $AK$ δεν τέμνει το τμήμα $ML$ στο μέσο.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 14, 2020 4:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γιατί τέμνονται;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 133

Γιατί τέμνονται;

Στο σχολικό μας βιβλίο στην εισαγωγή του κεφαλαίου "Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια" αναφέρει:

Κάθε κυρτό τετράπλευρο A B \Gamma \Delta έχει δύο διαγωνίους A \Gamma και B \Delta, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους.

Αποδείξτε το.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 121

Ανισότητα σε πεπερασμένο σύνολο αριθμών

Οι αριθμοί $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}$ είναι μη αρνητικοί, εξάλλου $a_{1}=a_{7}=0$. Να αποδείξετε, ότι για κάποιο δείκτη $i \in \{ 2,3,4,5,6 \}$ ικανοποιείται η ανισότητα $a_{i-1}+a_{i+1} \leq a_{i} \sqrt{3}$. Μπορεί να ισχύει η ισότητα στις ανισότητες για κάθε $i \in \{ 2,3,4,...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 12, 2020 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 126

Εγκλωβίζοντας την ρίζα

Είναι γνωστό ότι a^5-a^3+a=2. Να αποδείξετε, ότι 3< a^6 < 4.
από Al.Koutsouridis
Τετ Νοέμ 11, 2020 1:42 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χρωματισμός πολυέδρου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 198

Re: Χρωματισμός πολυέδρου

Δίνεται πολύεδρο. Να δειχθεί ότι μπορούν να χρωματισθούν οι έδρες του με το πολύ έξι χρώματα έτσι ώστε έδρες με κοινή ακμή να έχουν διαφορετικό χρώμα. Ειναι γνωστό Euler οτι αν $E$,$A$, $K$ είναι αντίστοιχα το σύνολο των εδρών,ακμών,κορυφών τότε ισχύει $|E|+|K|=|A|+2$ Έστω $E_{m}$ το σύνολο των $m-...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 08, 2020 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλαπλά αθροίσματα ψηφίων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 174

Re: Πολλαπλά αθροίσματα ψηφίων

$4n\mod 9 \equiv 2020 \mod 9 = 4$. Άρα $n\equiv 1\mod 9$, Αυτή η παρατήρηση μειώνει αισθητά τις περιπτώσεις. Ας την διατυπώσουμε με λόγια: αν το άθροισμα τεσσάρων ακεραίων που έχουν το ίδιο υπόλοιπο με την διαίρεση με το $9$ έχει υπόλοιπο $4$ με την διαίρεση με το $9$, τότε ο καθένας από αυτούς του...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση