Η αναζήτηση βρήκε 992 εγγραφές

από Al.Koutsouridis
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μοναδικό κοινό σημείο
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 624

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:02 pm
Είναι φανερό ότι η τοποθέτηση του θέματος αυτού σε φάκελο Λυκείου , ήταν άστοχη :oops:
Γιατί άστοχη, μια χαρά το βρίσκω το πρόβλημα.
από Al.Koutsouridis
Τρί Δεκ 03, 2019 11:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μοναδικό κοινό σημείο
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 624

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Βρείτε θετικό αριθμό $a$ , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : $f(x)=\dfrac{x^3}{a}$ και : $g(x)=-x^2+ax-15$ , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο . Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε :-| Παρόμοιες με του κ.Χρήστου παραπάνω ήταν και οι δικές μου σκ...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:27 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 405

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

Με λίγη προσοχή βελτιώνεται κι' άλλο αλλά δεν το έκανα. Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε και την προτεινόμενη απόδειξη η οποία δίνει το $\tfrac{11}{60}$. Μεταφέρω την πιθανή προτεινόμενη λύση, λέω πιθανή γιατί την μεταφέρω από το περιοδικό Κβάντικ (τέυχος 6, 2019) όπου το πρόβλημα τίθεται με τρια ερωτήμ...
από Al.Koutsouridis
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 163

Ομοκυκλικότητα

Στη βάση $BC$ και στις παράπλευρες πλευρές $AB$, $AC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ δίνονται τα σημεία $P,Q$ και $R$ αντίστοιχα, ώστε το τετράπλευρο $PQAR$ να είναι παραλληλόγραμμο. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$ δίνεται σημείο $S$ τέτοιο, ώστε $\angle ASP =90^{0}$. Να αποδείξετε ότι τα ση...
από Al.Koutsouridis
Τετ Νοέμ 27, 2019 9:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γαλλική παραλληλία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 160

Re: Γαλλική παραλληλία

Γαλλική παραλληλία.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ),$ εγγράφουμε (πώς;) τετράγωνο $KLMN$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν $O$ είναι το κέντρο του τετραγώνου και οι $AO, BM$ τέμνουν τις $NM, NK$ στα $D, E$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι $DE||AB.$ Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο $ANOM$ είναι...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 405

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη. 1. Η αξία του κρυπτονομίσματος Θάλιον την πρώτη Μαρτίου ήταν ένα ευρώ, ύστερα κάθε μέρα αυξανόταν κατά ένα ευρώ. Η αξία του κρυπτονομίσματος Ευκλείδιουμ την πρώτη Μαρτίου ήταν επίσης ένα ε...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Κορεατικές επιλογές
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 138

Κορεατικές επιλογές

Έστω ότι, η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης $y=e^x$ στο σημείο $\left (t, e^t \right )$ είναι $y=f\left (x \right )$, όπου $t$ πραγματικός αριθμός και έστω $g\left ( t \right )$ η ελάχιστη τιμή του πραγματικού αριθμού $k$ για την οποία η συνάρτηση $\displaystyle y=|f\left (x \right )+k -\ln x |...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 21, 2019 10:47 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Υπάρχει;
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 253

Re: Υπάρχει;

Ας δούμε πως περίπου θα μπορούσε να σκεφτεί κάποιος. Έστω $a$ ο αριθμός με την ζητούμενη ιδιότητα που ψάχνουμε και $s$ το άθροισμα των ψηφίων του. Τότε θα είναι $a=2019 \cdot s$. Όμως το $2019 =3 \cdot 673$ είναι πολλαπλάσιο του $3$. Άρα το άθροισμα των ψηφίων του $a$ θα είναι πολλαπλάσιο του $3$ δη...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 21, 2019 10:32 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Κυκλικά όρια
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 165

Re: Κυκλικά όρια

Ευκολάκι για Κορέα: $\displaystyle{\lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PR} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{OQ}{OP-PQ} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{t}{\sqrt {t^2+\sin ^2 t}-\sin t}= }$ $\displaystyle{= \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt {1 +\dfrac {\sin ^2 t}{t^2}}- \dfrac {\sin t}...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:06 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Κυκλικά όρια
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 165

Κυκλικά όρια

Έστω $C$ κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle P\left (t, \sin t \right )$ που κινείται στην καμπύλη $y=\sin x$ στο καρτεσιανό επίπεδο ($0< t < \pi$) και εφάπτεται του άξονα των $x$. Έστω $Q$ το σημείο στο οποίο ο κύκλος $C$ τέμνει τον άξονα $x$ και $R$ το ευθύγραμμο τμήμα $OP$. Αν $\displaystyl...
από Al.Koutsouridis
Τρί Νοέμ 19, 2019 11:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: S-493 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 178

Re: S-493 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Προτείνω το S-493 από το πέμπτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2019. Το θέμα υπογράφεται από τον Andrian Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Austin των Η.Π.Α, Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε , έτσι δεν υπάρχει κάτι που με εμποδίζει να το δημοσιεύσω. Σε τρίγωνο $ABC$ δίνετα...
από Al.Koutsouridis
Τρί Νοέμ 19, 2019 12:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4547

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Γνωρίζει κανείς γιατί το δευτερο θέμα της Β'λυκείου και το τρίτο της Γ'λυκείου, που είναι ίδια, είναι με αυτή την σειρά; Θα περίμενε κανείς από την στιγμή που είναι δεύτερο θέμα στη Β'Λυκείου να είναι πρώτο ή δεύτερο θέμα στην Γ' Λυκείου. Επίσης είναι δυνατόν να μεταφερθεί το θέμα στο φάκελο "Θέματα...
από Al.Koutsouridis
Τρί Νοέμ 19, 2019 10:05 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 152

Ανισότητα

Για του θετικούς αριθμούς a,b και c να αποδείξετε ότι ισχύει

\displaystyle \dfrac{1+bc}{a} +\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+ \sqrt{b^2+2}+ \sqrt{c^2+2}.
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 17, 2019 9:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 327

Re: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Όπως φαίνεται και από την απόδειξη του Αλέξανδρου, πρόκειται για μια χαλαρή ανισότητα. Ας δούμε και την ακόλουθη παρατήρηση. Η αποδεικτέα γράφεται (γιατί;) ως $\displaystyle{\sum \sin B\sin C \leq \sum \cos A+\frac{1}{3}\left (\sum \cos A \right)^2.}$ Λόγω της $\displaystyle{1<\sum \cos A\leq \frac...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 16, 2019 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Της Κορέας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 364

Της Κορέας

Για θετικό πραγματικό αριθμό $\displaystyle t$, έστω $\displaystyle f(t)$ η τιμή του πραγματικού αριθμού $\displaystyle a$ τέτοια, ώστε η καμπύλη $y=t^3 \ln \left ( x-t \right )$ να τέμνει την καμπύλη $\displaystyle y=2e^{x-a}$ σε ακριβώς ένα σημείο. Να βρείτε την τιμή $\displaystyle \{ f^{\prime} \...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 16, 2019 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Υπάρχει;
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 253

Re: Υπάρχει;

Υπάρχει άραγε φυσικός αριθμός ο οποίος είναι $2019$ φορές μεγαλύτερος από το άθροισμα των ψηφίων του; Ναι, υπάρχει! :) Ο $36342$ ικανοποιεί τις συνθήκες! Έχει άθροισμα ψηφίων $18$ και είναι $2019 \cdot 18=36342$. :coolspeak: Καλό είναι αργότερα να δούμε και τος σκέψεις που οδηγούν σε αυτό τον αριθμ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 16, 2019 5:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 327

Re: Ο495 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Σας προτείνω το θέμα Ο495 από το πέμπτο τεύχος του 2019 των Mathematical Reflections. To θέμα προτάθηκε από τον Ngugen Viet Hung του Hanoi University of Science στο Βιετνάμ. Η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε , έτσι μπορώ άνετα να το προτείνω. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Αποδείξτ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 16, 2019 10:28 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Υπάρχει;
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 253

Υπάρχει;

Υπάρχει άραγε φυσικός αριθμός ο οποίος είναι 2019 φορές μεγαλύτερος από το άθροισμα των ψηφίων του;
από Al.Koutsouridis
Κυρ Νοέμ 10, 2019 11:05 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εγκιβωτισμένος κύκλος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 233

Re: Εγκιβωτισμένος κύκλος

Παραθέτω την λύση μου εντός hide. Θα άρω την απόκρυψη αργότερα και σίγουρα άμεσα ματά την επόμενη παρέμβαση. Αν δεν έχω κάποια λάθος αντίληψη της εκφώνησης... Ίσως να μην είναι κατανοητό από την εκφώνηση, το πρόβλημα μιλάει γενικά για έναν κύκλο μέσα στο κύβο, δεν είναι απαραίτητο να εφάπτεται ή να...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εγκιβωτισμένος κύκλος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 233

Εγκιβωτισμένος κύκλος

Σε μοναδιαίο κύβο τοποθετούμε κύκλο μοναδιαίας διαμέτρου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων αυτών των κύκλων.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση