Η αναζήτηση βρήκε 1323 εγγραφές

από Al.Koutsouridis
Σάβ Μαρ 06, 2021 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γιατί τέμνονται;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 373

Re: Γιατί τέμνονται;

Καλησπέρα! Θα χρειαστώ το αξίωμα του Pasch: Αν μία ευθεία τέμνει μία πλευρά τριγώνου, τότε θα τέμνει άλλη μία πλευρά και ή θα είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά του ή θα τέμνει την προέκταση της. Γιατί τέμνονται;.png Στο ερώτημά μας τώρα. Θεωρώ σημείο $E$ στην προέκταση του $BA$ προς το $A.$ Σύμφωνα...
από Al.Koutsouridis
Παρ Μαρ 05, 2021 11:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γιατί τέμνονται;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 373

Re: Γιατί τέμνονται;

Καλησπέρα. Επιχειρώ μια αιτιολόγηση βασισμένη στους ορισμούς των εννοιών από παλαιότερα σχολικά βιβλία. 15-11-2020 Γεωμετρία b.png Κάθε σχήμα που έχει την ιδιότητα να περιέχει το τμήμα με άκρα δύο οποιαδήποτε σημεία του λέγεται κυρτό χωρίο. Η γωνία $ \widehat A$ είναι κυρτή, άρα κυρτό χωρίο, οπότε ...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Φεβ 28, 2021 8:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ο κήπος και το γκαζόν
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 106

Ο κήπος και το γκαζόν

Ο Νίκος έχει ένα κήπο τριγωνικής μορφής. Αποφάσισε να τοποθετήσει σε αυτό γκαζόν. Γνωρίζοντας το τρίτο κριτήριο ισότητας τριγώνων, μέτρησε το μήκος των τριών πλευρών του κήπου και παρήγγειλε τριγωνικό κομμάτι γκαζόν ίδιων διαστάσεων. Όταν όμως έφτασε το γκαζόν ο Νίκος δεν κατάφερε να το τοποθετήσει ...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Φεβ 28, 2021 10:39 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Σημείο τομής εφαπτομένων παραβολής
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 83

Σημείο τομής εφαπτομένων παραβολής

Να δείξετε, ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων από δυο σημεία μιας παραβολής είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που ορίζουν η εστία της παραβολής και τα ίχνη των καθέτων αυτών των σημείων στη διευθετούσα της.

Με αφορμή από εδώ.

tomh_efaptomenwn_se_paravolh.png
tomh_efaptomenwn_se_paravolh.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 22, 2021 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Προς τους ενδιαφερόμενους για IMO2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 2513

Re: Προς τους ενδιαφερόμενους για IMO2020

Ας την αναλάβει η Ελλάδα και ας την εντάξει στο πρόγραμμα για τα 200 χρόνια από την Ελληνική Επανάσταση. Και από που ξεκινήσε η επανάσταση; Από την Καλαμάτα. Ας την κάνουμε εδώ λοιπόν!!! :D :D :D Στον σύγχρονο Ελλαδικό χώρο, ναι, γενικά η Ελληνική Επανάσταση ξεκίνησε σαν σήμερα πριν από 200 χρόνια ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 20, 2021 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 143

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί $a$ και $b$, καθώς και το άθροισμά τους $a+b$. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένο...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 13, 2021 4:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εκθετική με παράμετρο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 94

Εκθετική με παράμετρο

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες η εξίσωση:

\left ( \sqrt{x^2-3ax+8} +\sqrt{x^2-3ax+6}\right )^x +\left ( \sqrt{x^2-3ax+8} -\sqrt{x^2-3ax+6}\right )^x = 2 \left ( \sqrt{2}\right )^x

έχει μοναδική λύση.
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 13, 2021 12:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ορισμός κύκλου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 72

Ορισμός κύκλου

Στο σχολικό βιβλίο έχει τον παρακάτω ορισμό του κύκλου:

"Κύκλος με κέντρο O και ακτίνα \rho λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το O απόσταση ίση με \rho."

Είναι ο ορισμός σωστός; Ποιά άλλα σχήματα ορίζει ο παραπάνω ορισμός;
από Al.Koutsouridis
Παρ Φεβ 12, 2021 10:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 238

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 1. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά ενός πίνακα $9 \times 9$ τους φυσικούς αριθμούς από το $1$ έως το $81$ (σε κάθε κελί από έναν αριθμό, όλοι αριθμοί είναι διαφορετικοί). Προέκυψε ότι οποιοιδήποτε δυο αριθμο...
από Al.Koutsouridis
Πέμ Φεβ 11, 2021 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σημείο καμπής
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 288

Re: Σημείο καμπής

Το πρόβλημα έχει λύση όταν τα τόξα δεν τέμνουν τις πλευρές $AD, BC$ σε εσωτερικά σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle \frac{a}{b} \ge \sqrt 3 .$ Νομίζω το πρόβλημα έχει λύση πάντα, αν υποθέσουμε ότι η καμπύλη μας ξεκινάει και τελειώνει στα άκρα μιας διαγωνίου. Αρκεί τα κέντρα $K.L$ να είναι α...
από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 08, 2021 7:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 1373

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Το κέντρο $S$ αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου $O$, το σημείο τομής της $AB$ με το επίπεδο $P$ και ακτίνα ίση με $\sqrt{OA \cdot OB}$ με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος $AB$. Πολύ σωστά γράφει, αποδείχνει και παρουσιάζει ...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Φεβ 07, 2021 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 1373

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

1. Δίνεται επίπεδο $\left( P \right)$ και δύο σημεία $A,\;B$ που δεν ανήκουν σε αυτό και ανήκουν στον ίδιο ημιχώρο από τους δύο που το επίπεδο $\left( P \right)$ χωρίζει τον χώρο. Να κατασκευαστεί σφαίρα που διέρχεται από τα σημεία $A,\;B$ και εφάπτεται στο επίπεδο $\left( P \right).$ Πόσες τέτοιες...
από Al.Koutsouridis
Κυρ Φεβ 07, 2021 4:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 457

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 1. Ένας θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του $1000000$ δίνει το ίδιο υπόλοιπο στην διαίρεση με τους αριθμούς $40$ και $625$. Ποιο μπορεί να είναι το ψηφίο τον χιλιάδων αυτού του αριθμού; (Ν. Αγκαχάνοβ, Κ. Σ...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 06, 2021 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Tρείς κύκλοι με κοινή εφαπτομένη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 615

Re: Tρείς κύκλοι με κοινή εφαπτομένη

Έστω $M$ το σημείο επαφής της $AB$ και του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο $ABC$. Έστω $T$ τυχαίο σημείο της πλευράς $BC$ ,διάφορο από τα $B$ και $C$.Αποδείξτε ότι οι τρείς κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι στα τρίγωνα $BMT,MTA,ATC$ εφάπτονται μιας ευθείας Αρχικά θα αποδείξουμε το παρακάτω β...
από Al.Koutsouridis
Σάβ Φεβ 06, 2021 2:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Αριθμητική πρόοδος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 211

Re: Αριθμητική πρόοδος

:oops: Για όσους προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα απλά να ενημερώσω ότι έχει αλλαχθεί η εκφώνηση, ύστερα από παρατήρηση του κ.Ρεκούμη (rek2). Το σημείο: "...είναι μικρότερο ακριβώς κατά δυο φορές από ότι..." έγινε το σωστό " είναι μικρότερο ακριβώς κατά δυο από ότι...".
από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 03, 2021 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 390

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Λάθος. Καθώς και η σταθερή μηδενική συνάρτηση αποτελεί αντιπαράδειγμα.
από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 03, 2021 10:15 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: "Διοφαντική"
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

Re: "Διοφαντική"

:coolspeak: Τα λόγκο νομίζω δεν χρειάζονται. Περιμένουμε και μια πιο ευφάνταστη λύση ;)
από Al.Koutsouridis
Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: "Διοφαντική"
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

"Διοφαντική"

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση

31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right).
από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 01, 2021 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 329

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)

Απλά θεώρησα ότι το $a+c>a-1$ προφανές άτοπο, αλλά όντως θα έπρεπε να το γράψω... Αυτό είναι προφανές, το μη προφανές είναι αν σε αυτό συμπεριλήφθηκε η περίπτωση $a-1=0$ ή όχι. Πάλι εύκολα οδηγούμαστε σε άτοπο, αλλά δεν είναι φανερό από το παραπάνω βήμα ή στην αρχική λύση αν εξετάστηκε. Το έγραψα π...
από Al.Koutsouridis
Δευ Φεβ 01, 2021 10:07 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 329

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)

Για την 2 Ας υποθέσουμε ότι $a+c$ πρώτος. Αρχικά, αφού το $LHS$ είναι θετικός ακέραιος, έτσι πρέπει και το $RHS$. Τότε $ab-cd>0 \Rightarrow ab>cd \Rightarrow \frac{a}{d} > \frac{c}{b} > \frac{c}{c} = 1 \Rightarrow a>d \Rightarrow a+c>b+d$. Με $mod.(a+c)$ τώρα θα είναι $b+d=ab-cd (mod.(a+c))$ $\Righ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση