shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου $ABCD.$ Έστω $2a$ η πλευρά του τετραγώνου και $KE=KM=x.$ Είναι $\displaystyle {x^2} = 20 \Leftrightarrow $ $\boxed{x=2\sqrt 5}$ και $\boxed{EM=2\sqrt{10}}$ Τρίγωνο σε τετράγωνο.ΜΝ.png $\displaystyle \frac{{(EKM)}}{{(AKM)}} = \frac{{ME...

Παραβολή και κύκλος.pngΚύκλος με κέντρο $O$ και ακτίνα $r$ , τέμνει την παραβολή με εξίσωση : $f(x)=x^2-\dfrac{7}{2}x-2$ στα σημεία $A, B , C , D$ , με το $A$ στο $1o$ τεταρτημόριο , το $B$ στο $2o$ και τα $C , D$ , στο $4o$ . Αν τα $B , C$ είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου , δείξτε ότι η γωνί...

Δίνεται τραπέζιο με και

Να βρείτε την πλευρά συναρτήσει του καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου.

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς $AB$. Ο κύκλος διαμέτρου $AB$ τέμνει την $AE$ στο $O$ που είναι και το περίκεντρο του $ABC.$ Προφανώς, $AB=R\sqrt 2.$ Τρίγωνο και τετράγωνο.ΜΝ.png $\displaystyle BE \cdot EC = {R^2} - O{E^2} \Leftrightarrow 8 = {R^2} - (16 - {R^2}) \Leftri...

Τμήμα και εφαπτομένη.pngΠροεκτείνω την χορδή $BA$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : $AS=BA$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ , το οποίο τέμνει την προέκταση της $OA$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $AT$ ( συναρτήσει της ακτίνας $OA=r$ ) και την $\tan\theta$ . Είναι $...

Καλημέρα. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}C\,\,\left( {\widehat A > {{90}^0}} \right)$ με $\widehat {\rm B} = {45^0},\,\,BC = 10$, παίρνουμε στη $BC$ σημείο ${\rm E}$ ώστε ${\rm B}{\rm E} = 4$. Εγγράφουμε τετράγωνο $ADEZ$ πλευράς α με $Z \in AC$. Να υπολογισθεί το $\left( {ABC} \...

Καλημέρα. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}C\,\,\left( {\widehat A > {{90}^0}} \right)$ με $\widehat {\rm B} = {45^0},\,\,BC = 10$, παίρνουμε στη $BC$ σημείο ${\rm E}$ ώστε ${\rm B}{\rm E} = 4$. Εγγράφουμε τετράγωνο $ADEZ$ πλευράς α με $Z \in AC$. Να υπολογισθεί το $\left( {ABC} \...

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑

Σάβ Απρ 13, 2024 12:04 pm

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς .

Το μέγιστο τραπέζιο.png Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a.$ Στα τεταρτοκύκλια $B\overset\frown{AC}, A\overset\frown{BD}$ θεωρούμε τα σημεία $S, T$ αντίστοιχα ώστε $ST||AB.$ $(\rm I)$ Να εκφράσετε το εμβαδόν του τραπεζίου $STBA$ ως συνάρτηση του ύψους του $SE=x.$ $(\rm II)$ Να δείξετε ότι το μέγισ...

Σύγκριση μικτόγραμμων.pngΝα συγκριθούν τα εμβαδά $A$ και $B$ των μικτόγραμμων τριγώνων του σχήματος . ( Οι διακεκομμένες γραμμές είναι παράλληλες προς τους άξονες ) $\displaystyle {e^{\sqrt x }} = 2 \Leftrightarrow x = {\ln ^2}2,$ άρα η τετμημένη του $T$ είναι $\displaystyle {\ln ^2}2.$ Σύγκριση μι...

Δεν βλέπω κάτι άλλο, εκτός από και οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος.

Τροχιά κορυφής.png$\bigstar$ Η σταθερή βάση $OA=a$ , του ορθογωνίου τραπεζίου $OABC$ , είναι ο πρώτος όρος γεωμετρικής προόδου , μεταβλητού λόγου , ενώ οι $OC , CB$ , είναι οι δύο επόμενοι όροι . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής $B$ . Βρείτε και την γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιου του τραπ...

Γενικότερα ισχύει η παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Θεωρούμε γωνία $x\widehat Oy$ και την ακολουθία κύκλων $(C_1, R_1), (C_2, R_2), (C_3, R_3),...$ έτσι ώστε κάθε κύκλος να εφάπτεται των πλευρών της γωνίας $x\widehat Oy,$ του προηγούμενου και του επόμενου κύκλου. Να δειχθεί ότι η ακολουθία $R_1, R_2, R_3...

Χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής, να υπολογίσετε την τιμή της ρίζας

24 ώρες μόνο για μαθητές.

Ο πολυμήχανος.pngΤο $M$ είναι το μέσο της $AC$ . Ας δείξουμε με διάφορους τρόπους ότι : $BM\perp AQ$ . Παρακαλείται ο κάθε λύτης να δημοσιεύσει - σε μια πρώτη φάση - μόνο μία λύση ! Ο πολυμήχανος.png Από την ισότητα των τριγώνων $ABP, BMQ$ είναι $\displaystyle P\widehat BM = B\widehat AP = P\wideha...

Όλοι ακέραιοι.pngΤα μήκη όλων των τμημάτων που φαίνονται στο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ , είναι ακέραια . Βρείτε τα ! $\displaystyle B{C^2} = A{S^2} + SC \cdot SA \Leftrightarrow {a^2} = {(a - 2)^2} + x(a - x) \Leftrightarrow a = \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 4}} \Leftrightarrow $ $\boxed{a = x + 4 + \frac{...

Αντιστροφή λόγου.pngΗ διάμεσος $CM$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $S$ . α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . Από τα όμοια τρίγωνα $MAS...

Ευχαριστώ το Σωτήρη και τον Αλέξανδρο για τις πολύ ωραίες λύσεις τους. Να σημειώσω

απλώς ότι η άσκηση είναι από το βιβλίο του Γιάννη Ντάνη, Γεωμετρία του Χώρου 2 (1972).

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά

Διαβολική αναλογία.pngΜε σημείο $S$ διαιρέσαμε την πλευρά $AB$ του τετραγώνου $ABCD$ , σε λόγο : $\dfrac{AS}{SB}=\lambda , \lambda <1$ . Κύκλος εφάπτεται στις πλευρές $AB , AD$ του τετραγώνου , στα σημεία $S$ και $P$ . Φέρουμε και το εφαπτόμενο τμήμα $BT$ . Η χορδή $PT$ προεκτεινόμενη , τέμνει την ...