Η αναζήτηση βρήκε 509 εγγραφές

από Ηλιας Φραγκάκος
Σάβ Μαρ 04, 2017 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Συγχαρητήρια
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 446

Συγχαρητήρια

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που πέρασαν και τον Αρχιμήδη. Ιδιαίτερα στα Χανιωτάκια Μίνω Κουντουράκη, Ι. Μπορμπαντωνάκη και στον αδερφό μας Θοδωρή Καλαμαράκη . Τον συγχαίρουμε και του ευχόμαστε να πανηγυρίσει άλλη μια Euroligue στην Κωνσταντινούπολη!!! Το ίδιο ευχόμαστε και στο σύγγαυρο Ορέστη Λιγν...
από Ηλιας Φραγκάκος
Πέμ Σεπ 01, 2016 7:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2015 (2/2) Γεωμετρία-Συνδυαστική
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 3423

Re: JBMO Shortlist 2015 (2/2) Γεωμετρία-Συνδυαστική

G1. Το τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω $\displaystyle{t}$ η εφαπτομένη του κύκλου στο $\displaystyle{C}$. Η ευθεία $\displaystyle{p}$, που είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{t}$, τέμνει τις ευθείες $\displaystyle{BC}$ και $\displaystyle{AC}$ στα ...
από Ηλιας Φραγκάκος
Τετ Αύγ 31, 2016 12:14 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρόνια Πολλά
Απαντήσεις: 34
Προβολές: 1755

Re: Χρόνια Πολλά

Χρόνια Πολλά στον Κρητικό, Αλέξανδρο Συγκελάκη.
από Ηλιας Φραγκάκος
Πέμ Αύγ 25, 2016 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ κι Ευχές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 724

ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ κι Ευχές

Για όσους μαθητές - φίλους του Μαθεμάτικα πέτυχαν σε κάποια σχολή, Συγχαρητήρια κι Ευχές.
Ειδικά στη συμμαθήτριά μας, Αφροδίτη Κολομβάκη, από 3ο Λύκειο Χανίων. :-)
από Ηλιας Φραγκάκος
Πέμ Αύγ 25, 2016 1:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ισότητα προβολών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1255

Re: Ισότητα προβολών

CONGRATS4APHRODITE.png Έστω $E$ το σημείο τομής της $BS$ με την ημιπεριφέρεια διαμέτρου $AB$. $\angle AEB = 90^o$ επειδή βαίνει σε διάμετρο. Άρα, το $CDEA$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Δηλαδή, $DE=CA$. $\angle SDE = \angle PCA = \angle CAE = \angle DEA = \hat \alpha$. Άρα, $\triangle SDE = \triangle P...
από Ηλιας Φραγκάκος
Τρί Αύγ 23, 2016 12:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Επί του ύψους
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 469

Re: Επί του ύψους

Καλησπέρα. KSEREIOPROEDROS.png $BG = GE , DR = RC$. Προεκτείνω την $AS$ και φέρω την κάθετη από το $G$ στην ευθεία $AS$. Άρα $GM \perp AS$. Έστω $T$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $M$. Άρα, $GM$ μεσοκάθετος του $ST$. To $G$ και το $R$ είναι σημεία της διακέντρου και ορίζουν τη μεσοκάθετο της κοινή...
από Ηλιας Φραγκάκος
Κυρ Αύγ 21, 2016 4:53 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τμήμα προβολών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 329

Re: Τμήμα προβολών

Προεκτείνω τo $CK$ προς το $K$ μέχρι να τμήσει την $AB$ , έστω, στο $C'$. Το σημείο $I$ ισαπέχει από τα σημεία $C$ και $C'$. Φέρω τον περίκυκλο του $\triangle ICC'$ . Επειδή το σ. $A$ "βλέπει" τα ίσα τόξα $C'I$ και $IC$ με ίσες γωνίες, τις $\angle C'AI = \angleIAC = \hat \alpha$ , αυτό σημαίνει ότι ...
από Ηλιας Φραγκάκος
Τετ Αύγ 17, 2016 11:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνία 1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

Re: Γωνία 1

Καλησπέρα, κ. Φάνη και κ. Ευθύμη. Ίδια είναι η λύση μου με του κ. Αλεξίου, αλλά λέω να τη βάλω για το σχήμα, να μην πάει χαμένο. ΘΑΠΕΣΟΥΝΤΑΤΣΙΜΕΝΤΑΜΕΤΟΒΡΑΖΙΛΙΑΝΟ.png $\angle \Delta \Gamma M = \angle OBM = \hat \beta$ ως εξωτερική της απέναντι στο εγγράψιμο $OBM \Gamma$ $\angle MAB = \angle M \Delta ...
από Ηλιας Φραγκάκος
Πέμ Αύγ 11, 2016 9:50 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 353

Re: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής

Έστω O το περίκεντρο.
PAMEGIATOTESSARAKOSTOTTARTO.png
PAMEGIATOTESSARAKOSTOTTARTO.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
Aν φέρω τον κύκλο (O, OA) , κάθε σημείο της περιφέρειας μπορεί να είναι το ζητούμενο C.
Πάμε για το τεσσαρακοστό τέταρτο.
από Ηλιας Φραγκάκος
Πέμ Αύγ 11, 2016 9:35 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 353

Re: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής

Έστω I το έγκεντρο.
KSEREIOPROEDROS.png
KSEREIOPROEDROS.png (6.99 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
Φέρω IH \perp AB και τον κύκλο c με κέντρο το I και ακτίνα IH.
Αν φέρω τις εφαπτόμενες ευθείες από τα A και B στον κύκλο c, το σημείο τομής τους θα είναι το ζητούμενο C .
από Ηλιας Φραγκάκος
Πέμ Αύγ 11, 2016 9:24 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 353

Re: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής

Έστω H το ορθόκεντρο.
PSILATOKEFALI.png
PSILATOKEFALI.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
HK \perp AB, HK=KH' .
Φέρω τον περίκυκλο του \triangle AH'B. Εκεί που τέμνονται η ευθεία HK και η περιφέρια αυτή, είναι το ζητούμενο τρίτο σημείο C .
από Ηλιας Φραγκάκος
Πέμ Αύγ 11, 2016 9:11 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 353

Re: Μία με αναζήτηση της τρίτης κορυφής

Kαλημέρα.
PAULO BENTO.png
PAULO BENTO.png (8.23 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
AM=MB , 2MG=GC, αν G είναι το βαρύκεντρο του \triangle ABC .
από Ηλιας Φραγκάκος
Σάβ Αύγ 06, 2016 9:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Σωτήρηδες
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 1844

Re: Σωτήρηδες

Χρόνια Πολλά σε όλους τους εορτάζοντες του Μαθεμάτικα,
ειδικά στον κ. Σωτήρη Λουρίδα που είχαμε την τύχη να γνωρίσουμε τον Απρίλιο του 2015, στα Ανώγεια.
(Σωτηρία ευχόμαστε και στην Ομάδα της καρδιάς μας που πληγώθηκε προχθές). :-(
από Ηλιας Φραγκάκος
Δευ Αύγ 01, 2016 2:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Παραλληλία χωρίς απαιτήσεις (Α ΛΥΚ ΓΕΩΜ)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 637

Re: Παραλληλία χωρίς απαιτήσεις (Α ΛΥΚ ΓΕΩΜ)

Καλημέρα. GERAGIATODIPLO.png Ονομάζω $\hat \pi$ και $\hat \rho$ , και $\hat \phi$ και $\hat \chi$ τις συμπληρωματικές των ορθών γωνιών $\angle SBP$ και $\angle PAS$. H γωνία $\anfle TAC= \hat \rho$ ως ίση με την $\amgle ABP$ καθώς σχηματίζεται από τη χορδή $CA$ και την εφαπτομένη $TS$ στο $A$. Άρα, ...
από Ηλιας Φραγκάκος
Σάβ Ιούλ 30, 2016 9:34 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Διάκριση για τον Ορέστη Λιγνό!
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2964

Re: Διάκριση για τον Ορέστη Λιγνό!

Χίλια ΜΠΡΑΒΟ στον Ορέστη,
τον Ερυθρόλευκο - Θρησκευόμενο Επιστήμονα.
από Ηλιας Φραγκάκος
Τρί Ιούλ 19, 2016 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Διχοτόμος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 369

Re: Διχοτόμος

Καλησπέρα, κ. Φάνη.
Το τετράπλευρο BECZ εγγράφεται επειδή η EC φαίνεται υπό γωνία 45^o
Τα τόξα EC και CZ είναι ίσα, άρα θα είναι ίσες και οι γωνίες που βαίνουν σε αυτά.
Γεια σου Ορέστη, Σύγγαυρε!
από Ηλιας Φραγκάκος
Τρί Ιούλ 19, 2016 10:46 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Διχοτομεί;
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 575

Διχοτομεί;

Στο τρίγωνο $ABC$ του σχήματος το $E$ είναι σημείο της διαμέσου $AM$ και το $Z$ η προβολή του στη $BC$. ΑΘΩΟΣΟΠΡΟΕΔΡΟΣ.png Αν το $D$ είναι σημείο του $EZ$ τέτοιο ώστε οι προβολές του $K$ και $L$ στις $AB$ και $AC$ , αντίστοιχα, να βρίσκονται στην ίδια ευθεία με το $E$, ν.δ.ό. $\angle BAD = \angle DAC$
από Ηλιας Φραγκάκος
Κυρ Ιούλ 17, 2016 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Καλοκαιρινή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 432

Καλοκαιρινή

$A, \Gamma, \Delta , B$ είναι σημεία ημικυκλίου με διάμετρο $AB$. ALEJANDRODOMINGUEZ.png Av oι εφαπτόμενες στα $\Gamma$ και $\Delta$ τέμνονται στο $P$ και οι διαγώνιοι $\Gamma B$ και $A \Delta$ τέμνονται στο $H$, ν.δ.ό. $PH \perp AB$. Av oι ευθείες $A \Gamma$ και $B \Delta$ τέμνονται στο $\Sigma$, ν...
από Ηλιας Φραγκάκος
Σάβ Ιούλ 16, 2016 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τι σχέση έχουν;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 178

Re: Τι σχέση έχουν;

Άντε γεια! ΚΥΡΙΑΚΟΣ
PARECAMBELLPROEDRE.png
PARECAMBELLPROEDRE.png (31.42 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές
Είναι παραλληλόγραμμο το PHOL.
Αν η γωνία \angle ZAH=\omega τότε \angle ZOH=2\omega
\angle PAB=\angle HOB και \angle PBA =\angle HOA
Δηλαδή,PH//LOκαιHO//PL
από Ηλιας Φραγκάκος
Σάβ Ιούλ 16, 2016 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Κάθετη εφαπτόμενη (Α ΛΥΚ ΓΕΩΜ)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 216

Re: Κάθετη εφαπτόμενη (Α ΛΥΚ ΓΕΩΜ)

Καλημέρα , κ. Θανάση. KYPIAKOΣ
ANDRUTSOS.png
ANDRUTSOS.png (10.25 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Η ακτίνα OS είναι κάθετη στην PS και διέρχεται από τα μέσα των B\Gamma και A\Gamma.
Άρα, OS//AB κι έτσι, SP \perp AB

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση