Για ποιους πραγματικούς αριθμούς $a$ η διπλή ανίσωση $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ έχει μοναδική λύση; Καλή χρονιά σε όλους. Η ανίσωση γράφεται : $ x^2 + 2ax + 3a+2\geq 0 \;\; \wedge \;\; x^2 + 2ax + 3a-2\leq 0 $ Επομένως πρέπει η δεύτερη ανίσωση να έχει λύση , δηλαδή πρέπει να είναι : $ \Delta =4a^{2} ...

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:[2,8]\rightarrow \mathbb{R}$ με: $f(x)\neq 0$ για κάθε $xε[2,8]$ και $f(2)f(4)f(8)=64$. Να αποδείξετε ότι: α) $f(x)>0$, β) υπάρχει μοναδικό $x1ε(2,8)$ με $f(x1)=4$, γ) υπάρχει μοναδικό $x2ε[2,8]$ με $f(x2)=x2$. Συγχωρήστε με για το γράψιμο αλλά το...

Καλό απόγευμα , μια προσέγγιση: Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει $f(x)f(x+y)\leq f(x^2)+xy,(1)$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}.$ Για $ y=x^{2}-x $ προκύπτει από την αρχική για κάθε $x\in\mathbb{R}$: $ f(x)f(x^{2})\leq f(x^{2})+x^{3}-x^{2}... (2)$ Μ...

Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle \dfrac{4^{-\left | x-2 \right |}}{\sqrt{x^2-x-2} +2} \leq \dfrac{2^{1-\left | x \right |}}{\sqrt{x^2+6x} +4}$ Η ανίσωση ορίζεται όταν $x\in(-\infty ,-6]\cup [2,+\infty ] $ και τότε γράφεται: $2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |-1}\leq \frac{\sqrt{x...

Καλημέρα Σταύρο . Λόγω κυρτότητας η συνάρτηση εχει το πολύ δύο διαστήματα μονοτονίας ,επομένως το πολύ δύο ρίζες . Με βάση αυτό στο μυαλό μου , χωρίς όμως να το αναφέρω στη λύση , χρησιμοποίησα την έκφραση:" πρώτη ρίζα" , που όμως οπως σωστά λες δεν έχει γενική ισχύ !

Να βρεθούν οι $a,b \in R$ οι οποίοι έχουν τις ακόλουθες δύο ιδιότητες : $\bigstar \left | a+1 \right |+\left | 2a-b+4 \right |=a-b+3$ $\bigstar a^{2}\cdot b+3a^{3}+6b+18a+5=b^{2}+3ab$ Καλησπέρα ,πρόκειται για μια ιδιοκατασκευή. Δεν ξέρω πόση ώρα θα πάρει στους λύτες ,που θα ασχοληθούν μαζί της , να ...

Πάρα πολύ ωραία σκέψη ! Σε ευχαριστώ πολύ Δημήτρη !

Με αφορμή αυτήν viewtopic.php?f=52&t=60269, που πρότεινε ο κύριος Στεργίου

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση με την ιδιότητα , είναι

Καλησπέρα .Στο παρακάτω σημείο Παρατηρούμε ότι, για κάθε $a \in \mathbb{R}$ και $g(x)=x \ln x + ax$ ισχύει ότι το $g^{-1} (x)$ είναι μονοσύνολο για $x>0$. πως γνωρίζουμε ότι η $g$ είναι αντιστρέψιμη για κάθε $a \in \mathbb{R}$; Δημήτρη ,μπορείς λίγο να εξηγήσεις λίγο αναλυτικότερα την σκέψη σου; Ευχ...

Πρόβλημα 3 Έστω συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν: Συνεχής στο $[a,b]$ Δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ με $f''(x) > 0, \, \forall x \in (a,b)$ $f(a) < 0 < f(b) $ Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(\rho) =0$ . Καλησπέρα ,λίγο διαφορετικά από...

Για το 1ο ερώτημα 1.Αν $f(a)\neq f(b)$ και η $f$ παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των $f(a),f(b)$ , τότε η $f$ είναι συνεχής στο $[a,b]$. Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f(x)=x,\;\;\; x\in (0,1)$ και $f(0)=1 , f(1)=0$ έχουμε ένα ακόμα παράδειγμα ,που δείχνει ότι ο παραπάνω ισχυρισμός ...

Καλησπέρα . Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση με την άσκηση.Μια σχεδόν ίδια αντιμετώπιση είναι η εξής: Η ανίσωση ορίζεται όταν $x^2-x\geq0\;\;\;(1)$. Όπως και πριν , καταλήγουμε στην εξίσωση $x^4-2x+1=0$ η οποία γίνεται: $x^4-2x^2+2x^2-2x+1=0$ $(x^2-1)^2+2(x^2-x)=0$ επομένως παίρνουμε : $x^2-1=...

Γεια σου Σταύρο ! Παντως δεν ήταν ανίσωση για εξίσωση θα την έλεγα Όλοι οι καθηγητές γνωρίζουμε οτι το ζητούμενο είναι εξίσωση ,όμως αυτό δεν το αναγνωρίζουν ολοι οι μαθητές ! Είναι ,ας πούμε , ένα αρχικό στάδιο προβληματισμού για τους μαθητές ! Πάντως δεν ήταν ούτε εωσφορική :) ! Εχει ενδιαφέρον να...

Χρόνια Πολλά και Καλά σε όλους τους εορτάζοντες !

Να λυθεί η ανίσωση :

Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει: $4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$, να βρεθεί η τιμή της παράστασης:$(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$ Μια ακόμη λύση είνα...

Καλό μεσημέρι ! Αυτό που εννοούσα στην εκφώνηση είναι : ... " στο σύνολο λύσεων της ανίσωσης περιέχονται μόνο δύο αντίθετοι αριθμοί " Η συγγεκριμμένη άσκηση , φαίνεται πως προκάλεσε προβλήματα σε αρκετό κόσμο και δεν το ήθελα .Προσπάθησα να μοιραστώ κάτι και ταλαιπώρησα κάποιους εξαρχής. Είναι γνωστ...

Σταύρο , προσωπικά δεν θεωρώ οτι μπορεί να προκαλέσει πρόβλημα η διατύπωση , παρόλα αυτά την τροποποίησα κάπως ,ώστε να γίνει ακόμα σαφέστερη . Ελπίζω τώρα να σε ικανοποιεί και να ναι εντάξει ! Καλό βράδυ και καλή συνέχεια .

Καλό απόγευμα Σταύρο ! Στην πρώτη ερώτηση σου η απάντηση είναι Όχι εννοώ την ανίσωση, όμως παρόλα αυτά έχω κάνει ένα τυπογραφικό λάθος και σε ευχαριστώ για αυτή σου την επισήμανση η ανίσωση πρέπει να γράφει ως εξής :$x^3+(a+2)x^2+(a-2)x-2a\geq 0$ Για τη δεύτερη ερώτηση, δεν εννοώ πως η ανίσωση έχει ...

Γεια σου Σταμάτη , ευχαριστώ για το χρόνο σου! Ίσως και να κάνω λάθος, νομίζω ότι στη δεύτερη περίπτωση υπάρχει τυπογραφικό λάθος που έχει οδηγήσει στο άτοπο. Αν κάνω λάθος ζητάω συγνώμη( είμαι και κάπως ζαλισμένος!) .Δες το καλύτερα και εσύ . Καλό μεσημέρι !