Άλλη μια εναλλακτική για το (α) $\displaystyle \begin{array}{l} {e^x} > {x^2} + 1 \Leftrightarrow \frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}} > 1\\ f(x) = \frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow f'(x) = \frac{{{e^x}{{(x - 1)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\\ f(0) = 1 \Rightarrow f(x) > 1,x \in (0, +...

Όντως. Είχα στο μυαλό μου μια κυρτή συνάρτηση .

Η είναι κάθετη στην εφαπτομένη , διότι αν δεν ήταν , θα ήταν κάποια άλλη , ας πούμε η .
Τότε ,άτοπο .

"Αντιμετωπίστε" την εξίσωση : $ln(1+x)=\dfrac{5x}{2x+5}$ , με νόμιμα εργαλεία ... Προφανής λύση η $\displaystyle x = 0$ Κατόπιν , με το νόμιμο εργαλείο Geogebra ( είναι ελεύθερο λογισμικό ) βρίσκουμε κατα προσέγγιση άλλη μια λύση που φαίνεται στο σχήμα log.png Φυσικά , η ύπαρξη της δεύτερης ρίζας μ...

Ας δώσω κι εγώ μια διασκεδαστική εκδοχή . Ο αφηρημένος λύτης γράφει : $\displaystyle {{e}^{x-2}}+{{e}^{x+8}}={{e}^{4-x}}+{{e}^{3x+2}}\,\,\,\,\,\,\,(1)$ Από τη γνωστή ταυτότητα $\displaystyle {{e}^{x}}+{{e}^{y}}={{e}^{x+y}}$, έχουμε ότι η $\displaystyle (1)\Leftrightarrow {{e}^{2x+6}}={{e}^{2x+6}}$ ,...

Ελαφρώς διαφορετικά .... Έστω $\displaystyle A(t,0)$ , όπου $\displaystyle t>k$. Η ευθεία που διέρχεται από τα $\displaystyle S,A$ έχει εξίσωση $\displaystyle y=\frac{-m}{t-k}(x-t)\Leftrightarrow y=\frac{m}{k-t}(x-t)$ οπότε για $\displaystyle x=0$ παίρνουμε $\displaystyle y=\frac{-mt}{k-t}=\frac{mt}...

Εναλλακτικά , η σχέση (2) γράφεται : $\displaystyle {{y}^{2}}-(8+4x)y-\left( 5{{x}^{2}}-16x-16 \right)=0$ οπότε : $\displaystyle \Delta ={{(8+4x)}^{2}}+4\left( 5{{x}^{2}}-16x-16 \right)=...=36{{x}^{2}}$ άρα $\displaystyle {{y}_{1,2}}=\frac{8+4x\pm 6x}{2}$ , οπότε $\displaystyle y = 5x + 4$ ή $\displ...

Αναδιατάσσοντας τις παρενθέσεις : $\displaystyle \begin{array}{l} (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) = 720 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ({x^2} - 7x + 6)({x^2} - 7x + 10)({x^2} - 7x + 12) = 720 \end{array}$ Έστω $\displaystyle u = {x^2} - 7x + 9$ Τότε : $\displaystyle \begin{array}{l} (...

Να λυθεί ή εξίσωση : $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{x-a}=2$ , όπου $\displaystyle a>0$ . Πέρα από το συνήθη τρόπο (διαδοχικές υψώσεις κλπ ) ας δούμε μια «πονηρή» λύση : Είναι : $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{x-a}=2,\,\,\,\,\,,\,\,x\ge a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ και : $\displaystyle \sqrt{x}-\sqrt{x-a}=...

Αν η $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη και άρτια τότε η παράγωγός της είναι περιττή , αφού : $\displaystyle f( - x) = f(x) \Rightarrow - f'( - x) = f'(x) \Rightarrow f'( - x) = - f'(x)$ Η εφαπτόμενη στο $\displaystyle (k,f(k))$ είναι : $\displaystyle y - f(k) = f'(k)(x - k) \Leftrightarrow y = f'...

Να λυθεί στο (μόνο με διασκεδαστικό τρόπο ) , η εξίσωση

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\ln x,\,\,\,x\in (0,1)$ και την εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ της γ.π. στο σημείο της $\displaystyle A(c,f(c))$. Η $\displaystyle (\varepsilon )$ τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x\,\,,\,\,{y}'y$ στα $\displaystyle B,C$ , αντίστοιχα. α) Έστω...

Επιπλέον ερώτημα :

Να αποδειχθεί η μοναδικότητα της ρίζας στο (3) , στο

2) $f(x)={{(lnx)}^{2}}+2lnx,x>0\Rightarrow {f}'(x)=\frac{2}{x}(lnx+1),x>0$ ${f}'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{e}$ και $f(\frac{1}{e})=-1$ Επειδή $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{(lnx)}^{2}}+2lnx \right]=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ lnx(lnx+2) \right]=...

1. Έστω $\displaystyle f(x)=(x-a)g(x)$, όπου $\displaystyle g$ είναι ένα πολυώνυμο. Δείξετε ότι η εφαπτομένη στην καμπύλη $\displaystyle y=f(x)$ στο σημείο με $\displaystyle x=a$, όπου $\displaystyle a\ne p$, περνά από το σημείο $\displaystyle (p,0)$ αν και μόνο αν $\displaystyle {g}'(a)=0$. 2. Μια ...

Για $\displaystyle k>\frac{1}{e}$ θεωρούμε την $\displaystyle f(x)=\frac{kx+\ln x}{kx-\ln x}$ α) Δείξτε ότι η $\displaystyle f$ ορίζεται για κάθε $\displaystyle x>0$ β) Να βρείτε όλες τις ασύμπτωτες της $\displaystyle {{C}_{f}}$ γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ και να δείξετε ότι $...

α) Ναι , το $\displaystyle a=1$, αφού $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{\frac{{{e}^{x}}-1}{x}}=1$ β) Η ευθεία $\displaystyle y=x$ είναι ασύμπτωτη στο $\displayst...

1. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:x\to 2-\ln (x-1)$ και έστω $\displaystyle {{D}_{f}}$ το μέγιστο πεδίο ορισμού της και $\displaystyle {{G}_{f}}$ η γραφική της παράσταση . 1α) Δείξτε ότι $\displaystyle {{D}_{f}}=(1,+\infty )$ και καθορίστε τη συμπεριφορά της $\displaystyle f$ στα άκρα του $\di...

Α Λυκείου - Άλγεβρα (έως 10/3) Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι $\displaystyle a,b$ με $\displaystyle a>b$, όπου τα $\displaystyle a,b$ επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle {{x}^{2}}-60x+395=0$ α) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του ορθογωνίου β) Να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίο...

Να αποδεχθεί ότι :