14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου $\displaystyle{y=f(x)}$ και της ευθείας $\displaystyle{y=g(x)}$ φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. korean_2019b_14.png Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση $\displaystyle \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{f(x)g(x)} \geq ...

18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, $AB=1$, $\displaystyle \angle B = \frac{\pi}{2} $. Έστω $D$ το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας $C$ με την πλευρά $AB$ και $E$ το σημείο τομής του κύκλου κέντρου $A$ και ακτίνας $AD$ με την πλευρά $AC$. Έστω $S(\theta)$ το εμβαδόν του κυκλικού τομέ...

16. Η συνεχής συνάρτηση $f(x)$ που ορίζεται για $x>0$, για όλα τα θετικά $x$ ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} f(x)dx$; [4 μόρια] $\di...

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ με τύπο $\displaystyle f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x+\beta $ ,όπου $\displaystyle x,\,\alpha ,\beta \in R$ Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle \alpha ,\beta \in R$ παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής και ...

Για το ολοκλήρωμα ( στο πνεύμα του Σταμάτη παραπάνω ) $\displaystyle \begin{gathered} I = \int_1^2 {\left[ {(x - 1)ln({x^2} - 2x + 2)} \right]} \,dx = \frac{1}{2}\int_1^2 {\left[ {2(x - 1)ln({x^2} - 2x + 2)} \right]} dx \hfill \\ u = {x^2} - 2x + 2 \Rightarrow du = 2(x - 1)dx, \hfill \\ x = 1 \Right...

Β4. Η γραφική παράσταση

ΘΕΜΑ Α A1. α)Ορισμός , σχολικό βιβλίο, σελ. 15 β) i. Όταν είναι $\displaystyle 1-1$ στο $\displaystyle A$ ( Σχολικό σελ 35) ii. Αν $\displaystyle f(A)$ είναι το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ τότε η αντίστροφη είναι η $\displaystyle g:f(A) \to R$με την οποία κάθε $\displaystyle y \in f(A)$ αντισ...

Νομίζω ότι ο φάκελλος είναι ακατάλληλος για το ερώτημα
΄Ενας παρόμοιος προβληματισμός εδώ

Από ένα φύλλο λαμαρίνας διαστάσεων θα κατασκευαστεί ένα κουτί με καπάκι . Αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δυο ορθογώνια όπως στο σχήμα και συγκολλούμε τις ακμές . Ποιος είναι ο μέγιστος όγκος του κουτιού ;

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό : και

Αυτό συμβαίνει διότι η γραφική παράσταση έχει
κέντρο συμμετρίας το

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός και η συνάρτηση με τύπο , για κάθε .
Να βρείτε το σημείο καμπής της με τη μέγιστη δυνατή τεταγμένη .

function.png Ευχαριστώ τον Αποστόλη και το Ροδόλφο για τις απαντήσεις. Αν κάποιος κάνει το σχήμα όπως ζητήθηκε , μπορεί να εμπνευστεί τις συναρτήσεις- φράγματα που απαιτούνται . Οι ανισότητες αποδεικνύονται και αλγεβρικά . Με την ευκαιρία : Ο μαθητής υποχρεούται να γνωρίζει την αντικατάσταση $\disp...

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}},x\in R$. α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής . β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f$ και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση . γ) Να βρείτε...

Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Ποια θέση των επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του εμβαδού της μπλε περιοχής ;

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ για την οποία ισχύουν : $\displaystyle f(0)=0$ και $\displaystyle f(x)\ge x{{e}^{x}}-x$ για κάθε $\displaystyle x\in R$. α) i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle {f}'(0)=0$ ii) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{...

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}+ax+a}{{{e}^{x}}}$ α) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle a$ ώστε να υπάρχουν $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$ με $\displaystyle {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ ώστε η $\...

Καλησπέρα Γιώργο $\displaystyle \begin{gathered} A)\,\,\,\,\,\,f'(x)\left[ {{e^{f(x)}} + {e^{ - f(x)}}} \right] = 2 \Leftrightarrow \left[ {{e^{f(x)}}f'(x) - {e^{ - f(x)}}[ - f'(x)]} \right] = 2 \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow {\left[ {{e^{f(x)}} - {e^{ - f(x)}}} \right]^\prime } = (2x)' \...

Εδώ : Chasles

$\displaystyle {{a}^{x}}\ge ax\Leftrightarrow {{a}^{x}}-ax\ge 0$, για κάθε $\displaystyle x>0$ . Από Fermat , υπάρχει $\displaystyle c\in R$ ώστε $\displaystyle \left. \begin{gathered} {a^c} - ac = 0 \hfill \\ {a^c}\ln a - a = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{gathere...