(Κάνει και για Junior).

Σε ένα σχολείο υπάρχουν $100$ μαθητές και $50$ θρανία στα οποία μπορούν να κάτσουν δύο μαθητές την φορά. Οι μαθητές αποφάσισαν κάθε μέρα να κάθονται όπου θέλουν γιατί ο στάχος τους είναι, αργά ή γρήγορα, ο καθένας να κάτσει...

Παράξενη ισότητα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , φέραμε το ύψος $AD$ προς την υποτείνουσα $BC$ και την διχοτόμο $BE$ ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο $S$ . Σχεδιάσαμε το τετράγωνο $AEHZ$ και (πώς ; ) ημικύκλιο με διάμετρο

$TC$ επί της $AC$ , το...

Για τον ορισμό και βασικές τις ιδιότητες των αριθμών Dedekind, βλέπε στην Wikipedia εδώ .

Για τον προσδιορισμό με υπερυπολογιστές του $D(9) = 286 .386 .577. 668 .298. 411 .128.469 .151. 667 .598. 498 .812 .366$ βλέπε

εδώ και εδώ

Αμβλεία και ισοσκελές.png Στο $10 \times 3$ ορθογώνιο $ABCD$ , προεκτείνουμε τις πλευρές $AB , AD$ κατά τμήματα $BS=DP=x$ .

α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\widehat{PCS} =135^0$ ... β) Αν $T$ είναι η τομή των $BC , SP$ , δείξτε ότι : $CT=TS$ .

Ας γράψω δυο λόγια για την ιστορία της άσκησης αυτής .

Παράξενη ισότητα συμπλ.png Το ξεκίνημα ήταν άσκηση από διαγωνισμό , της οποίας το ζητούμενο ήταν να δειχθεί ότι : $AE\cdot AB = EC\cdot BD $

Αξιοποιώντας το σχήμα και την εμφανή ισότητα :...

Υποθέτουμε ότι τα $X_1,X_2,\ldots, X_n$ είναι ισόνομες και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με συνεχή πυκνότητα $f(x)$, η οποία ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$. Έστω $s(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\mathbb{P}(\overline{X}>x)$ και...

Διτρίγωνη.png $\bigstar$ Τα τρίγωνα $LNS$ και $PTS$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή και το ημικύκλιο έχει διάμετρο $8$ .

Ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το συνολικό εμβαδόν των δύο τριγώνων ;

Να βρεθεί η απόσταση των κέντρων των $2 $ κύκλων. Οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $5 $ και $12$ αντίστοιχα.

Αιρετικός λόγος.png Το ένα από τα σημεία τομής των κύκλων $(B , 4)$ και $(C , 5)$ , ονομάζω $A$ . Οι κύκλοι τέμνουν τη διάκεντρο

$BC$ , στα σημεία $S , T$ . Σχεδιάζω τμήμα $AD \perp BC$ . α) Αν : $BC=7$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TD}{DS}$ ....

Ώρα εφαπτομένης 168.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο $ABC$ , με $AB=AC $ , το $S$ είναι σημείο της $AC$ , τέτοιο ώστε :

$BS=\dfrac{AB}{3}$ . Αν το τρίγωνο $ACS$ είναι κι αυτό ισοσκελές , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Λύση χωρίς επέμβαση στο σχήμα...

Κύκλοι και τόξα στο τετράγωνο.png Σε τετράγωνο πλευράς $8$ , είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο και το ημικύκλιο . Καλείσθε να σχεδιάσετε

πρώτα τον κάτω κύκλο και εν συνεχεία τον πάνω , ο οποίος εφάπτεται του κάτω και των $CB , CD$ .

Τρίγωνο και τρεις κύκλοι.png

Τριγώνου $ABC\,$ δίνεται ο περίκυκλός του, δύο κύκλοι $\left( K \right)$ και $\left( L \right)$ οι οποίοι

εφάπτονται εσωτερικά με τον περίκυκλο στα $M\,$ και $N\,$ αντίστοιχα. Επιπλέον

ο $\left( K \right)\,$...

Πρόβλημα Λογικής που το είδα κάπου, σήμερα. Μου άρεσε. Κάνει και για Juniors.

Καθένας από δύο φίλους επέλεξαν έναν φυσικό αριθμό από το $1$ έως το $30$, κρυφά ο ένας από τον άλλο.

Άννα: Είναι ο αριθμός σου διπλάσιος του δικού μου;
Βασίλης: Δεν...

Αδιανόητος τόπος 2.png Σημείο $D$ κινείται στη μεσοκάθετη του $BC$ . Στην προέκταση του $CD$ θεωρούμε σημείο $A$ , τέτοιο

ώστε η $BD$ να είναι διχοτόμος $\widehat{ABC}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής $S$ των $AM , BD$ .

Δύο Έλληνες θεωρητικοί επιστήμονες των υπολογιστών βραβεύτηκαν με το Βραβείο Θεωρίας John von Neumann.
Οι καθηγητές Χρήστος Παπαδημητρίου και Μιχάλης Γιαννακάκης έλαβαν το Βραβείο Θεωρίας John von Neumann για την έρευνά τους στη θεωρία της...

Μέσο της υποτείνουσας.png Πώς πρέπει να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , έτσι ώστε η κάθετη

στο άκρο $D$ της διχοτόμου $BD$ , να διέρχεται από το μέσο της υποτείνουσας $BC$ ;

Δωδεκάρι.png $\bigstar$ Στο - μήκους $10$ - τμήμα $AB$ κινείται σημείο $S$ . Στο ίδιο ημιεπίπεδο σχεδιάζουμε ημικύκλιο

διαμέτρου $AS$ και τετράγωνο $SBCD$ . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $CT$ προς το τόξο .

Βρείτε την θέση του $S$ για την οποία το...

Στην παράγραφο όπου δίνονται οι πρώτες παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων δίνεται ότι $(e^{x})'=e^{x}$ και $(lnx)'=1/x$ και αργότερα με την βοήθεια της πρώτης αποδεικνύεται ότι $(a^{x})'=a^{x}lna$ η οποία υπολογίζεται με τον τύπο της σύνθετης, ενώ...

Δύο τμήματα.png Με βάση την ακτίνα $OA=a$ , ενός κύκλου , σχεδιάζουμε το ισοσκελές τραπέζιο $OABC$ , με : $AB=OC=b$ .

Η $OC$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $D$ , ενώ οι $DB , OA$ , τέμνονται στο $S$ . Υπολογίστε τα τμήματα : $AS $ και $CB$ .

Σε συνέχεια αυτού του θέματος , ας δούμε και το πρόβλημα 167 από το Crux Mathematicorum:

Δίνεται η ανισότητα Snellius-Huygens (πληροφορίες εδώ )

$\displaystyle{\frac{1}{3}(2\sin a+\tan a)>a>\frac{3\sin a}{2+\cos a},}$ για κάθε $\displaystyle{a\in...

Γεια σε όλους! θα ήθελα να ρωτήσω κάτι σχετικό για την σχολή ΣΕΜΦΕ, όποιος γνωρίζει. Ένας γνωστός μου είπε πως σε μια διάλεξη, ένας καθηγητής της ΣΕΜΦΕ ανήγγειλε πως θα υπάρξει νέα ροη στη σχολή, με θέμα τη Μηχανική Μάθηση. Δεν μπορώ όμως να βρώ...

Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)...

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $k$ με την ακόλουθη ιδιότητα:
Υπάρχει θετικός ακέραιος $n$ και μετάθεση $\pi$ του συνόλου $\{1,2,..,n\}$ τέτοια ώστε
$\dfrac{1}{\pi(1)}+\dfrac{2}{\pi(2)}+..+\dfrac{n}{\pi(n)}=n+k$.