Έστω $\displaystyle{a , b}$ φυσικοί αριθμοί και θεωρούμε την εξίσωση:

$\displaystyle{2a^2 +b = a + b^3}$

(α) (Το εύκολο):

Αν $\displaystyle{a}$ περιττός, δείξτε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη

(β) (Το λίγο δύσκολο):

Αν E.K.Π$\displaystyle{(a ,...

Μικρούλι μέγιστο.png Οι πλευρές $AB , AC$ του τριγώνου $ABC$ , έχουν μήκη $4$ και $12$ αντίστοιχα αλλά το μήκος της $BC$

μεταβάλλεται . Από το μέσο $M$ της πλευράς $BC$ , φέρω τμήμα $MS$ κάθετο προς την διχοτόμο $AD$ .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν...

Είστε μαθηματικός σε κάποια Ευρωπαϊκή Αυλή λίγο μετά την εισαγωγή/ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας* ... και η νεαρή Πριγκήπισσα σας ρωτάει αν μπορείτε να της δείξετε έναν τρόπο εύρεσης της εξίσωσης εφαπτομένης σε τυχόν σημείο πολυωνυμικής...

Θα βρείτε

εδώ

το βίντεο των ομιλιών της εκδήλωσης της Τράπεζας της Ελλάδος στις 27 Νοεμβρίου 2023 με αφορμή τα 150 χρόνια από τη γέννηση του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή. Διαρκεί μία ώρα και 10 λεπτά, και το υλικό του είναι εξαιρετικό με στοιχεία...

Σχετικά με την άσκηση 1 Β ομάδας του σχολικού που ζητάει να βρεθούν οι εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπυλών.
Για να βρείτε τον τύπο σαν περίοδο Τ βάζετε Τ=2π/ω ή Τ=2π/ΙωΙ ;

Μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι.png Βρείτε τους μονοψήφιους θετικούς ακεραίους $m , n$ στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ .

Φέτος είναι η 12η χρονιά που διοργανώνεται ο European Mathematical Cup, ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου.
Ο διαγωνισμός οργανώνεται σε 2 επίπεδα (Juniors, Seniors) με επίπεδο θεμάτων μάλλον λίγο υψηλότερου των...

Να υπολογιστούν οι γωνίες τριγώνου $ABC$ από τις σχέσεις:

$\displaystyle\frac{b}{c}=2+\sqrt{3}\,\,\,$ και $\,\,\,\cos \displaystyle\frac{\widehat{A}}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αποδείξτε ότι:

$\displaystyle\frac{2ab}{\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)}+\displaystyle\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}{ab\left( ab+5 \right)}\ge 1+\displaystyle\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{5\left(...

Για την γραφική παράσταση του κύκλου 3 σημεία είναι αρκετά. Για την παραβολή πόσα χρειάζονται..?
Υγ...Δεν αναφέρομαι στα ειδικά σημεία πχ κορυφή της παραβολής κτλ...

Λίγο ψηλότερα.png $\bigstar$ Υπολογίστε το τμήμα $x= CS$ . Γενικεύστε για πλευρές $b$ και $c$ , αντί των $12$ και $8$ .

Φτιάξτε ένα δικό σας παράδειγμα με ακεραίους $b , c , x$ , σε τρίγωνο όχι όμοιο προς το $ABC$ .

Μέγιστο συνημίτονο.png Το σημείο $M$ είναι το μέσο της ακτίνας $OA$ , ενός ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ και το $S$ κινείται

επί του τόξου . Στο μέσο $N$ του $MS$ φέρω κάθετη , η οποία τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο $T$

( προς το μέρος του $A$ ) ....

Καλησπέρα σας,

Εδώ και 2 μήνες σπουδάζω στο τμήμα ηλεκτρολόγων μηχανικών και μηχανικών υπολογιστών στο X πανεπιστήμιο. Θα ήθελα να εμβαθύνω τις γνώσης μου πάνω στα μαθηματικά σε πιο μεγάλο βάθος απ'ότι θα μάθω στο συγκεκριμένο τμήμα που σπουδάζω....

Ακίνητο.png Με αρχή το σταθερό σημείο $A$ , σχεδιάζω το μεταβλητού μήκους αλλά σταθερής διεύθυνσης τμήμα $AB$ και

το σταθερού μήκους αλλά μεταβλητής διεύθυνσης τμήμα $AD$ σχηματίζοντας το παραλληλόγραμμο $ABCD$ .

Στις πλευρές $AB , BC$ θεωρώ...

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2R.$ Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην $AB.$
Ζητείται να βρεθεί
α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A $ όταν περιστραφεί γύρω από την $AB.$
β) ποια σχέση πρέπει να...

Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{(x-2)(x-5)(x+10)+1}=5(x-4)$

και εν συνεχεία υπολογίστε το γινόμενο που βρίσκεται στο υπόρριζο .

Θεωρούμε τον τριψήφιο αριθμό $a$ . Παραλείποντας το ψηφίο των μονάδων $m$ αυτού, σχηματίζουμε τον διψήφιο αριθμό $b$.

Αν $4a +17b-65m=2024$

να βρεθεί ο αριθμός $a$

Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Έστω $ABC$ τρίγωνο με $\measuredangle \,C=90{}^\circ $ και $CH$ το ύψος από το $C$. Σημείο $D$ επιλέγεται

εντός του $\vartriangle \,CBH$ έτσι ώστε η $CH$ να διχοτομεί το $AD$. Ακόμη $\left\{ P\, \right\}=BD\cap CH$

και...

Πόσες λύσεις μπορεί να έχει στο σύνολο των ρητών αριθμών η εξίσωση

$x^3+kx^2-(k+3)x+1=0$,

όπου $k$ πραγματική παράμετρος;

(Για Γ' Λυκείου)

Άθροισμα ως ποσοσυό του γινομένου.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει πλευρές : $AB=10 , AC=17 , BC=21$ . Σημείο $S$ κινείται στην βάση $BC$

και ας ονομάσουμε $P$ και $T$ τις προβολές του , στις πλευρές $AB , AC$ αντίστοιχα .

α) Βρείτε τη θέση του $S$ ,...

Ισόπλευρο τρίγωνο.png

Σε ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ πλευράς $a$ είναι εγγεγραμμένο το ορθογώνιο $MKLN$.

Αν $AD$ είναι το ύψος του τριγώνου και $x=\left( \measuredangle \,ADN \right)$, ψάχνουμε για ποια τιμή

τoυ $x$ έχουμε ${{\left( MKLN...

Να υπολογιστεί η αριθμητική πρόοδος δεδομένου ότι ο πρώτος όρος της είναι

το $2$, το πλήθος των όρων της ισούται με τον δεύτερο όρο και του τελευταίου

το ψηφίο των δεκάδων είναι η διαφορά της προόδου, ενώ αυτό των μονάδων

του είναι ίσο με τον...

Ακτινούλα.png $\bigstar$ Αξιοποιήστε τα δεδομένα του σχήματος για να βρείτε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου . ( Σχολική )

Να βρεθούν οι $x,y,z$ εάν αυτοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και ικανοποιούν

τις σχέσεις: $\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx}=\displaystyle\frac{13}{27}\,\,\,\,\,(1)\,\,\,$ και...

Γαλλικό τοπίο.png $\bigstar$ Η πλευρά $OA$ του παραλληλογράμμου $OABC$ , είναι σταθερή κατά θέση και μήκος , ενώ η $OC$ έχει

σταθερό μήκος αλλά μεταβλητή θέση . Από το σημείο $S$ και το μέσο $M$ της $AB$ διέρχεται ευθεία , η οποία

τέμνει την...