ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\setminus\mathbb Q\to \mathbb Q$ συνεχής. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει ἀριθμήσιμη οἰκογένεια, ξένων ἀνὰ δύο ἀνοικτῶν διαστημάτων $\{I_n\}$, ὥστε:

(i) Ἡ $f$ περιορισμένη στὸ $I_n\cap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)$ εἶναι σταθερή, γιὰ...

Μπορείτε να δώσετε παράδειγμα συνάρτησης , με ενιαίο τύπο για ολόκληρο το πεδίο ορισμού της

( όχι δηλαδή δίκλαδη κ.λ.π. ) , η οποία να μην είναι συνεχής ;

Τρίψτε τα μάτια σας.png Στο τρίγωνο $ABC$ του σχήματος υπολογίστε με ικανοποιητική προσέγγιση την γωνία $\theta$ .

Αν σε τρίγωνο $ABC$ ισχύει η σχέση $\displaystyle \cos B\cos C + \sin A\sin B\sin C = 1,$

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι είναι εξωτερικά ο ένας του άλλου. Φέρνουμε τις κοινές εσωτερικές και εξωτερικές εφαπτόμενες τους $AD,\, BF, \,CE$. Αν $K, \,L$ τα κοινά σημεία, αντίστοιχα, της εξωτερικής εφαπτομένης με τις δύο εσωτερικές, δείξτε ότι...

Ο Σπύρος Καπελλίδης (
μας προσφέρει μια ξενάγηση στους περιπετειώδεις δρόμους που άνοιξε ο Georg Cantor εδώ:

Η Ελληνική μαθηματική κοινότητα του χρωστά ευχαριστίες.
Δεν πειράζει που είναι περασμένη η ώρα για να βάλω τις δικές μου.
Φίλε Σπύρο να...

Εάν $m,\,\,{m}',\,\,n,\,\,{n}'$ είναι φυσικοί αριθμοί και ισχύει η σχέση:

$(m+n)(m+n-1)+2m=({m}'+{n}')({m}'+{n}'-1)+2{m}'$, δείξτε ότι $m={m}'$ και $n={n}'$.

Έστω $k,\,m,\, n$ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με $ \dfrac {1}{k} + \dfrac {1}{m} + \dfrac {1}{n} <1$. Δείξτε ότι ισχύει $ \dfrac {1}{k} + \dfrac {1}{m} + \dfrac {1}{n} \le \dfrac {41}{42}$.

(Κάνει και για Juniors).

Μέγιστο μη κυρτό.png Στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$ , με βάση $BC=10$ , κινείται σημείο $S$ , με $AS=4$ .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του μη κυρτού τετραπλεύρου $ABSC$ .

Λόγω τρικύκλου.png Οι κύκλοι $(K,2) , (Q,3)$ εφάπτονται μεταξύ τους εξωτερικά ενώ εφάπτονται και εσωτερικά σε μεγαλύτερο

κύκλο $(O , 10)$ , στα σημεία $A , B$ αντίστοιχα . Αν οι $AQ , KB$ τέμνονται στο $T$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TQ}$...

203.png

Το τετράπλευρο $ABCD$ του παραπάνω σχήματος, είναι τετράγωνο.
Κύκλος κέντρου $O$ εφάπτεται της πλευράς $DA$ στο $Z$, της πλευράς $CD$ στο $H$
και του ημικύκλιου διαμέτρου $AD$ στο $E$. Δείξτε ότι τα σημεία $Z, B, C, H$
είναι του ίδιου...

202.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο, το σημείο $I$ έγκεντρο αυτού και
το σημείο $O$ κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα $A$ και $I$. Αν ο κύκλος $(O)$ τέμνει την
$AB$ στο $D$ και την $AC$ στο $E$, δείξτε ότι...

Να βρεθεί κλειστός τύπος για το άθροισμα

$1^{2}x+2^{2}x^{2}+3^{2}x^{3}+...+n^{2}x^{n}$

όπου $x$ πραγματικός αριθμός διαφορετικός του $1.$

Ψηλότερα δεν γίνεται.png Σε παραλληλόγραμμο $ABCD$ , με πλευρές $a,b$ , το $S$ είναι η προβολή του $D$ στην $AC$

και το $T$ είναι η προβολή του $S$ στην $AB$ . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος $ST$ .

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση: $\displaystyle\sqrt {3{{x}^{2}}-6x+1}+\displaystyle\sqrt {2{{x}^{2}}-3x+1}+\displaystyle\sqrt {{{x}^{2}}+1}=0$.

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ που είναι τέτοια ώστε
για κάθε $P,Q \in \mathbb{Q} $ να ισχύουν

$f(P\cdot Q)=f(P)Q+f(Q)P$
$f(P\circ Q)=(f(P)\circ Q)\cdot f(Q)$

$Q $ το σύνολο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές.

Η Ομάδα Μαθηματικών Γιαννιτσών με την υποστήριξη της Συμβούλου Εκπαίδευσης Μαθηματικών Πέλλας Αρχοντίας Γραμματικοπούλου διοργανώνει για 7η χρονιά Ημερίδα για τα Μαθηματικά στις Πανελλαδικές Εξετάσεις την Κυριακή 12 Νοεμβρίου 2023 στις 11 το πρωί....

Με αφορμή μία άσκηση που ανέβασα σε ομάδα στο facebook, θέλω να ρωτήσω κάποια πράγματα:
1) Πότε μία μεταβλητή χαρακτηρίζεται ως συνεχής; Ποιοι άλλοι χαρακτηρισμοί υπάρχουν για τις μεταβλητές και πού μπορώ να βρω σχετική βιβλιογραφία;
2) Είναι λάθος...

Καλημέρα :logo:

Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma ({108^ \circ }{,36^ \circ }{,36^ \circ })$ παίρνουμε σημείο $\Delta$ τέτοιο ώστε: $\Delta \widehat {\rm B}{\rm A} = {6^ \circ },\Delta \widehat {\rm B}\Gamma = {30^ \circ...

204.png

Στο παραπάνω σχήμα, βρείτε το λόγο $\dfrac{DA}{DC}$.

Να δειχθεί ότι: $\displaystyle\sqrt{\sqrt {68+48\sqrt{2}}+\sqrt {68-48\sqrt{2}}}=\sqrt {\sqrt {68+48\sqrt{2}}+\sqrt {68-48\sqrt{2}}+4}$

shape.png Η διχοτόμος $AD$, τριγώνου $ABC$, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο $E.$ Αν $Z,K$ οι προβολές του $D$ στις πλευρές $AB,AC$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι $(ABC) = (AZEK).$

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε

$f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$

Ίσως κάποιοι αναζητούν εργαλεία που βασίζονται στην Τεχνητή Νοημοσύνη για διάφορες δραστηρίοτητες (tasks).
Ένας τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε την ίδια την ΤΝ να μας προτείνει κάποια από αυτά. Στην περίπτωση μας το Bard της Google.
Ένας...