Ώρα εφαπτομένης 155.png Με κέντρο σημείο $K$ του κύκλου $(O,5)$ γράφουμε κύκλο ακτίνας $r=\sqrt{2}$ , ο οποίος

τέμνει τον αρχικό στα σημεία $A ,B$ και την $OK$ στο $S$ .Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASB}$ .

Μία σημαντική στιγμή για τον κόσμο των ψηφιδώσεων*: μία απεριοδική ψηφίδωση του επιπέδου που χρησιμοποιεί μία και μόνη ψηφίδα (μονοψηφίδα, monotile) -- ένα μη κυρτό πολύγωνο 13 ακμών που οι 4 συγγραφείς αποκαλούν καπέλο (hat) -- υπάρχει από χθες εδώ...

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$, $AB>AC$, και $O$, $H$ είναι το περίκεντρο και το ορθόκεντρο, αντίστοιχα. Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$, έστω $K$ το σημείο τομής της επέκτασης της $AM$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $BHC$, και έστω $N$...

Κι όμως βρίσκεται.png Η χορδή $AB$ της έλλειψης με εξίσωση : $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , με $0
Οι εφαπτόμενες στα άκρα της χορδής , τέμνονται στο σημείο $T$ , του οποίου καλείσθε να βρείτε την...

Έστω $f:\mathbb{R} \rightrrow \mathbb{R}$ γνησίως φθίνουσα συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{f \left ( 2-x \right ) + f (x+4) + f(3) = 0 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

Να λυθεί η εξίσωση $f(x)=0$. Οι απαντήσεις διδουν...

Το ημίτονο της ελαχιστοποίησης.png Από σημείο $C$ , μιας εφαπτομένης του κύκλου $(O)$ φέρουμε την $CO$ , η οποία προεκτεινόμενη

τέμνει τον κύκλο στο σημείο $A$ και ονομάζω $B$ την προβολή του $A$ στην εφαπτομένη .

Αν : $BO \perp CA$ , υπολογίστε...

Υλοποιώντας μιαν ιδέα και μια υπόσχεση προς τον Μιχάλη Νάννο,
δίνω έναν πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών χρήσιμων σε πλήθος ασκήσεων Τριγωνομετρίας και Γεωμετρίας.

Οι συγγενικές γωνίες άνω των 90° μπορούν να υπολογιστούν με αναγωγή στο 1ο...

Στο σχολικό βιβλίο δείχνει ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ισούται με την τεταγμένη του σημείου στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει την ευθεία χ=1.
Στην συνέχεια αναφέρει ότι καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα και όταν η τελική πλευρά της...

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$, δυο φορές παραγωγίσιμη με την ιδιότητα :
υπάρχει $\displaystyle{c\in R}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{a,b\in R}$ με $\displaystyle{a\ne b}$ να ισχύει : $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\ne {f}'(c)}$....

Πότε μια σειρά με αριθμούς, μόνο μηδενικά τυγχάνει προσοχής; :read:

Τρίγωνο από 4 τμήματα.png Τα σημεία $A , O , C$ είναι συνευθειακά , καθώς και τα $B , O , D$ και το τετράπλευρο $OCSD$ ,

είναι παραλληλόγραμμο . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $ABS$ .

Να βρεθεί το εμβαδόν X.png
Να βρείτε το εμβαδόν $X$

Η μεγαλύτερη γωνία.png Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση $\displaystyle y = \frac{{{x^3}}}{4}$ και η εφαπτομένη της $(\epsilon)$ σε ένα σημείο $A$ του πρώτου τεταρτημορίου.

α) Αν η εφαπτομένη σχηματίζει με την $OA$ οξεία γωνία $\theta,$ να βρείτε τη...

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι το σύνολο στο οποίο έχει παράγωγο είναι Borel.

Παραθέτω ένα όμορφο θέμα . Κάπου το είδα χθες. Τελικά το τεκμηρίωσα (όχι γεωμετρικά), αλλά ομολογώ ότι με δυσκόλεψε στις πράξεις !! Θα ήθελα να δω κάποια λύση.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με ύψος $BH,$ $K$ το σημείο επαφής του έγκυκλου του...

Για δύο θετικούς αριθμούς $a , b$ , θεωρούμε γνωστό ότι : $d=AM-GM\geq 0$ .

Αναζητούμε συνάρτηση $d(x)$ , η οποία να αποδίδει την παραπάνω διαφορά

και της οποίας η μεταβλητή να είναι ο λόγος : $\dfrac{b}{a}=x $ .

α) Σχεδιάστε την γραφική...

Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, $a$, της πλευράς $BC$

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Ώρα εφαπτομένης 154.png Η $TS$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{ATC}$ . Αν : $\tan\phi=\dfrac{1}{3}$ , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Κατασκευή και ημίτονο.png Ο κύκλος $(K,3)$ εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου $(O,4)$ , στο σημείο $A$ . Περιγράψτε αναλυτικά πως θα

κατασκευάσετε χορδή $BC=6$ του μεγάλου , η οποία εφάπτεται του μικρού και υπολογίστε το : $\sin\widehat{BAC}$ .

Κατασκευή_γωνία_συνευθειακότητα.png
Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο .

Έστω $L$ σημείο της πλευράς $BC$. Σχηματίζω έξω από το τετράγωνο , νέο τετράγωνο

$BLKE$ έτσι ώστε , $AC = AK$

α) Να γίνει γεωμετρική κατασκευή του σχήματος .

β) Να...

Να βρεθούν αριθμοί $a, b, k\in \mathbb{N}^{\ast }$ τέτοιοι ώστε $0< a-b\sqrt{k}< 10^{-4}$.
(Ίσως η άσκηση να ήταν καλύτερο να μπει στην κατηγορία Α' Λυκείου , δεν είμαι σίγουρος...)

Α) Δείξτε ότι τι πολυώνυμο : $x^5+3x^4-7x^3-21x^2+x+2$ , έχει $5$ πραγματικές ρίζες .

Β) Πόσες θετικές λύσεις έχει η εξίσωση : $x^3-8x=\sqrt{x+6}$ ;

Ίσο με την διάκεντρο.png Οι κύκλοι $(O,3)$ και $(K,2)$ εφάπτονται εξωτερικά στο $T$ . Εντοπίστε σημεία

$S , P$ των δύο κύκλων , ώστε : $\widehat{STP}=90^\circ$ και : $SP=5$ .

ΕΔΩ (# 37)

Απλές αναλογίες.png Το σημείο $B$ είναι το μέσο του $AC$ , τα τόξα είναι ημικύκλια , τα $AS , SP$ εφαπτόμενα τμήματα

και το σημείο $T$ είναι η προβολή του $S$ στην $BC$ . Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AT}{TC} , \dfrac{SP}{SC} $