Σε ένα παραλληλόγραμμο $ABCD$ παίρνουμε εσωτερικό σημείο $M$. Αν οι γωνίες $\angle MAD,\, \angle MCD$ είναι ίσες, δείξτε ότι και οι $\angle MBC,\, \angle MDC$ είναι ίσες. (Διάφοροι τρόποι).

Τα μέγιστα.png Η κάθετη πλευρά : $AB=c$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ είναι σταθερή αντίθετα με την $AC$ , η οποία

μεταβάλλεται . Φέρω $AD \perp BC$ και την διχοτόμο $DS$ της γωνίας $\widehat{ADB}$ . Υπολογίστε το : $(ADS)_{max}$.

Αν $n\ge 1$ φυσικός, να γραφεί ο $50^{2n+1}$ ως άθροισμα τριών τελείων τετραγώνων.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας Γυμνασίου.

Μία συνεχής συνάρτηση $f:(0,\, +\infty) \longrightarrow \mathbb R$ έχει την ιδιότητα ότι για κάθε $a>0$ και για κάθε $x>0$, το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int _a^{ax}f(t)dt}$

είναι ανεξάρτητο του $a$. Βρείτε την $f$.

Εδώ να συγκεντρώνουμε ενδιαφέροντα Μαζικά Ανοικτά Διαδικτυακά Μαθήματα (Massive Open Online Courses, MOOCs) για τα Μαθηματικά. :idea:

Ξεκινάω με το πρώτο

1) Εισαγωγή στη Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων (SPSS) (Κ.Ε.ΔΙ.ΒΙ.Μ. ΕΑΠ)
Λινκ --->

Μία πλευρά ακόμη.png Υπολογίστε την βάση $BC$ του τριγώνου του σχήματος . Φυσικά δεν γνωρίζετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

της γωνίας $40^0$ . Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο , αν καταλήξετε σε πολυωνυμική εξίσωση οποιουδήποτε βαθμού .

Μεγιστοποίηση διαδρομής.png Η χορδή $ST$ είναι παράλληλη προς τη διάμετρο $AB=2r$ , του ημικυκλίου μας .

Υπολογίστε το : $(AS+ST)_{max}$ . ( Πολλοί τρόποι λύσης ) .

Διάμεσος που διχοτομεί.png

Έστω $\left( {O,R} \right)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου $ABC$. Ο φορέας της ακτίνας $AO$ τέμνει τη $BC$ στο $E$.

Ας είναι $AD$ το ύψος του $\vartriangle ABC$, $H$ το ορθόκεντρό του και $M$ το μέσο του $AE$....

Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

1. Οι γωνίες $\alpha $ και $\beta$ ικανοποιούν τις εξισώσεις

$\sin (2\alpha +2\beta)= -\dfrac{1}{\sqrt{5}} , \quad \sin (2\alpha...

Την παρακάτω ανισότητα είναι πολύ πιθανόν να την έχουμε ξαναδεί...
Ας την προτείνω για να είμαι βέβαιος ότι κάποτε τέθηκε...
Την χρειάστηκα πρόσφατα για την απόδειξη μιας άλλης ανισότητας.

Σε τρίγωνο $ABC$ να αποδειχθεί ότι

$ s\sqrt{3}\leq 4R+r $

Έχει νόημα η διατήρηση δεκάδων βιβλιοθηκών είτε σε πανεπιστήμια είτε σε δήμους κτλ...? Δεν σπαταλούνται πόροι για την συντήρηση κτιρίων, μισθών και πληρωμών συνδρομών για το ίδιο ουσιαστικό ζητούμενο ...την πρόσβαση στην ίδια πληροφορία..?

Ένα...

Εμπνευσμένη από το φίλο Ercole Suppa.png
Έστω $P$ τυχόν σημείο της διαμέσου $AM$ τριγώνου $\vartriangle ABC$εγγεγραμμένου σε κύκλο $\left( O \right)$ και έστω $Q\equiv PD\cap FE$ , όπου $D,E,F$ οι ορθές προβολές του $P$ στις $BC,CA,AB$ αντίστοιχα....

Έστω οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $ABC$, $D$ το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας $\widehat{A}$ με την πλευρά $BC$ και $E$ το ίχνος του ύψους από το $A$. Έστω ότι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος $AD$ τέμνει τα ημικύκλια διαμέτρου $AB$ και...

Έστω $k \in \mathbb{R}$ . Βρείτε τις τιμές των πραγματικών $a , b$ για τις οποίες οι παραβολές :

$f(x)=x^2+ax+k$ και : $g(x)=-x^2+bx+k$ , εφάπτονται .

Προβλημα : Έστω $\displaystyle{(X, \mathbb{C} )}$ ένας χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν $\displaystyle{A, B \in L(X)}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{A B - B A = i \mathbb{I}}$.

Προφανως, αν ο $X$ ειναι πεπερασμενης διαστασης, τοτε προκυπτει...

Καλησπέρα, μπορούμε να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 1-1 σε διάστημα του πεδίου ορισμού στη γ λυκείου; Δηλαδή έστω $f$ η οποία δεν είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της αλλά αν μας ζητηθεί να λύσουμε την εξίσωση:$f(-2x)=f(-2(x+1))$ και $-2x,...

Διαδοχικοί ακέραιοι 2.png
Τα μήκη των πλευρών $c, b, a$ τριγώνου $ABC$ είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Οι κύκλοι $(B, c),$ $(C, b)$ τέμνονται σε

ένα σημείο $D$ διαφορετικό του $A.$ Αν η $BA$ επανατέμνει τον κύκλο $(C)$ στο $E$ και οι $CA, CB$...

Έστω $R,r$ οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου και $O ,I , H, G$ τα χαρακτηριστικά σημεία του, κέντρο περιγεγραμμένου κύκλου, κέντρο εγγεγραμμένου κύκλου, ορθόκεντρο, βαρύκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε τις...

Να βρεθεί συναρτήσει του $n$ το άθροισμα

$6+66+666+ ... + \underset {n\,\, o\rho o \iota} {\underbrace{666...6}}$

Aς την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές Γυμνασίου.

Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς $a,\,b,\,c$ με $a\le b \le c$ και $a^a+b^b+c^c=287$.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου.

Τμηματίδιο.png Οι κύκλοι $(O,3)$ και $(K,2)$ , τέμνονται στα $A , B$ . Η $KA$ ξανατέμνει τον $(O)$

στο $S$ , ενώ η $SB$ τέμνει την $OK$ στο $T$ . Υπολογίστε το $TB$ , αν : $OK=4$ .

Πως λύνεται το γ΄ερώτημα , αποκλειστικά με ( τη διδακτέα) ύλη Β΄Λυκείου ;

Ένα πολυώνυμο $\displaystyle P(x)$ διαιρούμενο με το πολυώνυμο $\displaystyle 4{{x}^{2}}-1$ δίνει πηλίκο $\displaystyle 3x-2$ και υπόλοιπο 1.
α) Να λύσετε την εξίσωση...

Καλησπέρα ,
Στην απόδειξη της Riemann ολο/τας μια συνεχής συνάρτησης σε σύνολο Α=[(χ,y):a1 R συνεχής στο Α για πρίσμα Π υπερσύνολο του Α όπου

fA(P)= τα πιθανά σημεία ασυνέχειας της fA στο Π είναι τα σημεία του συνόρου του Α .

Γιατί το σύνολο...

Έχω την εξής απορία, μπορούμε να βρούμε ένα απλό παράδειγμα είτε από τα μαθηματικά-πληροφορική είτε από την καθημερινότητα (που κυρίως αυτό θα με ενδιέφερε) που δεν είναι ένας αλγόριθμος;

Μεγάλες κατασκευές 82.png Κατασκευάστε ορθογώνιο - στην κορυφή $A$ - τρίγωνο $ABC$ , με διάμεσο $BM$ και διχοτόμο $BD$ ,

στο οποίο τα : $(BAD) , (BDM) , (BMC)$ , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .