ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Καλημέρα !!!
Αυτά είναι τα θέματα ΕΥΚΛΕΙΔΗ 2017. Γράψτε τις ωραίες και αναλυτικές λύσεις σας !
Καλά αποτελέσματα και καλή αντάμωση στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ !!!
Αυτά είναι τα θέματα ΕΥΚΛΕΙΔΗ 2017. Γράψτε τις ωραίες και αναλυτικές λύσεις σας !
Καλά αποτελέσματα και καλή αντάμωση στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ !!!
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑΡΤΑ EYKLEIDHS 2017_f.pdf
- (327.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 3125 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Για η δοθείσα γίνεται με λύσεις , από τις oποίες δεκτή γίνεται η .
Για , η δοθείσα γίνεται με λύσεις ή , από τις oποίες δεκτή γίνεται η .
(Σχόλιο: αυτό είναι κατάλληλο Θέμα για το διαγωνισμό ΕΥΚΛΕΙΔΗ?)
Φιλικά,
Αχιλλέας
Για η δοθείσα γίνεται με λύσεις , από τις oποίες δεκτή γίνεται η .
Για , η δοθείσα γίνεται με λύσεις ή , από τις oποίες δεκτή γίνεται η .
(Σχόλιο: αυτό είναι κατάλληλο Θέμα για το διαγωνισμό ΕΥΚΛΕΙΔΗ?)
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
ΘΕΜΑ 1- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Η δοθείσα γράφεται
Αναγκαστικά πρέπει και , δηλαδή
Φιλικά,
Αχιλλέας
Η δοθείσα γράφεται
Αναγκαστικά πρέπει και , δηλαδή
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Καλημέρα. Το αρχείο είναι σε pdf? Δεν μπορώ να το ανοίξω απο το κινητό ..Ευχαριστώ
Οκ... Ευχαριστώ Μιχάλη....Γιωργο... Σταυρο....
Οκ... Ευχαριστώ Μιχάλη....Γιωργο... Σταυρο....
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Σάβ Ιαν 28, 2017 11:01 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3536
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Καλημέρα και καλή επιτυχία στα παιδιά!
Β' Λυκείου - Πρόβλημα 3
Προφανώς , εγγράψιμο και
Έτσι το είναι εγγράψιμο, οπότε εγγράψιμο
Β' Λυκείου - Πρόβλημα 3
Προφανώς , εγγράψιμο και
Έτσι το είναι εγγράψιμο, οπότε εγγράψιμο
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Μια λύση από το συνάδελφο Θανάση Μπεληγιάννη( στο εξεταστικό κέντρο)
Με απλές σχέσεις γωνιών(θα τις συμπληρώσουμε αργότερα) προκύπτει ότι το είναι εγγράψιμο (η γωνία είναι ίσh με ).
Επομένως :
, δηλαδή και τελικά :
To συμπέρασμα είναι προφανές !
(Μιχάλη, έβαλες τη λύση την ώρα που εγώ την έγραφα.Την αφήνω για να φαίνεται η κοινή πορεία των ...μαθηματικών)
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
ΘΕΜΑ 2 -Β' Λυκείου
Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα
προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε
για καθέ όρο του παραπάνω αθροίσματος έχουμε
με την ισότητα να ισχύει μόνο αν
Οπότε η λύση του συστήματος είναι
Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα
προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε
για καθέ όρο του παραπάνω αθροίσματος έχουμε
με την ισότητα να ισχύει μόνο αν
Οπότε η λύση του συστήματος είναι
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Η δοθείσα δίνει
.
Συνεπώς, το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται από το , κι άρα ο αριθμός είναι πολ/σιο του 3.
Προφανώς, , οπότε , κι άρα .
Το πρώτο πολ/σιο του 3, μετά το 10 είναι .
Παρατηρούμε ότι και , οπότε ο είναι μια λύση.
Στη χειρότερη περίπτωση, κάποιος μπορεί να δοκιμάσει και τα πέντε πολλαπλάσια του 3 από το 15 έως το , δηλ. τους για να δείξει ότι αυτή είναι και η μοναδική λύση.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Η δοθείσα δίνει
.
Συνεπώς, το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται από το , κι άρα ο αριθμός είναι πολ/σιο του 3.
Προφανώς, , οπότε , κι άρα .
Το πρώτο πολ/σιο του 3, μετά το 10 είναι .
Παρατηρούμε ότι και , οπότε ο είναι μια λύση.
Στη χειρότερη περίπτωση, κάποιος μπορεί να δοκιμάσει και τα πέντε πολλαπλάσια του 3 από το 15 έως το , δηλ. τους για να δείξει ότι αυτή είναι και η μοναδική λύση.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω ότι ο Α εκτελεί έργο ανά μια ώρα, κι έστω ότι ο Β εκτελεί έργο ανά μια ώρα.
Αφού σε τρεις ώρες εκτελούν 11/20 του έργου, έχουμε .
Έστω ότι ολοκληρώνουν το έργο σε ώρες από την έναρξη του . Τότε
.
Έτσι .
Εύκολα βρίσκουμε ότι η θετiκή λύση αυτής της εξίσωσης είναι
Άρα, ο ολοκληρώνει το μισό έργο σε ώρες, ενώ ο σε 4 ώρες.
Συνεπώς, ο ολοκληρώνει το έργο σε ώρες, ενώ ο σε 8 ώρες.
Επεξεργασία: Ευχαριστώ το μαθητή Ιωάννη Μπέλλο από τη Λάρισα για τη διόρθωση. Από βιαστική ανάγνωση της εκφώνησης, στην αρχική ανάρτηση υπέθεσα οτι ο Α κι ο Β είχαν ήδη εκτελέσει το 9/10 του έργου. Ευτυχώς, μικρό το κακό!
Φιλικά,
Αχιλλέας
Έστω ότι ο Α εκτελεί έργο ανά μια ώρα, κι έστω ότι ο Β εκτελεί έργο ανά μια ώρα.
Αφού σε τρεις ώρες εκτελούν 11/20 του έργου, έχουμε .
Έστω ότι ολοκληρώνουν το έργο σε ώρες από την έναρξη του . Τότε
.
Έτσι .
Εύκολα βρίσκουμε ότι η θετiκή λύση αυτής της εξίσωσης είναι
Άρα, ο ολοκληρώνει το μισό έργο σε ώρες, ενώ ο σε 4 ώρες.
Συνεπώς, ο ολοκληρώνει το έργο σε ώρες, ενώ ο σε 8 ώρες.
Επεξεργασία: Ευχαριστώ το μαθητή Ιωάννη Μπέλλο από τη Λάρισα για τη διόρθωση. Από βιαστική ανάγνωση της εκφώνησης, στην αρχική ανάρτηση υπέθεσα οτι ο Α κι ο Β είχαν ήδη εκτελέσει το 9/10 του έργου. Ευτυχώς, μικρό το κακό!
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 28, 2017 1:04 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Υπέροχα !Al.Koutsouridis έγραψε:ΘΕΜΑ 2 -Β' Λυκείου
Τ..................
για καθέ όρο του παραπάνω αθροίσματος έχουμε
με την ισότητα να ισχύει μόνο αν
Οπότε η λύση του συστήματος είναι
Την ίδια ακριβώς λύση μου έδωσε σε μια επίσκεψη στο γραφείο η επιτηρήτρια στο διαγωνισμό συνάδελφος Γιάννα Στεργίου.
Για να βλέπετε τι ...τραβάνε οι επιτηρητές .Ούτε να ξανάδιναν στο ΑΣΕΠ δεν θα είχαν τόση ...δουλειά !!!
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
4ο Γ Λυκείου
α) Για παίρνουμε
παίρνουμε
και επιλέγουμε ως
β) Θέτουμε όπου τo και παίρνουμε για κάθε
Επειδή (διότι διαφορετικά θα παίρναμε από την παραπάνω ότι για κάθε )
άρα θέτοντας στην παραπάνω όπου το παίρνουμε δηλαδή (αν ) η συνάρτηση είναι της μορφής .
Επαληθεύοντας για να δούμε ποιες από τις παραπάνω είναι δεκτές, παίρνουμε τελικά ή οπότε τελικά οι δεκτές συναρτήσεις είναι οι και .
Αλέξανδρος
α) Για παίρνουμε
παίρνουμε
και επιλέγουμε ως
β) Θέτουμε όπου τo και παίρνουμε για κάθε
Επειδή (διότι διαφορετικά θα παίρναμε από την παραπάνω ότι για κάθε )
άρα θέτοντας στην παραπάνω όπου το παίρνουμε δηλαδή (αν ) η συνάρτηση είναι της μορφής .
Επαληθεύοντας για να δούμε ποιες από τις παραπάνω είναι δεκτές, παίρνουμε τελικά ή οπότε τελικά οι δεκτές συναρτήσεις είναι οι και .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω το σημείο τομής των και .
Έστω το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών και .
Παρατηρούμε ότι .
Αρκεί να δείξουμε ότι .
Οι γωνίες οξείες και έχουν κάθετες τις πλευρές ( ορθόκεντρο του τριγώνου) κι άρα είναι ίσες.
Συνεπώς, από το ισοσκελές τρίγωνο , έχουμε , κι άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Ομοίως, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Αλλιώς, με κυνήγι γωνιών, βρίσκουμε και .
Συνεπώς, , όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Έστω το σημείο τομής των και .
Έστω το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών και .
Παρατηρούμε ότι .
Αρκεί να δείξουμε ότι .
Οι γωνίες οξείες και έχουν κάθετες τις πλευρές ( ορθόκεντρο του τριγώνου) κι άρα είναι ίσες.
Συνεπώς, από το ισοσκελές τρίγωνο , έχουμε , κι άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Ομοίως, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Αλλιώς, με κυνήγι γωνιών, βρίσκουμε και .
Συνεπώς, , όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- euclid_2017.png (39.87 KiB) Προβλήθηκε 14387 φορές
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Πως σας φάνηκαν τα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου; Τα απάντησα όλα, αλλά δυσκολεύτηκα αρκετά...
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Νομίζω βατά για δουλεμένα παιδιά...τα 3 πρώτα λογικά θα τα γράψουν "ανώδυνα"... Το τέταρτο αν κάποιος γνωρίζει σχετικά καλή φυσική ( ) νομίζω θα το βγάλει και αυτό χωρίς να ζοριστεί πολύ.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Πως σας φάνηκαν τα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου; Τα απάντησα όλα, αλλά δυσκολεύτηκα αρκετά...
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Πρόβλημα 3 Α Λυκείου
Έστω δύο ίσα ημικύκλια, προς το ίδιο ημιεπίπεδο, κέντρων και διαμέτρων
που τέμνονται στο . Προφανώς το τρίγωνο
. Στο αριστερό ημικύκλιο έστω το σημείο και στο δεξιό το
σημείο έτσι ώστε Ας πούμε δε .
Επειδή και ομοίως θα είναι
τα σημεία ανήκουν στην ίδια
Ευθεία , δηλαδή το τετράπλευρο είναι αυτό της εκφώνησης. Φέρνω τη διχοτόμο της γωνίας που τέμνει την στο .
Επειδή και
θα είναι και
αφού η είναι διχοτόμος της .
Νίκος
Έστω δύο ίσα ημικύκλια, προς το ίδιο ημιεπίπεδο, κέντρων και διαμέτρων
που τέμνονται στο . Προφανώς το τρίγωνο
. Στο αριστερό ημικύκλιο έστω το σημείο και στο δεξιό το
σημείο έτσι ώστε Ας πούμε δε .
Επειδή και ομοίως θα είναι
τα σημεία ανήκουν στην ίδια
Ευθεία , δηλαδή το τετράπλευρο είναι αυτό της εκφώνησης. Φέρνω τη διχοτόμο της γωνίας που τέμνει την στο .
Επειδή και
θα είναι και
αφού η είναι διχοτόμος της .
Νίκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Αλέξανδρε, την ίδια ακριβώς λύση κάναμε με το Νίκο Ραβανό εδώ στο ΕΚ. Φαίνεται πως όλα τα κέντρα έχουν ...τηλεπαθητική επικοινωνία !!! Καλό Αρχιμήδη πια !cretanman έγραψε:4ο Γ Λυκείου
α) Για παίρνουμε
παίρνουμε
και επιλέγουμε ως
β) Θέτουμε όπου τo και παίρνουμε για κάθε
Επειδή (διότι διαφορετικά θα παίρναμε από την παραπάνω ότι για κάθε )
άρα θέτοντας στην παραπάνω όπου το παίρνουμε δηλαδή (αν ) η συνάρτηση είναι της μορφής .
Επαληθεύοντας για να δούμε ποιες από τις παραπάνω είναι δεκτές, παίρνουμε τελικά ή οπότε τελικά οι δεκτές συναρτήσεις είναι οι και .
Αλέξανδρος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
4ο της Β Λυκείου
Οι αριθμοί και είναι ακέραιοι άρα o αριθμός είναι ακέραιος άρα ο αριθμός είναι ακέραιος.
Έστω όπου και και αφού και άρα κι έτσι αφού άρα . Όμοια .
Κι έτσι οπότε οι αρχικοί αριθμοί είναι οι και οι οποίοι πρέπει να είναι ακέραιοι άρα και για κι έτσι (αφού ) άρα οπότε κι έτσι
Αλέξανδρος
Οι αριθμοί και είναι ακέραιοι άρα o αριθμός είναι ακέραιος άρα ο αριθμός είναι ακέραιος.
Έστω όπου και και αφού και άρα κι έτσι αφού άρα . Όμοια .
Κι έτσι οπότε οι αρχικοί αριθμοί είναι οι και οι οποίοι πρέπει να είναι ακέραιοι άρα και για κι έτσι (αφού ) άρα οπότε κι έτσι
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Δεν ισχύει και για κάθε όπου x,y μη μηδενικοί ακέραιοι;cretanman έγραψε:4ο της Β Λυκείου
Οι αριθμοί και είναι ακέραιοι άρα o αριθμός είναι ακέραιος άρα ο αριθμός είναι ακέραιος.
Έστω όπου και και αφού και άρα κι έτσι αφού άρα . Όμοια .
Κι έτσι οπότε οι αρχικοί αριθμοί είναι οι και οι οποίοι πρέπει να είναι ακέραιοι άρα και για κι έτσι (αφού ) άρα οπότε κι έτσι
Αλέξανδρος
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Η εκφώνηση λέει ότι οι είναι θετικοί ρητοί.Friedoon έγραψε:Δεν ισχύει και για κάθε όπου x,y μη μηδενικοί ακέραιοι;
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Πρόβλημα 3 Β Λυκείου
Γράφω τον κύκλο που τέμνει την στο και θα δείξω ότι .
Είναι άρα
Αν φέρουμε την εφαπτομένη στο του κύκλου το ζητούμενο εμφανές. Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες