ΘΑΛΗΣ 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5151
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:17 am

Τα θέματα του ΘΑΛΗ 2016 !

Χαρείτε τα και στείλτε πλήρεις λύσεις για το αρχείο μας !

Μπ
Συνημμένα
THEMATA_THALI_12-11-2016F (1).pdf
(271.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 1545 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από KARKAR » Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:31 am

Γεωμετρία Γ ΛΥΚΕΙΟΥ .
Γεωμετρία  Γ'  ΛΥΚ.png
Γεωμετρία Γ' ΛΥΚ.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 7080 φορές
Επειδή \widehat{DKC}=45 ,είναι \widehat{KCA}=22.5^0 , οπότε το K είναι το κέντρο του περικύκλου .

Είναι : \widehat{AKM}=90^0 (=\widehat{AKN}) , συνεπώς τα M,N είναι αντιδιαμετρικά .


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2436
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από achilleas » Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:31 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Τα θέματα του ΘΑΛΗ 2016 !

Χαρείτε τα και στείλτε πλήρεις λύσεις για το αρχείο μας !

Μπ


ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Με x=2014 το γινόμενο A ισούται με

A=(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)=x^6-14x^4+49x^2-36=(x^3-7x)^2-36.

Συνεπώς, αν k=36 έχουμε

A+36=(x^3-7x)^2,

δηλ. τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,

ΑχιλλέΑς


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2436
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από achilleas » Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:40 am

ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Με διαφορά τετραγώνων παίρνουμε

A=(a^2+8a+19)(a^2-8a+17)=((a+4)^2+3)((a-4)^2+1).

Προφανώς (a+4)^2+3>1, οπότε για να είναι ο A πρώτος θα πρέπει να είναι (a-4)^2+1=1, δηλ. a=4.

Με a=4, είναι A=8^2+3=67, που είναι πράγματι πρώτος.

Φιλικά,

Αχιλλέας


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1020
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:40 am

Α-Λυκείου
πρόβλημα 4
Ο αριθμός είναι άρτιος δηλαδή 2c

Αρα 2c+1+c^{2}=(c+1)^{2}

Δηλαδή k=c^{2}+1


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2436
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από achilleas » Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:50 am

Θεμα 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Για x>0 είναι

(2+\dfrac{1}{x})^2=4+\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}>4+\dfrac{4}{x}=\left(2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}\right)^2

οπότε παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα έχουμε

2+\dfrac{1}{x}>2\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}=2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}},

Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις αυτές για x=a, a+1,a+2, a+3 παίρνουμε

\displaystyle{\left(2+\dfrac{1}{a}\right)\left(2+\dfrac{1}{a+1}\right)\left(2+\dfrac{1}{a+2}\right)\left(2+\dfrac{1}{a+3}\right)}>{2^4\sqrt{\dfrac{a+1}{a}}\cdot \sqrt{\dfrac{a+2}{a+1}}\sqrt{\dfrac{a+3}{a+2}}\cdot \sqrt{\dfrac{a+4}{a+3}}=16\sqrt{\dfrac{a+4}{a}}}

όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από KARKAR » Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:55 am

Γεωμετρία  B LYK.png
Γεωμετρία B LYK.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 7030 φορές
Ας το κάνουμε καρτεσιανά : Προφανώς τα B,D,O,Z συνευθειακά , δηλαδή \lambda_{BO}=1 .

Οι συντεταγμένες του K ( εύκολα με πράξεις ρουτίνας ) , δείχνουν ότι και \lambda_{MK}=1


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από george visvikis » Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:02 am

Πρόβλημα 2 - Β Λυκείου

Θαλής Β.ΙΙ.2016.png
Θαλής Β.ΙΙ.2016.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 7021 φορές

\displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Gamma  = {90^0}} κι επειδή \displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta {\rm M} = {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {45^0}} τα σημεία B, \Delta, Z είναι συνευθειακά. Είναι επίσης \displaystyle{\Delta \Gamma ||{\rm O}{\rm K}}

(κάθετες στην ίδια ευθεία), οπότε το K είναι μέσο του Z\Gamma (αφού το O είναι μέσο του \Delta Z) και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από cretanman » Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:04 am

Αλλιώς το 4ο της Α Λυκείου:

Αν ορίσουμε a=2014 τότε A=(a+3)(a-3)(a+2)(a-2)(a+1)(a-1)=(a^2-9)(a^2-4)(a^2-1)=(a^2-4)(a^4-10a^2+9)

Οπότε αν προσθέσουμε στο A τον αριθμό k=(a^4-10a^2+9)(a^4-11a^2+13) τότε

\begin{aligned}A+k &=(a^2-4)(a^4-10a^2+9)+(a^4-10a^2+9)(a^4-11a^2+13) \\ &= (a^4-10a^2+9)(a^4-10a^2+9)=(a^4-10a^2+9)^2\end{aligned}
δηλαδή τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από cretanman » Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:09 am

4o της Γ Λυκείου

Ο αριθμός A είναι της μορφής x^7+x^2+1 ο οποίος γράφεται:

x^7+x^2+1=x^7-x+x^2+x+1=x(x^3-1)(x^3+1)+x^2+x+1=x(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)+x^2+x+1=(x^2+x+1)\left[(x(x-1)(x^3+1)+1\right]

οπότε ο αριθμός A διαιρείται από τον αριθμό x^2+x+1=14^2+14+1=211 που είναι πράγματι πρώτος αφού δεν διαιρείται από κανένα πρώτο μικρότερο του \sqrt{211}<15.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από KARKAR » Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:14 am

Γεωμετρία Β (αλλιώς)
Γεωμετρία  Β  ΛΥΚΕΙΟΥ.png
Γεωμετρία Β ΛΥΚΕΙΟΥ.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 7008 φορές

Προεκτείνοντας τις AE , BC, δημιουργείται το παραλληλόγραμμο ACSZ και τότε το K

είναι το μέσο της AS , δηλαδή MK \perp AE , αφού το AMS είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2436
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από achilleas » Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:19 am

ΘΕΜΑ 4 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αφαιρώντας τις δύο πρώτες σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε

x-y+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=0

που γράφεται ισοδύναμα ως

(x-y)(xy-1)=0.

Έχουμε τις περιπτώσεις:

(Ι) x\ne y.

Τότε xy=1.

Aπό τις δύο τελευταίες σχέσεις τις υπόθεσης προκύπτει z=\dfrac{1}{z}, κι αφού z>0 είναι z=1.

Με z=1 η τελευταία σχέση δίνει y+w=1 και η πρώτη δίνει x+y-w=2.

Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη κι αφού y=1/x παίρουμε

x+2y=3, δηλ. x+\dfrac{2}{x}=3

ή ισοδύναμα x^2-3x+2=0 με λύσεις x=1 και x=2.

Αφού x\ne y και xy=1 αποδεκτή είναι μόνο η x=2, οποτε y=\dfrac{1}{2}, και w=\dfrac{1}{2}.

Άρα (x,y,z,w)=(2,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2}).

(ΙI) x=y.

Αφαιρώντας τις τελευταίες δύο δοθείσες σχέσεις, αφού θε΄σουμε x=y παίρουμε

z-\dfrac{1}{x}-x-\dfrac{1}{z}=0

δηλαδή

(z-x)(1+\dfrac{1}{xz})=0,

οπότε z=x=y.

Εύκολα βλέπουμε τότε, προσθέτοντας τις δύο πρώτες σχέσεις ότι x=y=z=1, και w=0

Άρα (x,y,z,w)=(1,1,1,0).


Συνοψίζοντας (x,y,z,w)=(2,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2}) ή (x,y,z,w)=(1,1,1,0).

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από cretanman » Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:22 am

2ο Α Λυκείου

Επειδή 8=1\cdot 8 = 2\cdot 4 = 2\cdot 2\cdot 2

άρα αφενός ο αριθμός δεν μπορεί να περιέχει τον αριθμό 8 ως ψηφίο (αφού είναι τουλάχιστον 2-ψήφιος) και αφετέρου αφού το άθροισμα των ψηφίων είναι 8 άρα θα είναι είτε 4-ψήφιος της μορφής 1124 (με όλες τις μεταθέσεις των ψηφίων) είτε 5-ψήφιος της μορφής 11222 (με όλες τις μεταθέσεις των ψηφίων).

Αφού ο αριθμός διαιρείται από το 8 άρα το τελευταίο ψηφίο είναι άρτιος, τα δύο τελευταία ψηφία πρέπει να διαιρούνται από το 4 και τα τρία τελευταία ψηφία από το 8.

Έτσι από την 1η μορφή κρατάμε μόνο τον αριθμό 4112 (Οι επιλογές είναι πολύ λίγες αφού τα 2 τελευταία ψηφία μπορεί να είναι μόνο 12 ή 24) που διαιρείται από το 8.

Από τη 2η μορφή (τα δύο τελευταία ψηφία είναι αναγκαστικά ο αριθμός 12 για να διαιρείται από το 4) και τις 3 δυνατές επιλογές για τα 3 πρώτα ψηφία κρατάμε μόνο τον 22112.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από george visvikis » Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:48 am

Γεωμετρία Α Λυκείου

Θαλής A.ΙΙI.2016.png
Θαλής A.ΙΙI.2016.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 6945 φορές

\displaystyle{\Gamma \widehat {\rm K}{\rm M} = {\rm A}\widehat {\rm K}{\rm Z} = {45^0}}, άρα τα σημεία \displaystyle{\Gamma ,{\rm K},{\rm Z}} είναι συνευθειακά. Έστω H το σημείο τομής της AB με την \Gamma Z.

Θα δείξω ότι τα σημεία \displaystyle{{\rm H},\Delta ,{\rm E}} είναι συνευθειακά.

Το \displaystyle{{\rm A}{\rm H}{\rm K}\Delta } είναι εγγράψιμο (απέναντι γωνίες παραπληρωματικές), άρα \displaystyle{{\rm H}\widehat {\rm A}{\rm K} = {\rm H}\widehat \Delta {\rm K} = {15^0}}.

Αλλά \displaystyle{{\rm E}{\rm K} = {\rm K}\Delta  \Leftrightarrow {\rm K}\widehat E \Delta} = {\rm E}\widehat \Delta {\rm K} = {15^0}}, οπότε \displaystyle{{\rm H}\widehat \Delta {\rm K} = {\rm E}\widehat \Delta {\rm K}} και το ζητούμενο έπεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1020
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:05 pm

Α Λυκείου
πρόβλημα 4

A+A+1+A^{2}=(A+1)^{2}

Δηλαδή k=1+A+A^{2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από george visvikis » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:15 pm

Πρόβλημα 1 - Α Λυκείου

Πολύ απλό.
Η πρώτη ανίσωση: \displaystyle{({x^2} + x + 1)(x - 1) + 5x \leqslant {x^3} + x + 19 \Leftrightarrow 4x \leqslant 20 \Leftrightarrow } \boxed{x \leqslant 5}

Η δεύτερη ανίσωση: \displaystyle{\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{23}}{9} > \frac{{4x - 21}}{9} \Leftrightarrow 6x - 3 - 23 > 4x - 21 \Leftrightarrow } \boxed{x > \frac{5}{2}}

Οι ακέραιες κοινές λύσεις είναι 3, 4, 5.


nikoszan
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από nikoszan » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:22 pm

\displaystyle{\begin{array}{l}
A = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1}{a_0}}  = {a_n}{.10^n} + {a_{n - 1}}{.10^{n - 1}} + ... + {a_1}10 + {a_0}\\
{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1}{a_0} = {a_n} + {a_{n - 1}} + ... + {a_1} + {a_0} = 8:\left( 1 \right)\\
8/A \Rightarrow {a_0} \in \left\{ {0,2,4,6,8} \right\}:\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) \wedge \left( 2 \right) \Rightarrow {a_0} \in \left\{ {2,4} \right\}
\end{array}}
\displaystyle{ \bullet }Για \displaystyle{{a_0} = 4} είναι \displaystyle{\,\,{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1} = 2:\left( 3 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{a_n} + {a_{n - 1}} + ... + {a_1} = 4:\left( 4 \right)} ,οπότε ένας απο τους \displaystyle{\,{a_n},{a_{n -1},...,{a_1}} θα είναι το \displaystyle{2} και οι αλλοι
( προφανως στο πλήθος 2)θα είναι ίσοι με το 1.
Οι παραπάνω αριθμοι (1124,1214,2114)δεν ειναι πολλαπλασια του \displaystyle{8} και απορριπτονται.
\displaystyle{ \bullet }Για \displaystyle{{a_0} = 2}είναι \displaystyle{{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1} = 4:\left( 5 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{a_n} + {a_{n - 1}} + ... + {a_1} = 6:\left( 6 \right)},οπότε
\displaystyle{ \bullet }1)ένας θα είναι το 4 και άλλοι ( προφανως στο πλήθος 2) θα είναι ίσοι με το 1.Οι αριθμοί αυτοι είναι :\displaystyle{1142,1412,4112}.απο τους οποίους μόνο ο \displaystyle{4112}είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{8}
\displaystyle{ \bullet }2)δύο απο τους\displaystyle{\,{a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1}} θα είναι ίσοι με το \displaystyle{2}και οι άλλοι
( προφανως στο πλήθος 2) θα είναι ίσοι με το 1.Οι αριθμοί αυτοί είναι \displaystyle{11222,12122,21122,12212,21212,22112} ,
απο τους οποίους μόνο ο \displaystyle{22112} είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{8}. Τελικά οι ζητούμενοι αριθμοί είναι\displaystyle{4112\,\,\kappa \alpha \iota \,22112}.
Ν.Ζ.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από JimNt. » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:25 pm

Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από george visvikis » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:32 pm

Πρόβλημα 1 - Γ Λυκείου

\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A\Gamma } )| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\beta  - \alpha }&{{\beta ^2} - {\alpha ^2}} \\ 
  {\gamma  - \alpha }&{{\gamma ^2} - {\alpha ^2}} 
\end{array}} \right|| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  { - \omega }&{ - \omega (\beta  + \gamma )} \\ 
  { - 2\omega }&{ - 2\omega (\alpha  + \gamma )} 
\end{array}} \right|| = }

\displaystyle{\frac{1}{2}|2{\omega ^2}(\alpha  + \gamma ) - 2{\omega ^2}(\beta  + \gamma )| \Leftrightarrow } \boxed{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = {\omega ^3}}


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:44 pm

JimNt. έγραψε:Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;



Πράγματι ήταν δυσκολούτσικο. Θα μπορούσε να ήταν κάλλιστα θέμα Ευκλείδη.

Γενικά όμως ήταν ένας πάρα πολύ ωραίος Θαλής αν και λίγο απαιτητικός.



Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSNbot Media και 2 επισκέπτες