Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 708
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από sokratis lyras » Παρ Νοέμ 21, 2014 8:32 pm

Ανοίγω αυτό το φάκελο για να δούμε ασκήσεις ανάλυσης (απειροστικού 1 και 2,και πραγματικής),κυρίως θεωρητικές και όχι υπολογισμοί ολοκληρωμάτων,σειρών κλπ επειδή τώρα τελευταία,δεν υπάρχουν πολλά πανεπιστημιακά τόπικς στο φόρουμ!Ας αρχίσουμε με 2 εύκολες:

Άσκηση 1

Έστω \displaystyle(X,d) μετρικός χώρος.Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του X γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων και κάθε ανοιχτό υποσύνολο του X γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων.

Άσκηση 2

Είναι σωστό ότι για κάθε άπειρο μετρικό χώρο \displaystyle(X,d) υπάρχει άπειρο υποσύνολό A του X ώστε κάθε G\subseteq A να είναι ανοιχτό ως προς τη σχετική μετρική στο A ;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2790
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 21, 2014 11:44 pm

sokratis lyras έγραψε:Άσκηση 1

Έστω \displaystyle(X,d) μετρικός χώρος.Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του X γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων.


Δίνω μία απάντηση, χωρίς να 'μαι και τόσο σίγουρος.

Έστω \displaystyle{A\subseteq X} το οποίο είναι κλειστό. Για κάθε \nu \in \mathbb{N} ορίζουμε \displaystyle{U_\nu=\bigcup_{a \in A} B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right )}.

Οπότε το U_\nu είναι ανοιχτό ως ένωση ανοιχτών σφαιρών.
Είναι προφανές ότι \displaystyle{A\subseteq \bigcap _{\nu \in \mathbb{N}}U_\nu}, άρα αρκεί να δείξω ότι \displaystyle{A\supseteq \bigcap_{\nu \in \mathbb{N}}U_\nu }.

Έστω ότι \displaystyle{x \notin A} . Θα δείξω ότι \displaystyle{x \notin \bigcap U_\nu }.
Εφόσον το A είναι κλειστό, τότε το A^c είναι ανοιχτό άρα υπάρχει \nu \in \mathbb{N} τέτοιο ώστε \displaystyle{B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )\cap A=\varnothing}. Δηλαδή για όλα τα a \in A έχουμε ότι \displaystyle{a \notin B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )}.

Συνεπώς για όλα τα \displaystyle{a \in A \implies x \notin B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right ) \implies x \notin U_\nu \implies x \notin \bigcap U_\nu}.

Θα θελα να μου πει κάποιος αν είναι σωστό.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9247
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 22, 2014 12:12 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Εφόσον το A είναι κλειστό, τότε το A^c είναι ανοιχτό άρα υπάρχει \nu \in \mathbb{N} τέτοιο ώστε \displaystyle{B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )\cap A=\varnothing}.
<...>
Συνεπώς για όλα τα \displaystyle{a \in A \implies x \notin B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right ).

Θα θελα να μου πει κάποιος αν είναι σωστό.


Σε αυτό το σημείο υπάρχει μία ατέλεια:

Δοθέντος του a έδειξες ότι υπάρχει \nu \in \mathbb{N} με \displaystyle{B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )\cap A=\varnothing}. Αυτό που έχει σημασία είναι ότι το \nu εξαρτάται από το a. Οπότε δεν είναι σωστός ο ισχυρισμός
για όλα τα \displaystyle{a \in A \implies x \notin B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right ). Το τελευταίο σημαίνει ότι για όλα τα a μας κάνει το ίδιο \nu. Όχι!

Η απόδειξη σε αυτό μπορεί να διορθωθεί.

Το αφήνω για την ώρα ώστε να έχεις την χαρά να το σκεφτείς.

Μ.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 449
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από AlexandrosG » Κυρ Νοέμ 23, 2014 8:34 am

Ωραία ιδέα αυτό το θέμα. Να προσθέσω δύο προβλήματα.

Άσκηση 3

Έστω (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}} να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0.}

Άσκηση 4

Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες \displaystyle{B(x,\epsilon_1)} και \displaystyle{B(y,\epsilon_2)} έτσι ώστε \displaystyle{B(x,\epsilon_1)\subsetneq B(y,\epsilon_2)} ενώ \displaystyle{\epsilon_1>\epsilon_2}?


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από stranton » Κυρ Νοέμ 23, 2014 10:33 am

Άσκηση 1

Έστω \displaystyle(X,d) μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του X γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων και κάθε ανοιχτό υποσύνολο του X γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων.


Δηλαδή κάθε κλειστό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι G_{\delta}-σύνολο και κάθε ανοικτό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι F_{\sigma}-σύνολο.

Έστω F κλειστό υποσύνολο του X. Αν d_F:X\to \mathbb{R} η συνάρτηση απόστασης από το σύνολο F,
για κάθε n\in\mathbb{N} θεωρούμε το σύνολο G_n=\{x\in X:d_F(x)<\frac{1}{n}\}.

Η συνάρτηση d_F είναι (ομοιόμορφα) συνεχής, το σύνολο (-\infty,\frac{1}{n}) είναι ανοικτό στο \mathbb{R},
άρα το G_n είναι ανοικτό υποσύνολο του X.

Επειδή F\subseteq G_n για κάθε n\in\mathbb{N}, θα είναι F\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n.

Αν x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}G_n τότε x\in G_n για κάθε n\in\mathbb{N}, δηλαδή d_F(x)<\frac{1}{n} για κάθε n\in\mathbb{N},

άρα d_F(x)=0 οπότε x\in \overline{F}=F ,αφού το F είναι κλειστό.

Επομένως, Τότε F=\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n.

Αν G είναι ανοικτό υποσύνολο του X τότε το X-G είναι κλειστό υποσύνολο του X.

Είναι X-G=\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n οπότε G=X-\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}(X-G_n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n, όπου
F_n=X-G_n κλειστό υποσύνολο του X.


Στράτης Αντωνέας
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από stranton » Κυρ Νοέμ 23, 2014 12:12 pm

Άσκηση 4
Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες \displaystyle{B(x,\epsilon_1)} και \displaystyle{B(y,\epsilon_2)} έτσι ώστε \displaystyle{B(x,\epsilon_1)\subsetneq B(y,\epsilon_2)} ενώ \displaystyle{\epsilon_1>\epsilon_2}?


Ναι είναι δυνατόν να συμβαίνει.

Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε το μετρικό χώρο (X,d) με X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 16\} και d η ευκλείδεια μετρική.

Θεωρούμε τις μπάλες B((3,0),5)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x-3)^2+y^2< 25\}\cap X και

B((0,0),4)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2< 16\}

Είναι B((3,0),5)\subsetneq B((0,0),4) ενώ \epsilon_1=5>4=\epsilon_2.


Στράτης Αντωνέας
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9247
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 23, 2014 12:16 pm

AlexandrosG έγραψε:Άσκηση 4

Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες \displaystyle{B(x,\epsilon_1)} και \displaystyle{B(y,\epsilon_2)} έτσι ώστε \displaystyle{B(x,\epsilon_1)\subsetneq B(y,\epsilon_2)} ενώ \displaystyle{\epsilon_1>\epsilon_2}?


Γίνεται. Για παράδειγμα ο Μετρικός Χώρος X=\{0,\, 1, \, 2\} όπου οι αριθμοί 0,1,2 λαμβάνονται (στην σωστή τους θέση) πάνω στον άξονα των πραγματικών.

Για \displaystyle{\epsilon_1= \frac {3}{2}> \frac {4}{3}=\epsilon_2} έχουμε

\displaystyle{ B\left (0, \, \frac {3}{2}\right )= \{0, \, 1\} \subsetneq \{0, \, 1, \, 2\}= B\left (1, \frac {4}{3}\right )}

M.

Edit. Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο και τις μικροδιαφορές.


sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 708
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από sokratis lyras » Κυρ Νοέμ 23, 2014 3:01 pm

AlexandrosG έγραψε:
Άσκηση 3

Έστω (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}} να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0.}



Αν η a_n δεν πήγαινε στο 0 θα υπήρχε \epsilon>0 και k_n γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ώστε |a_{k_n}|\ge \epsilon.Τότε όμως η δοθείσα σειρά θα απόκλινε.
Άρα a_n\rightarrow 0.

Έστω s_n=a_1+a_2+...+a_n.

Η b_n=\displaystyle\frac{s_{n+1}-s_n}{n+1-n}=a_{n+1} συγκλίνει στο 0 και από stolz τελειώσαμε.

Υ.Γ. Με επιφύλαξη!


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9247
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 23, 2014 3:46 pm

sokratis lyras έγραψε:Αν η a_n δεν πήγαινε στο 0 θα υπήρχε \epsilon>0 και k_n γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ώστε |a_{k_n}|\ge \epsilon.Τότε όμως η δοθείσα σειρά θα απόκλινε.
Άρα a_n\rightarrow 0.
<...>
Υ.Γ. Με επιφύλαξη!



Σωκράτη, προσοχή δεν είναι σωατό αυτό. Για παράδειγμα αν a_n= 1 όποτε n=2^k, \, k\in \mathbb N και 0 αλλιώς τότε

\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k}< \infty} αλλά a_n \not \rightarrow 0

M.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 23, 2014 5:42 pm

Είναι αρκέτα δύσκολη.Η ιδέα είναι να γίνει άθροιση κατά μέρη.Βρίσκεται στο Problems in Mathematical Analysis I W.J.Kaczor M.T.Nowak.3.4.28


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9247
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 23, 2014 6:37 pm

Δεν έχω το βιβλίο των Kaczor, Nowak για να συγκρίνω αλλά το πιστεύω ότι είναι δύσκολη η άσκηση.

Από κάτω δίνω λύση με την επιπλέον υπόθεση a_n\ge 0 , \forall n γιατί από μόνη της είναι ενδιαφέρουσα και (μάλλον) απλούστερη από την γενική περίπτωση (που δεν είδα).

AlexandrosG έγραψε:Άσκηση 3

Έστω (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}} να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0.}


Έστω ότι \displaystyle{  \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \not \rightarrow 0}. Άρα υπάρχει \epsilon >0 και άπειρο σύνολο δεικτών M \subseteq \mathbb N με

\displaystyle{  \frac{a_1+a_2+...+a_m}{m} \ge \epsilon, \, \forall m\in M}

Ορίζουμε επαγωγικά ακολουθία m_1<m_2 < ... στοιχείων του M με \displaystyle{  \frac{a_{m_{k-1}+1}+...+a_{m_k}}{m_k} \ge \frac {1}{2} \epsilon, \, \forall k} ως εξής.

Για το επαγωγικό βήμα, αφού έχουμε επιλέξει τον m_{k-1}, επιλέγουμε m_k\in M τόσο μεγάλο ώστε να ισχύει

\displaystyle{ \displaystyle{  \frac{a_{1}+...+a_{m_{k-1}}}{m_k} \le \frac {1}{2} \epsilon }

Είναι τότε

\displaystyle{  \frac{a_{m_{k-1}+1}+...+a_{m_k}}{m_k} =  \frac{a_{1}+...+a_{m_{k}}}{m_k}-  \frac{a_{1}+...+a_{m_{k-1}}}{m_k}\ge \epsilon - \frac {1}{2} \epsilon= \frac {1}{2} \epsilon } , όπως θέλαμε.

Έχουμε τώρα (εδώ μπαίνει η υπόθεση a_n \ge 0, \forall n )

\displaystyle{ \frac { a_{m_{k-1}+1} }{ m_{k-1}+1}} +... + \frac {a_{m_k}} {m_k }\ge \frac{a_{m_{k-1}+1}+...+a_{m_k}}{m_k} \ge \frac {1}{2} \epsilon

που σημαίνει ότι η \sum _{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n} αποκλίνει αφού δεν είναι Cauchy.

Από το άτοπο έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης


sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 708
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από sokratis lyras » Δευ Νοέμ 24, 2014 7:53 pm

Ας συνεχίσουμε..(παραμένουν οι 2,3).

Άσκηση 5

Έστω \displaystyle F μη κενό και κλειστό υποσύνολο του \mathbb{R} και \displaystyle f:F\rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση.Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} έτσι ώστε \displaystyle f(x)=g(x) για κάθε x\in F.

Αλέξανδρε,κάποια υπόδειξη για το 3?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 24, 2014 8:15 pm

Για την 5. Το συμπλήρωμα του F είναι ανοικτό. Αρα γραφέται σαν αριθμήσιμη ενωσή ξένων ανοικτών διαστήματων.
Τα ακρά των διαστήματων ανήκουν στο F. Σε καθένα από αυτά τα διαστήματά επεκτείνουμε την συναρτήση γραμμικά.
Το αποτέλεσμα ισχύει γενικά σε μετρικό χώρο. Σε τοπολόγικους χώρους ισχύει με προϋποθέσεις και εχει ονόμα H.Tietze.


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από stranton » Δευ Νοέμ 24, 2014 8:36 pm

Άσκηση 6

Ένας μετρικός χώρος X έχει την ιδιότητα:

"Η τομή οσωνδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο."

Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολό του είναι ανοικτό και κλειστό.


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 449
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από AlexandrosG » Τρί Νοέμ 25, 2014 1:25 am

sokratis lyras έγραψε:Ας συνεχίσουμε..(παραμένουν οι 2,3).

Αλέξανδρε,κάποια υπόδειξη για το 3?


Την υπόδειξη για την λύση που γνωρίζω την έχει δώσει ο Σταύρος. Η άθροιση κατά μέρη/κατά Abel είναι το ανάλογο της ολοκλήρωσης κατά μέρη για σειρές. Σαν μια έξτρα υπόδειξη, μπορούμε να ξεκινήσουμε από τη δοθείσα σειρά να κάνουμε άθροιση κατά μέρη και το ζητούμενο όριο θα εμφανιστεί σαν ένας όρος. Πρόκειται για λήμμα του Kronecker.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 449
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από AlexandrosG » Τρί Νοέμ 25, 2014 2:53 am

stranton έγραψε:Άσκηση 6

Ένας μετρικός χώρος X έχει την ιδιότητα:

"Η τομή οσωνδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο."

Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολό του είναι ανοικτό και κλειστό.


Μέσω της ισοδυναμίας/ορισμού το σύνολο U είναι ανοικτό αν και μόνο αν το σύνολο X\setminus U είναι κλειστό, συμπεραίνουμε ότι η ένωση οσωνδήποτε κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο. Τα μονοσύνολα είναι κλειστά και συνεπώς οποιοδήποτε σύνολο είναι κλειστό. Ξανά από την ισοδυναμία οποιοδήποτε σύνολο είναι και ανοικτό. Να σημειώσω εδώ ότι τότε ο χώρος λέγεται διακριτός και μια μετρική που επάγει αυτήν την τοπολογία είναι η \displaystyle{d(x,y)=1} για x\neq y ενώ \displaystyle{d(x,y)=0} για x=y.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 25, 2014 1:44 pm

Υπόδειξη για την 2.
Είναι σωστό.Θα πρέπει να κατασκεύασθει ακολουθία ξενών ανοικτών σφαίρων.
Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις.
α)Ο χώρος δεν εχεί σημεία συσσώρευσης.Τότε όλα τα σημεία είναι μεμονωμένα.
β)Ο χώρος εχεί τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.Τότε σε κάθε σφαίρα με κέντρο αύτο το σήμειο υπάρχουν απείρα σημεία του χώρου.
Κάνουμε επαγώγικη κατάσκευη των σφαίρων.


kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από kgeo67 » Πέμ Νοέμ 27, 2014 1:51 am

Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;


Κωνσταντίνος Γεωργίου
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9247
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 27, 2014 10:36 am

kgeo67 έγραψε:Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;


Όχι, δεν διατηρείται κατ' ανάγκη: Το (0,1] είναι ομοιομορφικό με το [1, +\infty) μέσω της f(x) = \frac {1}{x} αλλά το μεν πρώτο είναι ολικά φραγμένο (άμεσο) αλλά όχι το δεύτερο (αφού δεν είναι καν φραγμένο).

Μ.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9247
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 27, 2014 10:55 am

kgeo67 έγραψε:Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;


Άλλο αντιπαράδειγμα (στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα με το προηγούμενο, αλλά είναι ντυμένο αλλιώς):

Εξετάζουμε το \displaystyle{ \left ( -\frac {\pi}{2} , \frac {\pi}{2}\right ) } με την συνήθη μετρική και, κατόπιν, με την μετρική
d(x,y)= |\tan x- \tan y| .

To πρώτο είναι ολικά φραγμένο (άμεσο) αλλά όχι το δεύτερο. Ένας γρήγορος τρόπος να το διαπιστώσουμε είναι η παρατήρηση ότι ο δεύτερος είναι ομοιομορφικός με το \mathbb R μέσω της f(x)=\tan x αλλά, φυσικά, το \mathbb R δεν είναι ολικά φραγμένο ως μη φραγμένο.

Φιλικά,

Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Ιουν 25, 2015 11:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες