Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μάιος 29, 2013 5:56 pm

Ας φτιάξουμε ένα post, όπου θα συγκεντρώσουμε όσες περισσότερες ασκήσεις με τετράγωνα υπάρχουν (μια ιδέα του φίλου Μπάμπη Στεργίου). Όταν φτάσουμε στον αριθμό 100, δεσμεύομαι πως θα τις "δέσω" σε ένα pdf...
Θερμή παράκληση να χρησιμοποιούνται Ελληνικά και όποιος φίλος χρησιμοποιεί Geogebra ας επισυνάπτει και το αρχείο ggb (για δική μου διευκόλυνση).


Άσκηση 001
sq001.jpg
sq001.jpg (19.63 KiB) Προβλήθηκε 12213 φορές

Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta με κέντρο {\rm O}. Αν για τυχαία σημεία {\rm E},\,{\rm Z} επί των πλευρών \Delta {\rm A},\,{\rm A}{\rm B} αντίστοιχα ισχύει {\rm E}{\rm O} \bot {\rm O}{\rm Z}, δείξτε ότι:

1) ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 4({\rm A}{\rm Z}{\rm O}{\rm E}).

2) \Delta {\rm E} = {\rm A}{\rm Z}.
Συνημμένα
sq001.ggb
(3.35 KiB) Μεταφορτώθηκε 328 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
tzisves
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 22, 2012 5:51 pm

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από tzisves » Τετ Μάιος 29, 2013 7:13 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Ας φτιάξουμε ένα post, όπου θα συγκεντρώσουμε όσες περισσότερες ασκήσεις με τετράγωνα υπάρχουν (μια ιδέα του φίλου Μπάμπη Στεργίου). Όταν φτάσουμε στον αριθμό 100, δεσμεύομαι πως θα τις "δέσω" σε ένα pdf...
Θερμή παράκληση να χρησιμοποιούνται Ελληνικά και όποιος φίλος χρησιμοποιεί Geogebra ας επισυνάπτει και το αρχείο ggb (για δική μου διευκόλυνση).


Άσκηση 001
Το συνημμένο sq001.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta με κέντρο {\rm O}. Αν για τυχαία σημεία {\rm E},\,{\rm Z} επί των πλευρών \Delta {\rm A},\,{\rm A}{\rm B} αντίστοιχα ισχύει {\rm E}{\rm O} \bot {\rm O}{\rm Z}, δείξτε ότι:

1) ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 4({\rm A}{\rm Z}{\rm O}{\rm E}).

2) \Delta {\rm E} = {\rm A}{\rm Z}.

τετράγωνα_001.png
τετράγωνα_001.png (5.15 KiB) Προβλήθηκε 12172 φορές

α) Έστω {\rm M},{\rm N} τα μέσα των πλευρών {\rm A}{\rm B},{\rm A}\Delta αντίστοιχα.

Προφανώς το τετράπλευρο {\rm O}{\rm M}{\rm A}{\rm N} είναι τετράγωνο με μήκος πλευράς το μισό

του μήκους της πλευράς του τετραγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta συνεπώς

({\rm O}{\rm M}{\rm A}{\rm N}) = \displaystyle\frac{1}{4}({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )\,\,(1) .

Επειδή \omega  + \varphi  = \varphi  + \theta  = {90^0} \Rightarrow \omega  = \theta . Τα ορθογώνια τρίγωνα

{\rm O}{\rm M}{\rm Z},{\rm O}{\rm N}{\rm E} έχουν τις κάθετες πλευρές τους {\rm O}{\rm M},{\rm O}{\rm N} ίσες και τις

προσκείμενες οξείες γωνίες \theta ,\omega ίσες άρα είναι ίσα και έτσι θα είναι και ισοδύναμα

και άρα ({\rm O}{\rm E}{\rm A}{\rm Z}) = ({\rm O}{\rm E}{\rm N}) + ({\rm O}{\rm N}{\rm A}{\rm Z}) = ({\rm O}{\rm N}{\rm A}{\rm Z}) + ({\rm O}{\rm M}{\rm Z}) δηλαδή

({\rm O}{\rm Z}{\rm A}{\rm E}) = ({\rm O}{\rm M}{\rm A}{\rm N}) = \displaystyle\frac{1}{4}({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )

β) Πάλι λόγω της ισότητας των τριγώνων {\rm O}{\rm M}{\rm Z},{\rm O}{\rm N}{\rm E} έχουμε

{\rm E}{\rm N} = {\rm Z}{\rm M} \Rightarrow \Delta {\rm N} - {\rm E}{\rm N} = {\rm A}{\rm M} - {\rm Z}{\rm M} \Rightarrow \Delta {\rm E} = {\rm A}{\rm Z} .
Συνημμένα
τετράγωνα_001.ggb
(9.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 199 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μάιος 29, 2013 11:28 pm

Άσκηση 002
sq002.jpg
sq002.jpg (22.06 KiB) Προβλήθηκε 12105 φορές
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και με πλευρά {\rm A}\Delta κατασκευάζω εξωτερικά το ισόπλευρο \vartriangle {\rm A}\Delta {\rm E}. Αν {\rm Z} \equiv {\rm E}\Gamma  \cap \Delta {\rm B}, δείξτε ότι \displaystyle{{\rm E}\Gamma  = {\rm Z}{\rm B}\sqrt 3 }.
Συνημμένα
sq002.ggb
(4.19 KiB) Μεταφορτώθηκε 204 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1002
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μάιος 30, 2013 3:08 am

Είναι \angle CDE=\angle EAB=90^{0}+60^{0}=150^{0} κι επειδή \textrm{CD=DE=EA=AB}=\alpha , όπου \alpha η πλευρά του τετραγώνου ,θα είναι \angle DCE=\angle DEC=\angle AEB=\angle EBA=15^{0} κι έτσι τα τρίγωνα \textrm{EDC,EAB} είναι ίσα οπότε \textrm{EC=EB} κι ακόμη \angle CEB=60^{0}-30^{0}=30^{0} και \angle ZBE=45^{0}-15^{0}=30^{0}.Άρα \textrm{EZ=ZB}
Έστω \textrm{ZH} η προβολή της \textrm{ZB} στην \textrm{EZ}.Προφανώς \angle ZBH=30^{0}\Rightarrow \textrm{ZH}=\dfrac{ZB}{2}. Τώρα με γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα στο αμβλυγώνιο τρίγωνο \textrm{EZB} παίρνουμε \textrm{EB}^{2}=2\textrm{ZB}^{2}+2\textrm{EZ}\cdot \textrm{ZH}\Rightarrow \textrm{EC}^{2}=2\textrm{ZB}^{2} +2\textrm{ZB}\cdot \dfrac{ZB}{2}\Rightarrow \textrm{EC}^{2}=3\textrm{ZB}^{2} \Rightarrow \textrm{EC=\textrm{ZB}}\sqrt{3}
και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Συνημμένα
sq002.ggb
(7.7 KiB) Μεταφορτώθηκε 177 φορές
sq.png
sq.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 12057 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2013 7:28 am

Άσκηση 003
sq003.png
sq003.png (26 KiB) Προβλήθηκε 12032 φορές
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και με πλευρά {\rm A}{\rm B} = \alpha κατασκευάζω εσωτερικά το ισόπλευρο \vartriangle {\rm A}{\rm B}{\rm E}. Αν {\rm E}{\rm B}{\rm Z}{\rm H} τετράγωνο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ’ την {\rm E}{\rm B} και στο οποίο δεν ανήκει το {\rm A}, να δείξετε ότι \Delta {\rm H} = \alpha \sqrt 2.
Συνημμένα
sq003.ggb
(4.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 193 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3646
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Φωτεινή » Πέμ Μάιος 30, 2013 7:43 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 003
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και με πλευρά {\rm A}{\rm B} = \alpha κατασκευάζω εσωτερικά το ισόπλευρο \vartriangle {\rm A}{\rm B}{\rm E}. Αν {\rm E}{\rm B}{\rm Z}{\rm H} τετράγωνο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ’ την {\rm E}{\rm B} και στο οποίο δεν ανήκει το {\rm A}, να δείξετε ότι \Delta {\rm H} = \alpha \sqrt 2.

Καλημέρα

Φέρω BH,B\Delta (=a\sqrt 2)

\Gamma \hat BH=E\hat B\Delta =15^o

Το τρίγωνο \Delta BH είναι ισόπλευρο αφού \Delta B =BH=a\sqrt 2 και \Delta \hat BH=60^o

Άρα \Delta H=\Delta B=BH=a\sqrt 2


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2013 7:55 am

Άσκηση 004
sq004.png
sq004.png (12.9 KiB) Προβλήθηκε 12013 φορές
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta πλευράς \alpha και εσωτερικό του σημείο {\rm E}, τέτοιο ώστε {\rm A}{\rm E} = \alpha και {\rm B}{\rm E} \bot {\rm E}\Gamma. Να δείξετε ότι {\rm B}{\rm E} = 2{\rm E}\Gamma.
Συνημμένα
sq004.ggb
(3.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 189 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4445
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2013 10:38 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 002
Το συνημμένο sq002.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και με πλευρά {\rm A}\Delta κατασκευάζω εξωτερικά το ισόπλευρο \vartriangle {\rm A}\Delta {\rm E}. Αν {\rm Z} \equiv {\rm E}\Gamma  \cap \Delta {\rm B}, δείξτε ότι \displaystyle{{\rm E}\Gamma  = {\rm Z}{\rm B}\sqrt 3 }.



Καλημερίζω τον… Μιχαήλ και τον… Μιχάλη. Καλημέρα σε όλους.
τετράγωνα_002.png
τετράγωνα_002.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 11974 φορές

Λίγο διαφορετικά από τον Μιχάλη ( τον Τσουρακάκη)

Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι \widehat {{\rm Z}{\rm E}{\rm B}} = \widehat {{\rm Z}{\rm B}{\rm E}} = {30^0} και το τρίγωνο

{\rm E}{\rm B}\Gamma ({30^0}{,75^0}{,75^0}) έχει {\rm E}{\rm B} = {\rm E}\Gamma .

Αν γράψουμε τον κύκλο ({\rm Z},R)\,\,\,,\,\,R = {\rm Z}{\rm B} = {\rm Z}{\rm E} προφανώς

\boxed{{\rm E}{\rm B} = {\lambda _3} = R\sqrt 3 } και το ζητούμενο αποδείχτηκε .

Φιλικά Νίκος
Συνημμένα
τετράγωνα_002.ggb
(11.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 171 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4445
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2013 11:18 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 004
Το συνημμένο sq004.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta πλευράς \alpha και εσωτερικό του σημείο {\rm E}, τέτοιο ώστε {\rm A}{\rm E} = \alpha και {\rm B}{\rm E} \bot {\rm E}\Gamma. Να δείξετε ότι {\rm B}{\rm E} = 2{\rm E}\Gamma.

Τετράγωνο_004.png
Τετράγωνο_004.png (22.81 KiB) Προβλήθηκε 11955 φορές

Το σημείο {\rm E} προσδιορίζεται από την τομή των τόξων που βρίσκονται μέσα στο

τετράγωνο :

Α) Τεταρτοκύκλιο ({\rm A},2\alpha )\,\,\,,\,\,{\rm A}{\rm B} = 2\alpha και

Β) Ημικυκλίου ({\rm K},\alpha ) όπου {\rm K} το μέσο του {\rm B}\Gamma .

Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}{\rm E},{\rm K}{\rm E}\Gamma είναι ισοσκελή με κορυφές {\rm A},{\rm K} αντίστοιχα και επειδή

οι παρά την βάση τους γωνίες είναι συμπλήρωμα της γωνίας \widehat \theta , θα είναι όμοια με

λόγο ομοιότητας \displaystyle\frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Gamma }} = \displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm K}\Gamma }} = \displaystyle\frac{{2\alpha }}{\alpha } = 2 \Rightarrow \boxed{{\rm E}{\rm B} = 2{\rm E}\Gamma } .

Φιλικά Νίκος
Συνημμένα
τετράγωνα_004.ggb
(10.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 169 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2013 12:29 pm

Άσκηση 005
sq005.jpg
sq005.jpg (34.31 KiB) Προβλήθηκε 11935 φορές
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και έστω {\rm M} το μέσο της {\rm B}\Gamma. Αν \Gamma {\rm E} \bot \Delta {\rm M}\,({\rm E} \in \Delta {\rm M}), να δείξετε ότι {\rm A}{\rm E} = \Gamma {\rm E}\sqrt 5.
Συνημμένα
sq005.ggb
(4.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 183 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4445
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2013 2:24 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 005
Το συνημμένο sq005.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και έστω {\rm M} το μέσο της {\rm B}\Gamma. Αν \Gamma {\rm E} \bot \Delta {\rm M}\,({\rm E} \in \Delta {\rm M}), να δείξετε ότι {\rm A}{\rm E} = \Gamma {\rm E}\sqrt 5.


Τετράγωνο_005.png
Τετράγωνο_005.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 11887 φορές


Τα τρίγωνα : \Gamma \Delta {\rm M}\,\,,\,\,{\rm E}\Delta \Gamma \,\,,\,\,{\rm E}\Gamma {\rm M} είναι ως γνωστό όμοια .

Επειδή \displaystyle\frac{{\Delta \Gamma }}{{\Gamma {\rm M}}} = 2 , αν \Delta \Gamma  = 4\alpha \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\Gamma {\rm E} = 2\beta και {\rm A}{\rm E} = x , θα είναι:

{\rm M}\Gamma  = 2\alpha \,\,,\,\,\Delta {\rm E} = 4\beta \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm E}{\rm M} = \beta . Ας πούμε {\rm K} το σημείο τομής της

{\rm A}{\rm E}\,\,\mu \varepsilon \,\,{\rm B}\Gamma , από την ομοιότητα των τριγώνων {\rm A}{\rm E}\Delta \,\,,\,\,{\rm K}{\rm E}{\rm M} θα έχουμε :

\displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm K}{\rm M}}} = \displaystyle\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm E}{\rm M}}} = 4 \Rightarrow \boxed{{\rm K}{\rm M} = \alpha } . Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο

{\rm B}{\rm K}{\rm A} , θα προκύψει : {\rm K}{{\rm A}^2} = {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm B}{{\rm K}^2} \Rightarrow {(x + \alpha )^2} = 16{\alpha ^2} + 9{\alpha ^2} .

Δηλαδή x + a = 5a \Rightarrow \boxed{x = 4\alpha }\,\,(1) .

Επειδή δε πάλι από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο {\rm E}{\rm M}\Gamma ισχύει :

{\rm M}{\Gamma ^2} = {\rm E}{{\rm M}^2} + {\rm E}{\Gamma ^2} \Rightarrow 4{\alpha ^2} = 5{\beta ^2} \Rightarrow \alpha  = \displaystyle\frac{{\beta \sqrt 5 }}{2} η (1) γίνεται :

x = 2\beta \sqrt 5  \Rightarrow \boxed{{\rm A}{\rm E} = \Gamma {\rm E}\sqrt 5 } .

(αργότερα και το αρχείο .ggb)

Φιλικά Νίκος
Συνημμένα
τετράγωνα_005.ggb
(10.28 KiB) Μεταφορτώθηκε 181 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Μάιος 30, 2013 2:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2013 2:30 pm

Ευχαριστώ το Νίκο και όλους τους φίλους που συμμετέχουν στη δημιουργία αυτής της συλλογής.
Άσκηση 006
sq006.jpg
sq006.jpg (13.85 KiB) Προβλήθηκε 11882 φορές
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και έστω {\rm M} το μέσο της {\rm B}\Gamma. Αν {\rm A}{\rm E} \bot \Delta {\rm M}\,({\rm E} \in \Delta {\rm M}), να δείξετε ότι \left( {\Gamma \Delta {\rm M}} \right) = \displaystyle\frac{{\Delta {\rm E} \cdot \Delta {\rm M}}}{2}.
Συνημμένα
sq006.ggb
(4.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 200 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4445
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2013 3:29 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Ευχαριστώ το Νίκο και όλους τους φίλους που συμμετέχουν στη δημιουργία αυτής της συλλογής.
Άσκηση 006
Το συνημμένο sq006.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και έστω {\rm M} το μέσο της {\rm B}\Gamma. Αν {\rm A}{\rm E} \bot \Delta {\rm M}\,({\rm E} \in \Delta {\rm M}), να δείξετε ότι \left( {\Gamma \Delta {\rm M}} \right) = \displaystyle\frac{{\Delta {\rm E} \cdot \Delta {\rm M}}}{2}.


Τετράγωνο_006_ok.png
Τετράγωνο_006_ok.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 11857 φορές

Ας πούμε {\rm Z} το σημείο τομής των {\rm A}{\rm E},\Delta \Gamma . Τα ορθογώνια τρίγωνα

\displaystyle{\Gamma \Delta {\rm M}\,\,\,,\,\,\Delta {\rm A}{\rm Z}} έχουν τις κάθετες πλευρές του \Delta \Gamma \,\,,\,\,\Delta {\rm A} ίσες και τις

προσκείμενες οξείες γωνίες \widehat \omega  = \widehat \phi γιατί έχουν κάθετες πλευρές , οπότε θα είναι

ίσα και ισεμβαδικά , θα έχουν δε και τα αντίστοιχα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα ,

Δηλαδή έχουμε :

(\Gamma \Delta {\rm M}) = ({\rm A}\Delta {\rm Z})\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\Delta {\rm M} = {\rm A}{\rm Z} . έτσι όμως θα ισχύει και

(\Gamma \Delta {\rm M}) = ({\rm A}\Delta {\rm Z}) = \displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm Z} \cdot \Delta {\rm E}}}{2} = \displaystyle\frac{{\Delta {\rm M} \cdot \Delta {\rm E}}}{2} .

Φιλικά Νίκος
Συνημμένα
τετράγωνα_006.ggb
(10.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 170 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Μάιος 30, 2013 3:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1019
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από gavrilos » Πέμ Μάιος 30, 2013 3:30 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Ευχαριστώ το Νίκο και όλους τους φίλους που συμμετέχουν στη δημιουργία αυτής της συλλογής.
Άσκηση 006Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και έστω {\rm M} το μέσο της {\rm B}\Gamma. Αν {\rm A}{\rm E} \bot \Delta {\rm M}\,({\rm E} \in \Delta {\rm M}), να δείξετε ότι \left( {\Gamma \Delta {\rm M}} \right) = \displaystyle\frac{{\Delta {\rm E} \cdot \Delta {\rm M}}}{2}.


Ισχύει πως \displaystyle{(\Gamma \Delta M)=\frac{\Gamma M \cdot 2\Gamma M}{2}={\Gamma M}^2}

Στο σχήμα του κυρίου Νάννου,τα τρίγωνα \displaystyle{\Gamma \Delta M \ , \ AE \Delta} είναι όμοια επειδή είναι ορθογώνια κι επειδή \displaystyle{\hat{A\Delta E}+\hat{\Gamma \Delta M}=90^{\circ} \Leftrightarrow \hat{A\Delta E}=\hat{\Gamma M\Delta}}.

Η \displaystyle{\Delta M} βρίσκουμε με Π.Θ. πως ισούται με \displaystyle{\frac{\Gamma \Delta \sqrt{5}}{2}=\Gamma M\sqrt{5}}.

Άρα ο λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων είναι ίσος με \displaystyle{\frac{\Gamma M\sqrt{5}}{2\Gamma M}=\frac{\sqrt{5}}{2}}.

Συνεπώς \displaystyle{\frac{\Gamma M}{\Delta E}=\sqrt{5}{2} \Leftrightarrow \Delta E=\frac{2\Gamma M}{\sqrt{5}}.

Άρα \displaystyle{\frac{\Delta E\cdot \Delta M}{2}=\frac{\Gamma M\sqrt{5}\cdot \frac{2\Gamma M}{\sqrt{5}}}{2}={\Gamma M}^2} όσο δηλαδή το εμβαδόν του τριγώνου μας.

**Βλέπω ότι με πρόλαβε ο κύριος Νίκος αλλά νομίζω πως έχουμε διαφορετική λύση.

Με εκτίμηση,
gavrilos


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1002
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μάιος 30, 2013 3:32 pm

\left ( \Delta M\Gamma  \right )= \dfrac{\Delta \Gamma \Gamma M}{2}
\textrm{AE}\cap \Delta \Gamma =\textrm{Z}.Το \textrm{ZEM}\Gamma είναι εγγράψιμο οπότε \Delta E\cdot \Delta M=\Delta Z\cdot \Delta \Gamma.Αλλά τα τρίγωνα
\textrm{A}\Delta Z ,\Delta \Gamma M είναι ίσα αφού \textrm{A}\Delta =\Delta \Gamma ,\angle M\Delta \Gamma =\angle \Delta AZ (οξείες με κάθετες πλευρές) κι έτσι \Delta Z =M \Gamma.Άρα \left ( \Delta M\Gamma  \right )=\dfrac{\Delta E\Delta M}{2}

Όταν δημοσίευα τη λύση αυτή ,,δεν είχα δει ότι ο Νίκος είχε δημοσιεύσει ακριβώς την ίδια πριν 3΄.
Συνημμένα
sq006.ggb
(5.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 178 φορές
sq006.png
sq006.png (7.34 KiB) Προβλήθηκε 11854 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Πέμ Μάιος 30, 2013 4:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2013 4:02 pm

Άσκηση 007
sq007.jpg
sq007.jpg (17.96 KiB) Προβλήθηκε 11837 φορές
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και εξωτερικό του σημείο {\rm E}, τέτοιο ώστε \Gamma {\rm E} \bot \Delta {\rm E}. Αν \Gamma {\rm E} = x,\,\Delta {\rm E} = y, να δείξετε ότι:

1) {\rm E}{\rm A} = \sqrt {{{(x + y)}^2} + {y^2}}.

2) {\rm E}{\rm B} = \sqrt {{{(x + y)}^2} + {x^2}}.
Συνημμένα
sq007.ggb
(4.75 KiB) Μεταφορτώθηκε 206 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από PanosG » Πέμ Μάιος 30, 2013 4:32 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 007
sq007.jpg
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και εξωτερικό του σημείο {\rm E}, τέτοιο ώστε \Gamma {\rm E} \bot \Delta {\rm E}. Αν \Gamma {\rm E} = x,\,\Delta {\rm E} = y, να δείξετε ότι:

1) {\rm E}{\rm A} = \sqrt {{{(x + y)}^2} + {y^2}}.

2) {\rm E}{\rm B} = \sqrt {{{(x + y)}^2} + {x^2}}.


1) Απο Πυθαγόρειο στο τρίγωνο \displaystyle{E\Delta \Gamma} έχουμε ότι \displaystyle{\Gamma \Delta =\sqrt{x^2 +y^2}}
Έστω \displaystyle{\omega=\angle E \Delta \Gamma}
τότε \displaystyle{\eta \mu \omega=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}.Οπότε \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \angle E \Delta A=\sigma \upsilon \nu (90+ \omega)=-\eta \mu \omega}

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο \displaystyle{E \Delta A} έχουμε
\displaystyle{EA^2=E\Delta^2+A\Delta^2-2E\Delta\cdot A\Delta \sigma \upsilon \nu \angle E \Delta A}=}

\displaystyle{=y^2 +x^2+y^2-2y\sqrt{x^2+y^2}\cdot \frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}} \Leftrightarrow

\displaystyle{EA=\sqrt{(x+y)^2+y^2}}


2) Όμοια έστω \displaystyle{\theta=\angle E  \Gamma \Delta}
τότε \displaystyle{\eta \mu \theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}.Οπότε \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \angle E \Gamma B=\sigma \upsilon \nu (90+ \theta)=-\eta \mu \theta}

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο \displaystyle{E \Gamma B} έχουμε
\displaystyle{EB^2=E\Gamma^2+B\Gamma^2-2E\Gamma\cdot B\Gamma \sigma \upsilon \nu \angle E \Gamma B}=}

\displaystyle{=x^2 +x^2+y^2-2x\sqrt{x^2+y^2}\cdot \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \Leftrightarrow

\displaystyle{EB=\sqrt{(x+y)^2+x^2}}


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 30, 2013 5:06 pm

Άσκηση 008
sq008.jpg
sq008.jpg (13.69 KiB) Προβλήθηκε 11754 φορές
Δίνεται τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και έστω {\rm M} το μέσο της {\rm B}\Gamma. Αν {\rm A}{\rm E} \bot \Delta {\rm M}\,({\rm E} \in \Delta {\rm M}), να δείξετε ότι {\rm A}{\rm B} = {\rm B}{\rm E}.
Συνημμένα
sq008.ggb
(4.28 KiB) Μεταφορτώθηκε 215 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
ctheofi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Τετ Ιουν 02, 2010 7:46 pm

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από ctheofi » Πέμ Μάιος 30, 2013 6:02 pm

Άσκηση 009

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό σημείο Ε, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΕΑΒ να είναι ισοσκελές, με τις ίσες γωνίες του ΕΑΒ και ΕΒΑ να ισούνται προς 15 μοίρες.

Να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισόπλευρο.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1909
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από xr.tsif » Πέμ Μάιος 30, 2013 6:38 pm

Προεκτείνουμε την ΑΕ που τέμνει την ΓΔ στο σημείο Ζ.Τα τρίγωνα A\Delta Z,\Delta \Gamma M,AMB είναι ίσα.
'Αρα οι γωνίες B \hat{A}E=\Delta \hat{Z}A=\omega και \Delta  \hat{A}Z=\Gamma  \hat{\Delta }M= \varphi
Το τετράπλευρο ABME είναι εγγράψιμο άρα A  \hat{E}B=A\hat{M}B= \omega
Συνημμένα
sq008 ΛΥΣΗ.ggb
(6.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 231 φορές


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης