Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

#1

1973 ΕΜΠ)Αν r_1,r_2,r_3

είναι οι λύσεις της εξίσωσης x^3+ax^2+bx+c=0

με $a\ne 0$ τότε δείξτε ότι ισχύει η ισοδυναμία $r_1^3+r_2^3+r_3^3=-3c\Leftrightarrow r_1^2+r_2^2+r_3^2=b$ : Αν επιπλέον ισχύει μία από τις προηγούμενες και a+b+c=-1

τότε να υπολογίσετε τις r_1,r_2,r_3

1970 ΕΜΠ)Να βρεθεί ο νιοστός όρος της ακολουθίας : $a_n a_{n+2}=a_{n+1}^2+8 , a_1=1, a_2=3$ Μπορείτε προαιρετικά να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση $a_n=kx^{n}+my^{n}$
Ακόμη δείξτε ότι a_n+(-1)^n

είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

1970 EMΠ) Δίνεται κανονικό νίγωνο εγγεγραμμένο σε κὐκλο ακτίνας 1. Με την βοήθεια των ιδιοτήτων των μιγαδικών αριθμών να υπολογιστεί το γινόμενο των αποστάσεων μιας κορυφής του από τις υπόλοιπες ν-1 κορυφές

1972 ΕΜΠ) Για την συνάρτηση $f(x)=ln\frac{e^x-1}{x}$ ισχύει 0<f(x)<x

Να μελετηθεί η μονοτονία της ακολουθίας που ορίζεται ως $a_{n+1}=f(a_n) , a_1>0$ και να βρεθεί το όριο της (Είχε και κάτι άλλο η εκφώνηση αλλά δεν το θυμάμαι)

1973 ΕΜΠ) Έστω $f:R\rightarrow R : f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in R$
Να δείξετε ότι

περιττή
Να δείξετε ότι $f(rx)=rf(x) , \forall r \in Q$
Αν το $f(a) \in Z$ για κάποιον ακέραιο $a\ne 0$ τότε να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο

το $f(b) \in Z$

1973 ΕΜΠ) Να δείξετε ότι $|sin(nx)|\le n|sinx| \forall n\in N$

1973 EMΠ) Αν Κ,Λ τα μέσα των υψών ΓΕ και ΒΔ τριγώνου ΑΒΓ και Μ το μέσον της ΒΓ να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΕΜ και ΑΒΓ είναι όμοια

1972 ΕΜΠ) Έστω τρίγωνο ΑΒΓκαι 3 παράλληλες ημιευθείες Αχ,Βψ,Γζ προς την ίδια μεριά του επιπέδου ΑΒΓ. Τρία σημεία Α΄,Β΄,Γ΄κινούνται αντίστοιχα στις Αχ,Βψ,Γζ ώστε (ΑΑ΄)+(ΒΒ΄)+(ΓΓ΄)=α σταθερό. Αν Ρ ενα σταθερό σημείο του χώρου να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της προβολής Μ του Ρ στο επίπεδο Α΄Β΄Γ΄

1972 ΕΜΠ) Σε κάθε τρίγωνο να δειχθεί ότι $\frac{4}{3} (\delta_a^2+\delta_b^2+\delta_c^2) \le a^2+b^2+c^2$

Ελπίζω ότι δεν έχω κάνει λάθη σε κάποια εκφώνηση, αυτά προς το παρόν θυμήθηκα μετά απο 36 περίπου χρόνια!

#2

R BORIS έγραψε:1973 ΕΜΠ)Αν είναι οι λύσεις της εξίσωσης με $a\ne 0$ τότε δείξτε ότι ισχύει η ισοδυναμία $r_1^3+r_2^3+r_3^3=-3c\Leftrightarrow r_1^2+r_2^2+r_3^2=b$ : Αν επιπλέον ισχύει μία από τις προηγούμενες και τότε να υπολογίσετε τις

Ωραία θέματα!

Μία λύση της πρώτης άσκηση: Από Vieta και την ταυτότητα

r_1^3+r_2^3+r_3^3=
(r_1^2+r_2^2+r_3^2)(r_1 + r_2 + r_3) - (r_1r_2 +r_2r_3 + r_3r_1)(r_1 +r_2 +r_3) +3r_1r_2r_3 = -a(r_1^2+r_2^2+r_3^2) +ab - 3c

:

Τα υπόλοιπα απλά.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

R BORIS έγραψε:
1973 ΕΜΠ) Να δείξετε ότι $|sin(nx)|\le n|sinx| \forall n\in N$

Με επαγωγή. Το επαγωγικό βήμα είναι

$|sin((n+1)x)| = |sin(nx)cosx + cos(nx)sinx| \le |sin(nx)||cosx |+ |cos(nx)||sinx| \le |sin(nx)|+|sinx| \le n|sinx|+|sinx| = (n+1)|sinx|.$

Μ.

rastaffari · #4

ΕΜΠ (1973)
Έστω r_1,r_2,r_3

οι ρίζες της εξίσωσης τότε
x^3+ax^2+bx+c=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)=x^3-(r_1+r_2+r_3)x^2+(r_1r_2+r_2r_2+r_3r_1)x-r_1r_2r_3

άρα

κτλ...
ακόμα r_i^3+ar_i^2+br_i+c=0

άρα

(1)
αλλά

άρα

'αρα

'εαν

τότε από την (1) έχουμε a(a^2-2b)-ab)=0

δηλαδή

οπότε

#5

R BORIS έγραψε:
1970 EMΠ) Δίνεται κανονικό νίγωνο εγγεγραμμένο σε κὐκλο ακτίνας 1. Με την βοήθεια των ιδιοτήτων των μιγαδικών αριθμών να υπολογιστεί το γινόμενο των αποστάσεων μιας κορυφής του από τις υπόλοιπες ν-1 κορυφές

Πάρα πολυ ενδιαφέρον. Απάντηση: ν

Η ιδιότητα είναι ειδική περίπτωση ενός κομψού θεωρήματος του De Moivre, το οποίο βάζω ως άσκηση σε όσους δεν το γνωρίζουν:

Αν A_1A_2...A_n

κανονικό n-γωνο σε κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας R, αν Ρ σημείο στο εσωτερικό ή στην περιφέρεια του κύκλου το οποίο απέχει απόσταση x από το κέντρο και αν γωνία PKA_1

= θ, τότε

$PA_1.PA_2...PA_n = \sqrt{x^{2n}-2x^nR^ncos(n\theta) + R^{2n}}$

Ειδικά, αν το Ρ είναι στην ακτίνα KA_1 τότε

PA_1.PA_2...PA_n = |x^n-R^n|

Πώς συνδέεται το τελευταίο με το θέμα στις εισαγωγικές ΕΜΠ 1970;

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#6

R BORIS έγραψε:
1973 ΕΜΠ) Έστω $f:R\rightarrow R : f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in R$
Να δείξετε ότι περιττή
Να δείξετε ότι $f(rx)=rf(x) , \forall r \in Q$
Αν το $f(a) \in Z$ για κάποιον ακέραιο $a\ne 0$ τότε να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο το $f(b) \in Z$

R BORIS έγραψε:
Είναι ωραία κλασική άσκηση (συναρτησιακή εξίσωση Cauchy). Όποιος δεν την γνωρίζει, καλό είναι να την δει.

Προσοχή μόνο στο τελευταίο ερώτημα, το οποίο δεν ισχύει (π.χ. f(x) = x/2 με a= 2).

Ένα σχόλιο: Από τα παραπάνω αποδεικνύεται ότι αν, επιπλέον, f συνεχής τότε η ιδιότητα ισχύει και για όλα τα r στο R.
Αυτό που δεν είναι ευρέως γνωστό, είναι ότι υπάρχουν ασυνεχείς
$f:R\rightarrow R : f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in R$

Μπορείτε να κατασκευάσετε μία ασυνεχή τέτοια;
(Υπόδειξη: Απαιτούνται ανώτερα μαθηματικά. Αν δεν το έχετε ξαναδεί, ευκαιρία να φρεσκάρετε τα περί Λήμματος Zorn).

Φιλικά,

Μιχάλης.

#7

R BORIS έγραψε:
1972 ΕΜΠ) Σε κάθε τρίγωνο να δειχθεί ότι $\frac{4}{3} \delta_a^2+\delta_b^2+\delta_c^2 \le a^2+b^2+c^2$

Υποθέτω ότι τα $\delta_a, \delta_b, \delta_c$ είναι οι διχοτόμοι. Επίσης υποθέτω ότι έχουμε τυπογραφική αβλεψία με τις παρενθέσεις, και το σωστό είναι $\frac{4}{3}( \delta_a^2+\delta_b^2+\delta_c^2) \le a^2+b^2+c^2$ . (Αλλιώς δεν ισχύει στο ισόπλευρο).

Απόδειξη: Για τις διαμέσους ισχύει $\frac{4}{3}( \mu_a^2+\mu_b^2+\mu_c^2) = a^2+b^2+c^2$ , οπότε αρκεί να δείξουμε ότι $\mu_a \ge \delta_a$ και όμοια για τις άλλες δύο.
Έστω ότι το ύψος και η διχοτόμος από το Α τέμνουν την ΒΓ στα Δ και Ε, αντίστοιχα, και έστω Μ το μέσον της ΒΓ. Αν η διχοτόμος τέμνει το τόξο ΒΓ στο Ν (και άρα Ν το μέσο του) τότε η ΜΝ είναι (μεσο)κάθετος στην ΒΓ. Αλλά και η ΑΔ είναι κάθετος. Συνεπώς οι κάθετες αυτές είναι εκατέρωθεν της ΑΝ. Συμπεραίνουμε ότι το Ε είναι μεταξύ των Δ και Μ, δηλαδή ΔΕ $\le$ ΔΜ. Προφανώς λοιπόν ΑΕ $\le$ ΑΜ, όπως θέλαμε.

Σχόλιο: Κοίταξα στον Bottema, Geometric Inequalities, και δεν έχει την εν λόγω ανίσωση. Ενδιαφέρον! Έχει όμως χωρίς απόδειξη αλλά με παραπομπή στην βιβλιογραφία, την ισχυρότερη
$\frac{16}{9}( \delta_a^4+\delta_b^4+\delta_c^4) \le a^4+b^4+c^4$ .

Επίσης έχει και άλλες ενδιαφέρουσες σχετικές ανισώσεις, όπως
$\delta_a^2+\delta_b^2+\delta_c^2 \ge 3E\sqrt{3}$ (E το εμβαδόν),

$\tau < \delta_a + \delta_b + \delta_c \le \sqrt{\tau}(\sqrt{\tau-a }+\sqrt{\tau -b}+\sqrt{\tau-c }) \le \tau \sqrt{3}$ (τ η ημιπερίμετρος)

και πολλές άλλες εξαιρετικά δύσκολες.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#8

R BORIS έγραψε: 1972 ΕΜΠ) Έστω τρίγωνο ΑΒΓκαι 3 παράλληλες ημιευθείες Αχ,Βψ,Γζ προς την ίδια μεριά του επιπέδου ΑΒΓ. Τρία σημεία Α΄,Β΄,Γ΄κινούνται αντίστοιχα στις Αχ,Βψ,Γζ ώστε (ΑΑ΄)+(ΒΒ΄)+(ΓΓ΄)=α σταθερό. Αν Ρ ενα σταθερό σημείο του χώρου να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της προβολής Μ του Ρ στο επίπεδο Α΄Β΄Γ΄

Χμμμ, δυστυχώς δεν μπορώ με το ποντίκι να σχεδιάσω προοπτικά το σχήμα, οπότε θα αρκεστώ σε σύντομη περιγραφή της απόδειξης.

Θα χρειαστούμε την ιδιότητα του κέντρου βάρους G του ΑΒΓ, ότι δηλαδή χωρίζει την διάμεσο σε λόγο 2:1. Από το G φέρουμε παράλληλη προς τις τρεις παράλληλες Αχ, Βψ, Γζ. Εύκολα βλέπουμε ότι η τελευταία διέρχεται από το κέντρο βάρους Η του μεταβλητού τριγώνου Α΄, Β΄, Γ΄. Επίσης εύκολα βλέπουμε ότι GΗ = α/3 (για την απόδειξη χρησιμοποιούμε κάτι τραπέζια στο σχήμα, με βάσεις ΑΑ' , ΒΒ', ΓΓ' . (Άλλος τρόπος: με διανύσματα ή με Αναλυτική Γεωμετρία, δεδομένου ότι ξέρουμε τις συντεταγμένες του G συναρτήσει των κορυφών). Άρα το Η είναι σταθερό στον χώρο, όπως και το Ρ. Δηλαδή το ΡΗ είναι σταθερό θέσει και μεγέθει (όπως λέγαμε τα παλιά χρόνια...) .
Τώρα, η ΡΜ είναι εξ υποθέσεως κάθετη στο επίπεδο Α΄Β΄Γ΄, οπότε ΡΜ κάθετη στην ευθεία ΗΜ αυτού του επιπέδου. Δηλαδή η γωνία ΗΜΡ είναι ορθή.
Συμπέρασμα: το Μ είναι στη σφαίρα με διάμετρο ΗΡ.
Αντίστροφα ... απλό.

Ουφ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#9

Να δώσω κι' εγώ μια λύση για την ακολουθία του 1970 που αν θυμάμαι καλά την είχε βάλει ο Δασκαλόπουλος
(παρουσιάζει ενδιαφέρον το γεγονός ότι η a_n

ικανοποιεί και άλλες μορφές αναδρομικών τύπων που συχνά συμβαίνει σε τέτοια θέματα)

Α τρόπος

Αν κάνουμε την αντικατάσταση που προτείνεται θα καταλήξουμε στις σχέσεις
$kx+my=1,kx^2+my^2=3,km(x-y)^2(xy)^n=8,\forall n\in N$
Η τελευταία διασπάται στις xy=1,km(x-y)^2=8

Από το σύστμα που προκύπτει βρίσκουμε τα k,m,x,y

και έτσι
$a_n=\frac{1}{2}[(3+2\sqrt{2})^{n-1}+(3-2\sqrt{2})^{n-1}]$
Για το β) ερώτημα θέτουμε s_n=a_n+(-1)^n

και χωρίζουμε σε άρτιους-περιττούς προκειμένου να κάνουμε επαγωγή θέλοντας να δείξουμε ότι $s_n=\sqrt{2}\lambda _n,\lambda _n \in N$
Από την τότε γνωστή θεωρία στο τριώνυμο ξέραμε ότι αν x,y

ρίζες του τριωνύμου $(t-x)(t-y)=t^2-2\sqrt{2}t+1$ τότε $x^{n+1}-2\sqrt{2}x^n+x^{n-1}=0$ και όμοια για το

οπότε εφαρμόζοντας αυτή την σχέση για τους 2n+1,2n,2n-1

και μετά για τους 2n+2,2n+1,2n

καταλήγαμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα

Β τρόπος

Είναι πολύ πιο χρήσιμος για το β) ερώτημα
Μπορούμε να αποδείξουμε έιτε επαγωγικά είτε έχοντας βρει τον νιοστό όρο ως συνάρτηση του

όπως και στον Α) τρόπο ότι $a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0,a_1=1,a_2=3$
Θέτουμε b_n^2=a_n+(-1)^n

και αποδεικνύουμε ότι $b_{n+2}-2b_{n+1}-b_n=0,b_1=0,b_2=2$
Τότε είναι προφανές επαγωγικά ότι $b_n\in N$ που είναι το ζητούμενο (στην απόδειξή μας θα ξαναχρησιμοποιήσουμε την αρχική σχέση της εκφώνησης αφού υψώσουμε την ζητούμενη δυο φορές στο τετράγωνο ώστε να φύγουν τα ριζικά)

Γ Τρόπος

Με αυτόν τον τρόπο αχρηστεύεται η υπόδειξη για την εύρεση του νιοστού όρου γιατί θα καταλήξουμε σε μια ομογραφική αναδρομική σχέση που η εύρεση του νιοστού όρου ήταν τότε γνωστή στο λύκειο (δυστυχώς λόγω φροντιστηρίων)
Έχουμε $a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2$ οπότε θέτοντας $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ καταλήγουμε στην $b_{n+1}=6-\frac{1}{b_n},b_1=3$
Μετά τις πράξεις έβγαινε $b_n=\frac{x^n-y^n}{x^{n-1}-y^{n-1}}$ και λόγω τηλεσκοπικής ιδιότητας υπολογιζόταν το a_n

#10

Γράφω μια απόδειξη για το Θεώρημα του De Moivre,που προτάθηκε απο το Μιχάλη Λάμπρου.
Έστω η εξίσωση z^n=a

.Χωρίς βλάβη της γενικότητας,θεωρώ πως το Α0 είναι σημείο του χ'χ(άξονάς των πραγματικών).
Τότε το θ είναι ένα όρισμα του μιγαδικού w με εικόνα το Ρ.Eίναι |a|= R^n

(1),αφού η ακτίνα R του κύκλου είναι η νιοστή ρίζα του μέτρου του a.Αρα w=x(συνθ+iημθ).
H εξίσωση z^n=a

,έχει n λύσεις,με αντίστοιχες εικόνες Α0,Α1...Αn-1 στο μιγαδικό επίπεδο.Αν z0,z1,z2...zn-1
αυτές έχουμε: z^n-a

=(z-z0)(z-z1)(z-z2)...(z-zn-1).Παίρνοντας μέτρα έχουμε:
| z^n-a

|=|z-z0||z-z1||z-z2|.....|z-zn-1| (2).
Βάζοντας όπου z=w και a την (1),προκύπτει: ΡΑ1ΡΑ2....ΡΑn-1=| w^n

-

|.
Yπολογίζοντας το μέτρο του μιγαδικού στο δεύτερο μέλος προκύπτει το ζητούμενο.
Τώρα αν το Ρ ανήκει στην ακτίνα ΚΑ1 προφανώς θ=0 και απ' τον τύπο προκύπτει σχετικά εύκολα το ζητούμενο.
Η άσκηση συνδέεται με το θέμα του 1970,αν λάβουμε υπ'όψη μας πως το Ρ τώρα είναι μια απο τις ρίζες της εξίσωσης
z^n=1

,αρα αυτο μας οδηγει στο: θ=0 και R=1.Με το ίδιο σκεπτικό,απλοποιώντας την ΡAi που μας δημιουργεί ''πρόβλημα'',πάλι προκύπτει ισότητα και θέτοντας όπου z=1 προκύπτει το ζητούμενο.
Καλημέρα!
Y.Γ.Eίχα κάνει ανάποδες επιλογές και η αρχική μορφή της,ήταν λανθασμένη.Τώρα νομίζω πως είναι εντάξει.
Απόδειξη πως δεν ήταν κατασκευασμένη η απάντηση....

#11

Επειδή εκείνο τον καιρό που δίναμε εισαγωγικές ο τρόπος αντιμετώπισης των αναδρομικών ακολουθιών φαινόταν σαν ένα σύνολο τεχνασμάτων και δεν ήταν συστηματικός (παρά την προσπάθεια ορισμένων φροντιστηρίων κυρίως) το θέμα του 1972 μου έδωσε την αφορμή να γράψω το αρθράκι, πολύ αργότερα από τότε, και που το παρουσιάζω στο συνημμένο. Εκεί το θέμα του 1972 είναι η 2η εφαρμογή σελίδα 23-24 γενικευμένο χωρίς βοηθητικό ερώτημα.

Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στο ΕΜΠ

Μέλη σε σύνδεση