Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Ορέστης Λιγνός · #61

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 05, 2018 8:20 pm
18η Άσκηση.
Σε μια ευθεία ορίζουμε δύο σημεία και .
Στη συνέχει επιλέγουμε τυχαία στην ευθεία 9 σημεία που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα .
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των εννέα σημείων από το , δεν είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεών τους από το .

Αν γενικεύσετε το ερώτημα με , τι τιμές παίρνει ο φυσικός ώστε να ισχύει το ζητούμενο;

Καλησπέρα κύριε Ανδρέα.

Θα εργαστούμε κατευθείαν για την γενική περίπτωση.

Θα βρούμε για ποιες τιμές του

μπορεί να είναι S_A=S_B

(όπου

τα αθροίσματα των αποστάσεων των

σημείων από τα A,B

).

Ονομάζουμε $P_1,P_2, \ldots, P_n$ τα σημεία.

Έστω πως

σημεία (έστω τα $P_1,P_2, \ldots, P_a$ ) βρίσκονται αριστερά του

, και τα υπόλοιπα n-a

(έστω τα $P_{a+1}, \ldots, P_n$ ) δεξιά του

.

Είναι $\displaystyle S_A=\sum_{i=1}^{n} AP_i=\sum_{j=1}^{a}AP_j+\sum_{k=a+1}^{n} AP_k$ .

Όμοια $\displaystyle S_B=\sum_{i=1}^{n} BP_i=\sum_{j=1}^{a}BP_j+\sum_{k=a+1}^{n} BP_k$ .

Είναι S_A=S_B

, άρα $\displaystyle S_A-S_B=0 \Rightarrow \sum_{j=1}^{a}(AP_j-BP_j)+\sum_{k=a+1}^{n}(AP_k-BP_k)=0$ (1).

Παρατηρούμε ότι για κάθε σημείο αριστερά του

ισχύει

, ενώ για κάθε σημείο δεξιά του

ισχύει

.

Έτσι η (1) γίνεται $-ABa+AB(n-a)=0 \Rightarrow n=2a=\textnormal{\gr άρτιος}$ .

Έτσι, το ζητούμενο ισχύει (δηλαδή να μην γίνεται το άθροισμα των αποστάσεων να είναι το ίδιο) όταν $\boxed{n=2k+1}$ .

Η αρχική περίπτωση για n=9

γίνεται προφανής αφού

περιττός.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #62

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 05, 2018 8:20 pm
18η Άσκηση.
Σε μια ευθεία ορίζουμε δύο σημεία και .
Στη συνέχει επιλέγουμε τυχαία στην ευθεία 9 σημεία που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα .
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των εννέα σημείων από το , δεν είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεών τους από το .

Αν γενικεύσετε το ερώτημα με , τι τιμές παίρνει ο φυσικός ώστε να ισχύει το ζητούμενο;

Μετά την λύση του Ορέστη θα δώσω την ίδια λύση με άλλη ορολογία ίσως εκτός φακέλλου.

Θεωρούμε τα σημεία πάνω στον άξονα των πραγματικών.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A\equiv 0,B\equiv 1$

Εστω $a_{1}<a_{2}<....<a_{n}$ τα σημεία με $a_{i}\notin [0,1],i=1,2,...n$

Θεωρούμε την συνάρτηση

$f(x)=\left | x-a_{1} \right |+\left | x-a_{2} \right |+...+\left | x-a_{n} \right |$

Για να συμβεί αυτό που θέλουμε πρέπει και αρκεί f(0)=f(1)

Η συνάρτηση στα διαστήματα που ορίζουν τα $a_{i},0,1$

είναι της μορφής Dx+K

Αν ισχύει η f(0)=f(1)

τότε στο διάστημα [0,1]

πρέπει να είναι σταθερή.

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εξαφανιστούν τα

.

Αυτό μπορεί να συμβεί αν το

είναι άρτιος.

Αρα αν το

είναι περιττός δεν μπορεί να συμβεί.

Οταν ο

είναι άρτιος γίνεται αν και μόνο αν τα μισά είναι αρνητικά και τα μισά μεγαλύτερα του

Ανδρέας Πούλος · #63

Μπράβο Ορέστη για τη λύση και για τη μόνιμη συνεισφορά σου.
Σταύρο σε ευχαριστούμε για την "άλλη ματιά".
Αν καταφέρουμε να συγκεντρώσουμε γύρω στα 100 θέματα με πολλαπλές λύσεις
και γενικεύσεις όπως σχεδιάσε ο Μιχάλης Λάμπρου
θα είναι δυνατόν να εκδοθεί σε ένα μικρό βιβλίο με κόστος 2-3 ευρώ.
Να είναι προσιτό σε όλους και να μην χρειάζεται ούτε καν να φωτοτυπηθεί.
Προχωράμε, στείλτε προβλήματα σε αυτό το πνεύμα και οι καλοί λύτες είναι εδώ.

Ανδρέας Πούλος · #64

Το θέμα που προτείνουμε βασίζεται σε γνωστό θεώρημα.
Το σχήμα το έχω πάρει από σχετική ιστοσελίδα.

ΑΣΚΗΣΗ 19η:
Στο σχήμα δίνεται ένα σημείο και μια κλειστή γραμμή.
Να βρεθεί μια τακτική που να προσδιορίζει αν το σημείο βρίσκεται μέσα ή έξω από την κλειστή γραμμή.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #65

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 10, 2018 10:32 am
ΑΣΚΗΣΗ 19η:
Στο σχήμα δίνεται ένα σημείο και μια κλειστή γραμμή.
Να βρεθεί μια τακτική που να προσδιορίζει αν το σημείο βρίσκεται μέσα ή έξω από την κλειστή γραμμή.

Αφού η γραμμή είναι κλειστή, ξεκινάμε από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από το σχήμα και το ενώνουμε με μια ευθεία με το ζητούμενο σημείο. Κάθε φορά που διασταυρώνουμε την κλειστή γραμμή αλλάζουμε την κατάσταση: μέσα, έξω, μέσα, ... εναλλάξ.

Για συντομία ξεκινάμε έξω από το αριστερό τμήμα του σχήματος. Για να φτάσουμε στο ζητούμενο σημείο έχουμε 3 διασταυρώσεις, περιττός αριθμός, άρα το σημείο είναι μέσα από την κλειστή γραμμή.

#66

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 11, 2018 10:09 pm
Για συντομία ξεκινάμε έξω από το αριστερό τμήμα του σχήματος. Για να φτάσουμε στο ζητούμενο σημείο έχουμε 3 διασταυρώσεις, περιττός αριθμός, άρα το σημείο είναι μέσα από την κλειστή γραμμή.

Ωραιότατα.

Ας προσθέσω ότι έχουμε

διασταυρώσεις αν πάρουμε τον πιο σύντομο/σβέλτο δρόμο. Άλλη κατεύθυνση δίνει $5, \, 7, \, 9, \,11$ διασταυρώσεις, πάντως περιττό πλήθος.

Ας επισημάνω οτι η άσκηση είναι απλή ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Jordan της Τοπολογίας για "απλές κλειστές καμπύλες", το οποίο είναι δύσκολο θεώρημα. Βλέπε λίγα σχόλια εδώ.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #67

Άσκηση 20η

Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του

με το

;

: 14-15-puzzle.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 2573 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #68

Επαναφορά για όλους!

Ανδρέας Πούλος · #69

Παρ΄ ότι δεν λύθηκε η ΑΣΚΗΣΗ 19 του Διονύση, (με την ευκαιρία, Διονύση, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018),
προτείνω για επίλυση το επόμενο θέμα:

ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Κάθε έναν από τους αριθμούς του συνόλου { {1, 2, 3, ..., n}

} , όπου

περιττός φυσικός,
τους ονομάζω με τυχαίο τρόπο ως x{1}, x{2}, x{3}, ..., x{n}

.
Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο $\left (x{1}-1 \right)\left (x{2}-2 \right)\left ( x{3}-3 \right)...\left (x{n}-n)$
είναι αριθμός άρτιος.

Ορέστης Λιγνός · #70

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 26, 2018 9:12 pm
Παρ΄ ότι δεν λύθηκε η ΑΣΚΗΣΗ 19 του Διονύση, (με την ευκαιρία, Διονύση, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018),
προτείνω για επίλυση το επόμενο θέμα:

ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Κάθε έναν από τους αριθμούς του συνόλου { } , όπου περιττός φυσικός,
τους ονομάζω με τυχαίο τρόπο ως .
Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο $\left (x{1}-1 \right)\left (x{2}-2 \right)\left ( x{3}-3 \right)...\left (x{n}-n)$
είναι αριθμός άρτιος.

Καλησπέρα κύριε Ανδρέα.

Έστω ότι το γινόμενο είναι περιττός αριθμός, οπότε όλοι του οι όροι είναι περιττός αριθμός.

Το άθροισμα των όρων του γινομένου είναι $x_1+x_2+ \ldots x_n-(1+2 + \ldots +n)=0$ (αφού οι $x_1,x_2, \ldots, x_n$ είναι αναδιάταξη των $1,2, \ldots , n$ ).

Το πλήθος αυτών των όρων είναι

, δηλαδή περιττός αριθμός.

Όμως, το άθροισμα περιττού πλήθος περιττών είναι περιττός $\neq 0$ , άτοπο.

Επομένως, το γινόμενο $(x_1-1)(x_2-1) \cdots (x_n-n)$ είναι άρτιος.

Friedoon · #71

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2018 10:48 pm
Άσκηση 20η

Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του με το ;

14-15-puzzle.png

Θεωρούμε

το σύνολο των ζευγών αριθμών του πίνακα (x_1,x_2)

,με

, τα οποία δεν είναι διατεταγμένα κατά αύξουσα σειρά στον πίνακα, δηλαδή για τα οποία το x_1

είναι τοποθετημένο πιο μετά από το x_2

.

Αρχικά το

έχει 1 στοιχείο,περιττός αριθμός.

Κάθε κατακόρυφη μετατόπιση κουτιού αλλάζει το πλήθος ζευγών στο

κατά 3.(για παράδειγμα αν στην πρώτη κίνηση κατεβάσουμε το 12 στο

θα προστεθούν τα (12,13)(12,14)(12,15)

)

Κάθε οριζόντια μετατόπιση κουτιού δεν επηρεάζει το

.

Επειδή θέλουμε το άσπρο κουτί να καταλήξει από εκεί που ξεκίνησε θα έχουμε άρτιο αριθμό κατακόρυφων μετατοπίσεων. Άρα το

θα έχει πάλι περιττό πλήθος στοιχείων και άρα δε γίνεται να έχει

όπως ζητείται.

Ανδρέας Πούλος · #72

Για την ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Αγαπητέ Ορέστη, (με την ευκαιρία, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018)
νομίζω ότι η προσέγγισή σου είναι απόλυτα συμβατή με το πνεύμα "μονά-ζυγά".
Όταν βρεις ευκαιρία δώσε και μια δεύτερη λύση - προφανώς απευθύνομαι και σε όλους τους νεαρούς λύτες.
Έχω υπόψη μου μια άλλη προσέγγιση, αλλά καλό είναι να δείξετε εσείς τις πολλές δυνατότητές σας.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #73

Friedoon έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 26, 2018 10:35 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2018 10:48 pm
Άσκηση 20η

Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του με το ;

14-15-puzzle.png
Θεωρούμε το σύνολο των ζευγών αριθμών του πίνακα ,με , τα οποία δεν είναι διατεταγμένα κατά αύξουσα σειρά στον πίνακα, δηλαδή για τα οποία το είναι τοποθετημένο πιο μετά από το .

Αρχικά το έχει 1 στοιχείο,περιττός αριθμός.

Κάθε κατακόρυφη μετατόπιση κουτιού αλλάζει το πλήθος ζευγών στο κατά 3.(για παράδειγμα αν στην πρώτη κίνηση κατεβάσουμε το 12 στο θα προστεθούν τα )

Κάθε οριζόντια μετατόπιση κουτιού δεν επηρεάζει το .

Επειδή θέλουμε το άσπρο κουτί να καταλήξει από εκεί που ξεκίνησε θα έχουμε άρτιο αριθμό κατακόρυφων μετατοπίσεων. Άρα το θα έχει πάλι περιττό πλήθος στοιχείων και άρα δε γίνεται να έχει όπως ζητείται.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #74

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 26, 2018 10:38 pm
Για την ΑΣΚΗΣΗ 20η:
Αγαπητέ Ορέστη, (με την ευκαιρία, καλή επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ 2018)
νομίζω ότι η προσέγγισή σου είναι απόλυτα συμβατή με το πνεύμα "μονά-ζυγά".
Όταν βρεις ευκαιρία δώσε και μια δεύτερη λύση - προφανώς απευθύνομαι και σε όλους τους νεαρούς λύτες.
Έχω υπόψη μου μια άλλη προσέγγιση, αλλά καλό είναι να δείξετε εσείς τις πολλές δυνατότητές σας.

Για να μην μπερδέψουμε την αρίθμηση... αυτή είναι η ΑΣΚΗΣΗ 21η

christodoulos703 · #75

Η Άσκηση 21 αποτελεί απλή εφαρμογή της αρχής της περιστεροφωλιας. Έχουμε n/2 παρενθέσεις (φωλιές) και n/2+1 περιττούς αριθμούς (περιστέρια). Μια διαφορετική προσέγγιση...

Ανδρέας Πούλος · #76

Διονύση, έχεις δίκιο.
Δεν πρόσεξα την αρίθμηση, αυτή είναι η ΑΣΚΗΣΗ 21.
Δεν ξέρω πώς να κάνω αλλαγή. Θα περιμένω από τα διευθύνοντα μέλη να κάνουν την αλλαγή, ή να μου γράψουν πώς θα την κάνω εγώ.

Ανδρέας Πούλος · #77

ΑΣΚΗΣΗ 22η:

Ένα σαλιγκάρι κινείται στο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα.
Κάθε 15 min κινείται κάθετα στην προηγούμενη τροχία κίνησής του.
Να αποδείξετε ότι αν το σαλιγκάρι επανέλθει στο σημείο από όπου ξεκίνησε,
τότε ο χρόνος κίνησής του σε ώρες είναι ακέραιος αριθμός.

christodoulos703 · #78

Το αποτέλεσμα της κίνησης είναι να σχηματίζονται διάφορα τετράγωνα (το πολύ 4) το οποίο μπορεί να φανεί με ένα καλό σχήμα και λίγη διερεύνηση... Αφού λοιπόν τα τετράγωνα έχουν 4 πλευρές τότε για την ολοκλήρωση του βηματισμού σε κάθε πλευρά απαιτώνται 15 min/πλευρ. Όταν φτάσει το σαλιγκάρι στο αρχικό σημείο θα έχει περιπατησει 4 πλευρές άρα θα χρειαστεί 60 λεπτά... Τελικά, αυτό θα επαναλαμβάνεται και η περίοδος της κίνησης είναι ακεραια πολ/σια των ωρών...

Ανδρέας Πούλος · #79

Νομίζω, χρειάζεται καλύτερη αιτιολόγηση-απόδειξη.
Για παράδειγμα, στη διαδρομή του σχήματος δεν σχηματίζονται τετραγωνάκια.

: σαλιγκαράκι.png (83.64 KiB) Προβλήθηκε 2258 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #80

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 06, 2018 2:59 pm
ΑΣΚΗΣΗ 22η:

Ένα σαλιγκάρι κινείται στο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα.
Κάθε 15 min κινείται κάθετα στην προηγούμενη τροχία κίνησής του.
Να αποδείξετε ότι αν το σαλιγκάρι επανέλθει στο σημείο από όπου ξεκίνησε,
τότε ο χρόνος κίνησής του σε ώρες είναι ακέραιος αριθμός.

Παρατηρούμε πως όσες φορές πάει πάνω τόσες θα πάει κάτω, αφού θα επιστρέψει στο σημείο που άρχισε. Το ίδιο ισχύει για δεξιά και αριστερά.

Θεωρούμε τις κινήσεις της πρώτης κατηγορίας ως οριζόντιες και της δεύτερης ως κάθετες.

Ο αριθμός των "τετάρτων", έστω

, θα είναι άρτιος, αφού τόσο οι οριζόντιες όσο και οι κατακόρυφες κινήσεις είναι άρτιες σε πλήθος, έστω

και

αντίστοιχα, άρα το άθροισμα τους είναι άρτιο, δηλαδή n=2k+2l

.

Παρατηρούμε ακόμη πως οι κινήσεις του σαλιγκαριού μεταβάλλονται από οριζόντιες σε κάθετες και το αντίθετο. Λόγω του ότι θα κάνει άρτιο αριθμό κινήσεων έχουμε πως το πλήθος των οριζοντίων κινήσεων είναι ίσο με αυτό των περιττών.

Με άλλα λόγια είναι n=2k+2l=2k+2k=4k

.

Άρα αφού θα κάνει αριθμό κινήσεων που είναι πολλαπλάσιο του

θα κινείται για ακέραιο αριθμό ωρών.

Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: 18η Άσκηση Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Άσκηση 19η: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

22η Άσκηση στα μονά-ζυγά

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση