Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Άσκηση 7. Δίνονται το πλήθος αριθμοί ο καθένας από τους οποίους είναι .
Αν , δείξτε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του .

Έστω το πλήθος των "δυάδων" της μορφής , αυτών της μορφής και αυτών της μορφής

Αφού οι πρώτες κατηγορίες δίνουν ενώ η τρίτη δίνει , προκύπτει ότι για να βγαίνει το άθροισμα πρέπει .

Έστω το πλήθος των που υπάρχουν στις σχέσεις. Θα είναι . Όμως για να βρούμε το πλήθος των διπλομετρούμε το πλήθος των που είναι . Άρα ισχύει ότι το πλήθος των είναι άρτιος αριθμός άρα προκύπτει πως το είναι άρτιος αριθμός, έστω .

Παρατηρούμε πως το πλήθος όλων των δυάδων είναι και ταυτόχρονα είναι ίσο με . Άρα . Όμως , άρα και το ζητούμενο έπεται.

[Ανδρέας Πούλος]

Με χαρά διαπιστώνω ότι η "συλλογή των μονά-ζυγά" αυξάνεται.
Η πρόταση του Μιχάλη έχει "πιάσει τόπο".
Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.
Δίνω το επόμενο πρόβλημα.
Επειδή είναι από γνωστό βιβλίο (και πιθανώς να την γνωρίζουν) θα παρακαλούσα τους Ορέστη και Διονύση να αργήσουν λίγο να απαντήσουν
για να δώσουν την ευκαιρία και σε άλλα παιδιά να σκεφτούν πάνω σε αυτό το θέμα.

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.

[sokpanvas]

Με χαρά διαπιστώνω ότι η "συλλογή των μονά-ζυγά" αυξάνεται.
Η πρόταση του Μιχάλη έχει "πιάσει τόπο".
Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.
Δίνω το επόμενο πρόβλημα.
Επειδή είναι από γνωστό βιβλίο (και πιθανώς να την γνωρίζουν) θα παρακαλούσα τους Ορέστη και Διονύση να αργήσουν λίγο να απαντήσουν
για να δώσουν την ευκαιρία και σε άλλα παιδιά να σκεφτούν πάνω σε αυτό το θέμα.

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.

[Mihalis_Lambrou]

Ωραία η λύση του Διονύση στην .

Η άσκηση αυτή είχε πέσει σε μία Ολυμπιάδα, δεν θυμάμαι που και πότε, και όλες οι λύσεις που έχω δει
είναι παραλλαγές αυτής του Διονύση: Έχουν δύο στάδια, δείxνοντας ότι το είναι άρτιος και μετά, με χρήση
του, ότι είναι πολλαπλάσιο του

Δίνω μια πιο απλή με ένα μικρό τέχνασμα.

Άσκηση 7. Δίνονται το πλήθος αριθμοί ο καθένας από τους οποίους είναι .
Αν , δείξτε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του .

.
Θέτουμε , οπότε το παίρνει τιμές ή . Η παράσταση που δίνεται γίνεται τώρα





, οπότε

[Mihalis_Lambrou]

Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.

Ανδρέα, αυτή ακριβώς είναι η ιδέα.

Γνωρίζω ότι η ελληνική βιβλιογραφία είναι πτωχή σε θέματα που είναι έξω από τα τυποποιημένα αλλά όχι τόσο δύσκολα
ώστε να λειτουργούν αποτρεπτικά στους μαθητές. Οπότε θα ήμουν ευτυχής αν κάποιος κάποτε μάζευε
το υλικό από το φόρουμ, το συστηματοποιούσε, και το έφτιαχνε ένα βιβλιαράκι για όφελος των μαθητών μας.

[Demetres]

Άσκηση 7. Δίνονται το πλήθος αριθμοί ο καθένας από τους οποίους είναι .
Αν , δείξτε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του .

Ας δούμε και μια διαφορετική λύση: Κάθε φορά που αλλάζω ένα αριθμό από σε η παράσταση παραμένει αναλλοίωτη modulo .

Αρχικά η παράσταση ισούται με . Όταν κάνω όλα τα ίσα με η παράσταση θα ισούται με . Άρα όπως ήθελα να δείξω.

[Mihalis_Lambrou]

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.

H άσκηση παραμένει ανοικτή αφού διαγράφτηκε η προηγούμενη προσπάθεια.

[Demetres]

Άσκηση 9

Δίνονται θετικοί ακέραιοι ώστε



Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους ακεραίους είναι άρτιος.

[sokpanvas]

Άσκηση 9

Δίνονται θετικοί ακέραιοι ώστε



Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους ακεραίους είναι άρτιος.

Υποθέτουμε ότι είναι όλοι περιττοί τότε η αριστερή πλευρά ειναι περιττός ενώ η δεξιά άρτιος αδύνατο.

[Mihalis_Lambrou]

Ας δώσω μία υπόδειξη.

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.

H άσκηση παραμένει ανοικτή αφού διαγράφτηκε η προηγούμενη προσπάθεια.

Έστω ότι υπήρχε ένας τέτοιος χωρισμός σε παραλληλόγραμμα.

Πάρτε μία πλευρά του κυρτού -γώνου (γενικά -γώνου). Δείξτε ότι θα είναι παράλληλη
σε κάποια άλλη του πλευρά.

[Ανδρέας Πούλος]

Για τους Ορέστη και Διονύση έληξε η ισχύς του "απαγορευτικού" για την άσκηση Νο 8.
(Υπάρχει μια οικειότητα με τα παιδιά αυτά λόγω του πενθήμερου της περσινής Βαλκανιάδας στη Βάρνα).
Δίνω μια νέα άσκηση την οποία δεν πρέπει να "αγγίζουν" αυτοί οι δύο, ούτε και ο sakpanvas, ο οποίος βλέπω ότι είναι δραστήριος λύτης.
Μετά από μια εβδομάδα αν δεν εμφανιστεί κάποιος μαθητής λύτης, τότε επιβάλλλεται να παρουσιάσετε τις λύσεις σας.

ΑΣΚΗΣΗ Νο 10.
Να λυθεί στους ακέραιους αριθμούς η εξίσωση ,

[harrisp]

Για τους Ορέστη και Διονύση έληξε η ισχύς του "απαγορευτικού" για την άσκηση Νο 8.
(Υπάρχει μια οικειότητα με τα παιδιά αυτά λόγω του πενθήμερου της περσινής Βαλκανιάδας στη Βάρνα).
Δίνω μια νέα άσκηση την οποία δεν πρέπει να "αγγίζουν" αυτοί οι δύο, ούτε και ο sakpanvas, ο οποίος βλέπω ότι είναι δραστήριος λύτης.
Μετά από μια εβδομάδα αν δεν εμφανιστεί κάποιος μαθητής λύτης, τότε επιβάλλλεται να παρουσιάσετε τις λύσεις σας.

ΑΣΚΗΣΗ Νο 10.
Να λυθεί στους ακέραιους αριθμούς η εξίσωση ,

Καλησπέρα!

Η εξίσωση γράφεται . Όμως κάθε αριθμός στο LHS είναι άρτιος (γιατί;) αλλά το RHS είναι περιττός. Συνεπώς η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

[Ορέστης Λιγνός]

Με χαρά διαπιστώνω ότι η "συλλογή των μονά-ζυγά" αυξάνεται.
Η πρόταση του Μιχάλη έχει "πιάσει τόπο".
Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ.
Δίνω το επόμενο πρόβλημα.
Επειδή είναι από γνωστό βιβλίο (και πιθανώς να την γνωρίζουν) θα παρακαλούσα τους Ορέστη και Διονύση να αργήσουν λίγο να απαντήσουν
για να δώσουν την ευκαιρία και σε άλλα παιδιά να σκεφτούν πάνω σε αυτό το θέμα.

ΑΣΚΗΣΗ 8.
Να αιτιολογήσετε γιατί δεν μπορεί κανένα κυρτό 13-γωνο να χωριστεί σε παραληλόγραμμα.

Το 13-γωνο δεν έχει άρτιο πλήθος πλευρών, συνεπώς δεν έχει κέντρο συμμετρίας.
Μόνο τα κανονικά πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών έχουν κέντρο συμμετρίας και κάθε πλευρά του έχει μοναδική παράλληλο πλευρά. (*)

Έστω ότι το 13-γωνο καλύπτεται με παραλληλόγραμμα.

Τότε, από κάθε πλευρά του πολυγώνου, δημιουργείται μία αλυσίδα παραλληλογράμμων και καταλήγουμε σε μία ''απέναντι'' πλευρά του, που είναι παράλληλη και ίση με την αρχική.

Επειδή το πολύγωνο έχει περιττό πλήθος πλευρών, θα υπάρχει πλευρά που θα είναι παράλληλη σε δύο άλλες πλευρές του, άτοπο από (*).

Άρα, δεν μπορεί να καλυφθεί το πολύγωνο από παραλληλόγραμμα.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 11.
α) Σχεδιάστε μία πολυγωνική γραμμή κάθε πλευρά της οποίας τέμνει ακριβώς μία άλλη από τις υπόλοιπες πλευρές. (Οι τομές πρέπει να είναι σε εσωτερικά σημεία των πλευρών, όχι κορυφές.)
β) Δείξτε ότι κάθε πολυγωνική γραμμή όπως στο α) ερώτημα, έχει άρτιο πλήθος πλευρών.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Άσκηση 11.
α) Σχεδιάστε μία πολυγωνική γραμμή κάθε πλευρά της οποίας τέμνει ακριβώς μία άλλη από τις υπόλοιπες πλευρές. (Οι τομές πρέπει να είναι σε εσωτερικά σημεία των πλευρών, όχι κορυφές.)
β) Δείξτε ότι κάθε πολυγωνική γραμμή όπως στο α) ερώτημα, έχει άρτιο πλήθος πλευρών.

α)

Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων-11.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 3093 φορές

β) Κάθε πλευρά τέμνει ακριβώς μία άλλη από τις υπόλοιπες πλευρές και επομένως τέμνεται κι αυτή. Αφού κάθε σημείο τομής ορίζεται από δύο πλευρές και κάθε πλευρά συμμετέχει σε ένα μόνο σημείο τομής, αναγκαστικά το πλήθος των πλευρών θα είναι άρτιος αριθμός.

[Mihalis_Lambrou]

Διονύση, ωραιότατα.

Όπως και στην δική σου καμπύλη αν κολλήσουμε τα δύο άκρα, μπορούμε να έχουμε ακόμα και κλειστή πολυγωνική γραμμή.

Χάριν πληρότητας επισυνάπτω μία (ουσιαστικά την ίδια αλλά) με πιο λίγες πλευρές.
.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 12.
Έστω ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Άσκηση 12.
Έστω ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.

Έστω μια ακέραια ρίζα του πολυωνύμου . Τότε αυτό μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

, όπου πολυώνυμο βαθμού μικρότερου κατά .

Όμως ξέρουμε ότι το είναι περιττός αριθμός.
Αναγκαστικά πρέπει το να είναι περιττός αριθμός (γιατί αλλιώς θα καταλήγαμε σε άτοπο) και επομένως η ρίζα να είναι άρτιος αριθμός.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 12.
Έστω ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.

Έστω μια ακέραια ρίζα του πολυωνύμου . Τότε αυτό μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:



Όμως ξέρουμε ότι το είναι περιττός αριθμός.
Αναγκαστικά πρέπει το να είναι περιττός αριθμός (γιατί αλλιώς θα καταλήγαμε σε άτοπο) και επομένως η ρίζα να είναι άρτιος αριθμός.

Πολλή ωραία λύση. Η δική μου είναι: Αν περιττή ρίζα τότε αφού όλα τα είναι περιττοί αριθμοί, έχουμε

περιττός. Άτοπο.

[Demetres]

Άσκηση 12.
Έστω ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε περιττός αριθμός. Δείξτε ότι
αν το έχει ακέραια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή θα είναι άρτιος αριθμός.

Έστω μια ακέραια ρίζα του πολυωνύμου . Τότε αυτό μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

, όπου πολυώνυμο βαθμού μικρότερου κατά .

Όμως ξέρουμε ότι το είναι περιττός αριθμός.
Αναγκαστικά πρέπει το να είναι περιττός αριθμός (γιατί αλλιώς θα καταλήγαμε σε άτοπο) και επομένως η ρίζα να είναι άρτιος αριθμός.

Υπάρχει ένα μικρό θεματάκι εδώ. Πρέπει να δείξουμε και ότι το έχει ακέραιους συντελεστές. Επαγωγικά δεν είναι δύσκολο. Ισχύει μάλιστα το εξής πιο γενικό το οποίο ονομάζεται Λήμμα του Gauss:

Ονομάζουμε ένα πολυώνυμο αρχικό αν έχει ακέραιους συντελεστής με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους να ισούται με .

Λήμμα Gauss: Το γινόμενο δύο αρχικών πολυωνύμων είναι αρχικό.

Από το λήμμα του Gauss, όντως παίρνουμε ότι το έχει ακέραιους συντελεστές. Πράγματι, έστω τέτοιο ώστε το να είναι αρχικό. Τότε το είναι αρχικό. Επειδή το έχει ακέραιους συντελεστές, πρέπει . Άρα και το έχει ακέραιους συντελεστές.