παραλληλογραμμο

kostasrmd · #1

Δίδεται περιφέρεια και μια σταθερά διάμετρος αυτής AOB

(O κέντρο της περιφέρειας).Με κέντρο το

γράφουμε άλλη περιφέρεια η ο οποία τέμνει την πρώτη στα σημεία

,

.Συνδέουμε το τυχαίο σημείο

της δεύτερης περιφέρειας με τα G,D

και οι

τέμνουν την πρώτη περιφέρεια στα P, K

.Να δειχθεί ότι το MKBP

είναι παραλληλόγραμμο.

Θα ήθελα την γνώμη σας ως προς την δυσκολία αυτής της άσκησης.

#2

: Παραλληλόγραμμο.png (43.29 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Το τρίγωνο PMD

είναι ισοσκέλες και εγγράψιμα. Μικρή σε έκταση λύση αλλά όχι απλή .

#3

: Παραλληλόγραμμο.Κ..png (22.1 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα AGPB, ADKB

είναι $\boxed{G\widehat PB = D\widehat KB},$ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

$\displaystyle G\widehat AB,D\widehat AB.$ Ακόμα οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς επίσης και οι κόκκινες. $\displaystyle M\widehat DG = \varphi ,M\widehat GD = \omega$

(σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), άρα $\displaystyle D\widehat MG = {180^0} - (\omega + \varphi ) = {180^0} - K\widehat AP = P\widehat BK$

Αφού λοιπόν το MKBP

έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες, είναι παραλληλόγραμμο.

Σχόλιο: Σίγουρα δεν είναι απλή. Χωρίς να έχει ιδιαίτερες δυσκολίες, δεν θα την χαρακτήριζα σχολική άσκηση. Θα μπορούσε όμως να γίνει μια πολύ ωραία άσκηση εξετάσεων αν έσπαγε σε υποερωτήματα.

KARKAR · #4

: PARALLELODRAMM.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 1068 φορές

Όχι κάτι ριζικά διαφορετικό : Οι μπλε ίσες , οι ροζ ίσες (εξωτερικές εγγεγραμμένων

και ισοσκελή ) , άρα : $\widehat{PMK}=\widehat{PBK}$ και $\hat{P}=\hat{K}$ ( οι χορδές GB,DB

ίσες )

Ιστοσελίδα · #5

Με πρόλαβε ο Θανάσης, το αφήνω για τον κόπο...

: paralelogram.png (41.4 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

kostasrmd · #6

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2017 3:43 pm
Παραλληλόγραμμο.png

Το τρίγωνο είναι ισοσκέλες και εγγράψιμα. Μικρή σε έκταση λύση αλλά όχι απλή .

Σ'ευχαριστώ

kostasrmd · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2017 5:17 pm
Παραλληλόγραμμο.Κ..png
Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα είναι $\boxed{G\widehat PB = D\widehat KB},$ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

$\displaystyle G\widehat AB,D\widehat AB.$ Ακόμα οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς επίσης και οι κόκκινες. $\displaystyle M\widehat DG = \varphi ,M\widehat GD = \omega$

(σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), άρα $\displaystyle D\widehat MG = {180^0} - (\omega + \varphi ) = {180^0} - K\widehat AP = P\widehat BK$

Αφού λοιπόν το έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες, είναι παραλληλόγραμμο.

Σχόλιο: Σίγουρα δεν είναι απλή. Χωρίς να έχει ιδιαίτερες δυσκολίες, δεν θα την χαρακτήριζα σχολική άσκηση. Θα μπορούσε όμως να γίνει μια πολύ ωραία άσκηση εξετάσεων αν έσπαγε σε υποερωτήματα.

Σ'ευχαριστώ πολυ

kostasrmd · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2017 6:57 pm
PARALLELODRAMM.pngΌχι κάτι ριζικά διαφορετικό : Οι μπλε ίσες , οι ροζ ίσες (εξωτερικές εγγεγραμμένων

και ισοσκελή ) , άρα : $\widehat{PMK}=\widehat{PBK}$ και $\hat{P}=\hat{K}$ ( οι χορδές ίσες )

Σ'ευχαριστώ πολυ

kostasrmd · #9

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2017 7:10 pm
Με πρόλαβε ο Θανάσης, το αφήνω για τον κόπο...paralelogram.png

Σ'ευχαριστώ πολυ!!

#10

: παραλληλόγραμμο_11_12_17.png (32.86 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Στο $\vartriangle PMD$ η

είναι ο φορέας της διχοτόμου αφού τα τόξα των χορδών $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ είναι ίσα .

Από την άλλη μεριά αν

το μέσο της χορδής

η

είναι μεσοκάθετος στο

.

Το $\vartriangle PMD$ είναι λοιπόν αναγκαστικά ισοσκελές γιατί αλλιώς το

θα ήταν σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Μετά απ’ αυτά MK//PB

ως κάθετες στην

και το εγγεγραμμένο τραπέζιο PDKB

είναι ισοσκελές οπότε οι γωνίες $\widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat M$ είναι παραπληρωματικές.

Δηλαδή MP//KB

.

Θα μπορούσα για τη δεύτερη παραλληλία να εργαστώ όπως στην πρώτη με το τρίγωνο .

kostasrmd · #11

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2017 10:27 pm
παραλληλόγραμμο_11_12_17.png

Στο $\vartriangle PMD$ η είναι ο φορέας της διχοτόμου αφού τα τόξα των χορδών $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ είναι ίσα .

Από την άλλη μεριά αν το μέσο της χορδής η είναι μεσοκάθετος στο .

Το $\vartriangle PMD$ είναι λοιπόν αναγκαστικά ισοσκελές γιατί αλλιώς το θα ήταν σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Μετά απ’ αυτά ως κάθετες στην και το εγγεγραμμένο τραπέζιο είναι ισοσκελές οπότε οι γωνίες $\widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat M$ είναι παραπληρωματικές.

Δηλαδή .

Θα μπορούσα για τη δεύτερη παραλληλία να εργαστώ όπως στην πρώτη με το τρίγωνο .

σ'ευχαριστω για την επιπλεον ωραια λυση, να'σαι καλα

παραλληλογραμμο

παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Μέλη σε σύνδεση