Πολύ-τροπον
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Πολύ-τροπον
Καλησπέρα σε όλους.
Η άσκηση πού έδωσε ο Αποστόλης ΕΔΩ για τη Γ΄ Γυμνασίου μού έδωσε την ιδέα της προέκτασης του θέματος. Ζητώ να αντιμετωπίσουμε την άσκηση με όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους, δίχως περιορισμό "ύλης". Γι' αυτό και τοποθετώ το ερώτημα εδώ. Πιστεύω ότι είναι αρκούντως διασκεδαστικό.
Έχω μερικές διαφορετικές λύσεις, κάποιες κομψές και διδακτικές, κάποιες τραβηγμένες (τριγωνομετρικές), αλλά πάντως αποτελεσματικές. Περιμένω τις δικές σας πρώτα.
Αν για τους αριθμούς ισχύει , δείξτε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με .
Μεταφέρω εδώ τις λύσεις του Χαράλαμπου και του Αποστόλη, αλλάζοντας λίγο τη διατύπωση, αλλά όχι την κεντρική ιδέα.
1η λύση:
Η ισότητα της υπόθεσης γράφεται διαδοχικά:
.
2η λύση
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής: .
Επειδή, λόγω της (1) ο αριθμός είναι ρίζα του , θα είναι , οπότε ή .
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό με την υπόδειξη του Μιχάλη Λάμπρου. Μιχάλη ευχαριστώ!
Η άσκηση πού έδωσε ο Αποστόλης ΕΔΩ για τη Γ΄ Γυμνασίου μού έδωσε την ιδέα της προέκτασης του θέματος. Ζητώ να αντιμετωπίσουμε την άσκηση με όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους, δίχως περιορισμό "ύλης". Γι' αυτό και τοποθετώ το ερώτημα εδώ. Πιστεύω ότι είναι αρκούντως διασκεδαστικό.
Έχω μερικές διαφορετικές λύσεις, κάποιες κομψές και διδακτικές, κάποιες τραβηγμένες (τριγωνομετρικές), αλλά πάντως αποτελεσματικές. Περιμένω τις δικές σας πρώτα.
Αν για τους αριθμούς ισχύει , δείξτε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με .
Μεταφέρω εδώ τις λύσεις του Χαράλαμπου και του Αποστόλη, αλλάζοντας λίγο τη διατύπωση, αλλά όχι την κεντρική ιδέα.
1η λύση:
Η ισότητα της υπόθεσης γράφεται διαδοχικά:
.
2η λύση
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής: .
Επειδή, λόγω της (1) ο αριθμός είναι ρίζα του , θα είναι , οπότε ή .
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό με την υπόδειξη του Μιχάλη Λάμπρου. Μιχάλη ευχαριστώ!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πολύ-τροπον
Έστω . Από την υπόθεση είναι : .
Θεωρώ τη σταθερή και μη μηδενική συνάρτηση : .
Είναι : άρα .
Θεωρώ τη σταθερή και μη μηδενική συνάρτηση : .
Είναι : άρα .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πολύ-τροπον
Αφού έχουμε το ελεύθερο για να χρησιμοποιήσουμε ότι θέλουμε...
Η μιγαδική συνάρτηση με τύπο παίρνει όλες τις τιμές εκτός από την τιμή . Αν και τότε μπορώ να βρω με και . Τότε όμως έχω:
που είναι άτοπο.
Η μιγαδική συνάρτηση με τύπο παίρνει όλες τις τιμές εκτός από την τιμή . Αν και τότε μπορώ να βρω με και . Τότε όμως έχω:
που είναι άτοπο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολύ-τροπον
H υπόθεση γράφεται . Επαγωγικά βλέπουμε ότι ισχύει . Παίρνοντας όριο , και επειδή το όριο του (σταθερού) δεξιού μέλους υπάρχει, θα υπάρχει και του αριστερού. Οπότε είτε (τελειώσαμε) ή . Αν τελειώσαμε. Αλλιώς . Σε αυτή την περίπτωση στο όριο η γίνεται , που πάλι τελειώσαμε: Να λες ευτυχώς γιατί άλλη μια τέτοια γραμμή και θα πέφτανε πέτρες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πολύ-τροπον
Θεωρώ τη συνάρτηση
Είναι και από την υπόθεση προκύπτει ότι και
● Αν επειδή η είναι πολυωνυμική α' βαθμού δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες, άρα
● Αν τότε η θα είναι σταθερή, οπότε
(Εναλλακτικά, μπορούμε και με θεώρημα του ).
Είναι και από την υπόθεση προκύπτει ότι και
● Αν επειδή η είναι πολυωνυμική α' βαθμού δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες, άρα
● Αν τότε η θα είναι σταθερή, οπότε
(Εναλλακτικά, μπορούμε και με θεώρημα του ).
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Πολύ-τροπον
Καλησπέρα σε όλους. Μόνο και μόνο για να αριθμήσουμε τις απαντήσεις:
8η λύση (παραλλαγή της προηγούμενης, του Γιώργου):
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει .
Αν δεν έχουμε τίποτα παραπάνω να αποδείξουμε.
Έστω . Θα αποδείξουμε ότι ισχύει .
Η συνάρτηση με είναι γνησίως αύξουσα αν και γνησίως φθίνουσα αν , οπότε και στις δύο περιπτώσεις είναι «1-1».
Ισχύει και , λόγω της (1), οπότε είναι , αφού η είναι «1-1».
8η λύση (παραλλαγή της προηγούμενης, του Γιώργου):
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει .
Αν δεν έχουμε τίποτα παραπάνω να αποδείξουμε.
Έστω . Θα αποδείξουμε ότι ισχύει .
Η συνάρτηση με είναι γνησίως αύξουσα αν και γνησίως φθίνουσα αν , οπότε και στις δύο περιπτώσεις είναι «1-1».
Ισχύει και , λόγω της (1), οπότε είναι , αφού η είναι «1-1».
Re: Πολύ-τροπον
Έστω ότι : , οπότε : . Η σχέση : , γίνεται
και λύνοντας ( τριώνυμο του ) ,
βρίσκουμε ότι : ή , οπότε , ή , οπότε
κι έτσι βρήκαμε και τον άλλο άγνωστο !
και λύνοντας ( τριώνυμο του ) ,
βρίσκουμε ότι : ή , οπότε , ή , οπότε
κι έτσι βρήκαμε και τον άλλο άγνωστο !
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Πολύ-τροπον
10η λύση:
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Θέτω
H (1) γράφεται
,
οπότε , δηλαδή ή .
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Θέτω
H (1) γράφεται
,
οπότε , δηλαδή ή .
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Πολύ-τροπον
11η λύση
Αν δεν έχουμε να αποδείξουμε τίποτα.Έστω
θεωρούμε τα διανύσματα,
και
Άρα
Αν δεν έχουμε να αποδείξουμε τίποτα.Έστω
θεωρούμε τα διανύσματα,
και
Άρα
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Σάβ Δεκ 09, 2017 1:54 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Πολύ-τροπον
12η λύση:
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Έστω .
Τότε .
Είναι .
Αν , τότε κι εμείς έχουμε αποδείξει τη ζητούμενη σχέση.
Αν , τότε .
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Έστω .
Τότε .
Είναι .
Αν , τότε κι εμείς έχουμε αποδείξει τη ζητούμενη σχέση.
Αν , τότε .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Πολύ-τροπον
14η λύση:
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Έστω , οπότε υπάρχει μη μηδενικός , ώστε .
Τότε η (1) γράφεται .
Ομοίως, αν υποθέσουμε ότι .
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Έστω , οπότε υπάρχει μη μηδενικός , ώστε .
Τότε η (1) γράφεται .
Ομοίως, αν υποθέσουμε ότι .
Re: Πολύ-τροπον
Έστω : . Θεωρώ τη συνάρτηση : , με .
Αν είναι , με Θ.Μ.Τ. στο , βρίσκω ότι υπάρχει , τέτοιο ώστε :
και επειδή ο αριθμητής ισούται με , , άτοπο .
Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο και αν υποθέσουμε ότι : , άρα τελικά :
Αν είναι , με Θ.Μ.Τ. στο , βρίσκω ότι υπάρχει , τέτοιο ώστε :
και επειδή ο αριθμητής ισούται με , , άτοπο .
Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο και αν υποθέσουμε ότι : , άρα τελικά :
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Πολύ-τροπον
Αρχίζει και ζορίζει...
Μια πολυλογάδικη (αλλά άκρως ενδιαφέρουσα και διασκεδαστική).
16η λύση:
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Αν , τότε . Ομοίως αν , τότε .
Η περίπτωση να είναι απορρίπτεται, αφού το πρώτο μέλος της (1) θα είναι θετικό και το δεύτερο αρνητικό.
Δίχως να χαλά η γενικότητα, έστω .
Έστω . Τότε , άτοπο.
Έστω . Τότε , άτοπο.
Άρα αν , τότε .
Οπότε οι είναι και οι δύο θετικοί.
1η περίπτωση: Έστω . Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν . Αδύνατον, δυστυχώς. Φανταστείτε να μπορούσαμε να δηλώναμε στο Ε9 οικόπεδα μηδενικού εμβαδού!
2η περίπτωση: Έστω . Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν . Επίσης αδύνατον.
3η περίπτωση: Έστω . Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν . Επίσης αδύνατον.
Οπότε, ένας τουλάχιστον από τους ισούται με .
Μια πολυλογάδικη (αλλά άκρως ενδιαφέρουσα και διασκεδαστική).
16η λύση:
Έστω ότι για τους αριθμούς ισχύει
Αν , τότε . Ομοίως αν , τότε .
Η περίπτωση να είναι απορρίπτεται, αφού το πρώτο μέλος της (1) θα είναι θετικό και το δεύτερο αρνητικό.
Δίχως να χαλά η γενικότητα, έστω .
Έστω . Τότε , άτοπο.
Έστω . Τότε , άτοπο.
Άρα αν , τότε .
Οπότε οι είναι και οι δύο θετικοί.
1η περίπτωση: Έστω . Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν . Αδύνατον, δυστυχώς. Φανταστείτε να μπορούσαμε να δηλώναμε στο Ε9 οικόπεδα μηδενικού εμβαδού!
2η περίπτωση: Έστω . Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν . Επίσης αδύνατον.
3η περίπτωση: Έστω . Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν . Επίσης αδύνατον.
Οπότε, ένας τουλάχιστον από τους ισούται με .
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Πολύ-τροπον
Χαιρετώ τους πολύτροπους φίλους! Μια ακόμη Γυμνασιακή.
Θέτω και τότε είναι .
Από την προκύπτει με αντικατάσταση .
Επομένως είναι δηλ. ή δηλ.
Φιλικά Γιώργος.
Θέτω και τότε είναι .
Από την προκύπτει με αντικατάσταση .
Επομένως είναι δηλ. ή δηλ.
Φιλικά Γιώργος.
Re: Πολύ-τροπον
Αν τότε .
Αν και , τότε υπάρχει μη μηδενικός , ώστε (*)
Αλλά τότε :
,
δηλαδή αντικαθιστώντας στην (*) :
Αν και , τότε υπάρχει μη μηδενικός , ώστε (*)
Αλλά τότε :
,
δηλαδή αντικαθιστώντας στην (*) :
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες