ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Ας σχολιάσουμε εδώ τα σημερινά θέματα του Προκριματικού με την παράκληση αυτό να γίνει μετά το πέρας του διαγωνισμού (δηλαδή κατά τη 13:30 και μετα...).
Να ευχηθώ και με την ευκαιρία καλή επιτυχία στους μαθητές που διαγωνίζονται σήμερα!!
Αλέξανδρος
Να ευχηθώ και με την ευκαιρία καλή επιτυχία στους μαθητές που διαγωνίζονται σήμερα!!
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Ο διαγωνισμός έχει λήξει. Τα θέματα των μικρών:
Θεωρούμε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς τέτοιους ώστε . Nα αποδείξετε ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;
Δίνεται οξυγώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο και σημείοστην πλευράτέτοιο ώστε. Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στο σημείο και τον κύκλο στο . Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο που περνάει από το σημείο .
Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , o αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς . Έστω και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα. Έστω το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Χρωματίζουμε όλα τα σημεία με ένα απο τα δύο χρώματα κόκκινο και μπλε.
Να βρείτε πόσα ισόπλευρα τρίγωνα ορίζονται με κορυφές τα επτά σημεία .
Να αποδείξετε ότι αν τα σημεία χρωματιστούν με ίδιο χρώμα, τότε για οποιονδήποτε χρωματισμό των υπόλοιπων σημείων υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές από τα επτά σημεια , του οποίου και οι τρεις κορυφές να έχουν το ίδιο χρώμα.
Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα με αυτό του προηγούμενου ερωτήματος, αν τα χρωματιστούν με διαφορετικό χρώμα;
Θεωρούμε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς τέτοιους ώστε . Nα αποδείξετε ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;
Δίνεται οξυγώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο και σημείοστην πλευράτέτοιο ώστε. Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στο σημείο και τον κύκλο στο . Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο που περνάει από το σημείο .
Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , o αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς . Έστω και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα. Έστω το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Χρωματίζουμε όλα τα σημεία με ένα απο τα δύο χρώματα κόκκινο και μπλε.
Να βρείτε πόσα ισόπλευρα τρίγωνα ορίζονται με κορυφές τα επτά σημεία .
Να αποδείξετε ότι αν τα σημεία χρωματιστούν με ίδιο χρώμα, τότε για οποιονδήποτε χρωματισμό των υπόλοιπων σημείων υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές από τα επτά σημεια , του οποίου και οι τρεις κορυφές να έχουν το ίδιο χρώμα.
Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα με αυτό του προηγούμενου ερωτήματος, αν τα χρωματιστούν με διαφορετικό χρώμα;
Bye :')
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Θέματα μεγάλων
1) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (με ) και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές , αντίστοιχα, Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .Ο περιγεγραμμένος του τέμνει τον στο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .
Να δείξετε ότι
α) Το είναι εγγράψιμο.
β)Οι συντρέχουν
2) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ,όπου θετικός ακέραιος, είναι ακέραιος και έχει παράγοντα το
3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ορίζονται από τους πραγματικούς στους πραγματικούς έτσι ώστε:
για κάθε πραγματικό .
και
4) Στον πίνακα είναι γραμμένοι αρχικά κάποιοι, διαφορετικοί ανά δύο , θετικοί ακέραιοι.
Κάνουμε κάθε φορά μία από τις ακόλουθες κινήσεις:
α) Αν ανάμεσα στους αριθμούς υπάρχουν δύο διαδοχικοί , έστω , τότε μπορούμε να τους σβήσουμε και να γράψουμε τον αριθμό .
β) Αν είναι γραμμε΄νοι δύο αριθμόι που απέχουν κατά , έστω , μπορούμε να τους σβήσουμε και να γράψουμε τον αριθμό .
Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας μπορούν να προκύπτουν και αρνητικοί αριθμοί στον πίνακα. Αν δεν μπορούμε να κάνουμε κάποια από τις παραπάνω κινήσεις η διαδικασία τελειώνει.Να προσδιορίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του ακεραίου με την ακόλουθη ιδιότητα:
Ανεξάρτητα με το ποιο αριθμοί είναι γραμμένοι αρχικά , σε όλη τη διαδικασία , όλοι οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από .
1) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (με ) και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές , αντίστοιχα, Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .Ο περιγεγραμμένος του τέμνει τον στο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .
Να δείξετε ότι
α) Το είναι εγγράψιμο.
β)Οι συντρέχουν
2) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ,όπου θετικός ακέραιος, είναι ακέραιος και έχει παράγοντα το
3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ορίζονται από τους πραγματικούς στους πραγματικούς έτσι ώστε:
για κάθε πραγματικό .
και
4) Στον πίνακα είναι γραμμένοι αρχικά κάποιοι, διαφορετικοί ανά δύο , θετικοί ακέραιοι.
Κάνουμε κάθε φορά μία από τις ακόλουθες κινήσεις:
α) Αν ανάμεσα στους αριθμούς υπάρχουν δύο διαδοχικοί , έστω , τότε μπορούμε να τους σβήσουμε και να γράψουμε τον αριθμό .
β) Αν είναι γραμμε΄νοι δύο αριθμόι που απέχουν κατά , έστω , μπορούμε να τους σβήσουμε και να γράψουμε τον αριθμό .
Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας μπορούν να προκύπτουν και αρνητικοί αριθμοί στον πίνακα. Αν δεν μπορούμε να κάνουμε κάποια από τις παραπάνω κινήσεις η διαδικασία τελειώνει.Να προσδιορίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του ακεραίου με την ακόλουθη ιδιότητα:
Ανεξάρτητα με το ποιο αριθμοί είναι γραμμένοι αρχικά , σε όλη τη διαδικασία , όλοι οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από .
τελευταία επεξεργασία από Friedoon σε Σάβ Απρ 08, 2017 9:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Μικρων 1)
Από ΑΜ/ΓΜ
Η ισότητα ισχυεί αν και μόνον αν
Δάτης Καλάλη, Κύπρος
Από ΑΜ/ΓΜ
Η ισότητα ισχυεί αν και μόνον αν
Δάτης Καλάλη, Κύπρος
τελευταία επεξεργασία από Datis-Kalali σε Σάβ Απρ 08, 2017 7:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
3) Μίκρων
Για
Αν το ζητούμενο ισχυεί για , δηλάδη
Τότε για ,
Άρα το ζητούμενο ισχυεί για κάθε θετικό ακέραιο
Για
Αν το ζητούμενο ισχυεί για , δηλάδη
Τότε για ,
Άρα το ζητούμενο ισχυεί για κάθε θετικό ακέραιο
- Κώστας Παππέλης
- Δημοσιεύσεις: 261
- Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Για τη συνάρτηση των μεγάλων:
:
Άρα ξαναγράφουμε:
:
Αν διάφορο του τότε η είναι 1-1 και επί, άρα ΠΑΝΤΑ υπάρχει ώστε .
:
Αντικαθιστούμε στην αρχική:
:
Άρα
Επαλήθευση:
Βάζοντας τη συνάρτηση στην αρχική, βρίσκουμε ή . Λόγω του ότι έπεται και , η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί. Εύκολα τώρα
:
Άρα ξαναγράφουμε:
:
Αν διάφορο του τότε η είναι 1-1 και επί, άρα ΠΑΝΤΑ υπάρχει ώστε .
:
Αντικαθιστούμε στην αρχική:
:
Άρα
Επαλήθευση:
Βάζοντας τη συνάρτηση στην αρχική, βρίσκουμε ή . Λόγω του ότι έπεται και , η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί. Εύκολα τώρα
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Για να δούμε και την ακόλουθη γενίκευση: Αν πρώτος, να αποδείξετε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του .JimNt. έγραψε: Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , o αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Θεωρούμε το πολυώνυμο Είναι άρα .silouan έγραψε:Για να δούμε και την ακόλουθη γενίκευση: Αν πρώτος, να αποδείξετε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του .JimNt. έγραψε: Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , o αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Επομένως
και είναι φανερό ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του (πάρτε π.χ. ).
Μάγκος Θάνος
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Ωραίο! Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Euler.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Η ισότητα ισχύει γιαDatis-Kalali έγραψε:Μικρων 1)
Από ΑΜ/ΓΜ
Η ισότητα ισχυεί αν και μόνον αν
Δάτης Καλάλη, Κύπρος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Παρατηρούμε ότιFriedoon έγραψε:2ο θέμα μεγάλων
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ,όπου θετικός ακέραιος, είναι ακέραιος και έχει παράγοντα το
, οπότε φανερά
Επίσης είναι
και
.
Συνολικά λοιπόν υπάρχουν δυάρια.
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Γεια σας κυριε Σιλουανε, Χρισηποπιασουμε το ιδιο τροποsilouan έγραψε:Για να δούμε και την ακόλουθη γενίκευση: Αν πρώτος, να αποδείξετε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του .JimNt. έγραψε: Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , o αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Για
Αν το ζητούμενο ισχυεί για , δηλάδη
Τότε για ,
Αφου για κάθε πρώτος
Άρα το ζητούμενο ισχυεί για κάθε θετικό ακέραιο
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Γεωμετρία μικρών
Οι πράσινες είναι προφανώς ίσες άρα το εγγράψιμο .
Αλλά και η πράσινη ίση με την ,άρα και το εγγράψιμο .
Αλλά και η πράσινη ίση με την ,άρα και το εγγράψιμο .
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
4) Μικρων
και ,
έτσι τα 7 τρίγωνα και είναι ισοπλευρά
β) Αν δεν ισχυεί το ζητούμενο
Τότε αν τα και ειναι μπλέ, Τα και πρέπει να είναι κοκκίνα. Έτσι το πρέπει να έιναι μπλε, και κοκκίνο
Αν το είναι μπλέ τότε το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις κορυφές με το ίδιο χρώμα, που είναι άτοπο
Αν το είναι κοκκίνο τότε το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις κορυφές με το ίδιο χρώμα, που είναι άτοπο
Αρα ισχυεί το ζητούμενο
γ) Όχι, μπρουμε να το χρωματίσουμε έτσι,
α) Απ'το θεώρημα θαλή και ,
έτσι τα 7 τρίγωνα και είναι ισοπλευρά
β) Αν δεν ισχυεί το ζητούμενο
Τότε αν τα και ειναι μπλέ, Τα και πρέπει να είναι κοκκίνα. Έτσι το πρέπει να έιναι μπλε, και κοκκίνο
Αν το είναι μπλέ τότε το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις κορυφές με το ίδιο χρώμα, που είναι άτοπο
Αν το είναι κοκκίνο τότε το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις κορυφές με το ίδιο χρώμα, που είναι άτοπο
Αρα ισχυεί το ζητούμενο
γ) Όχι, μπρουμε να το χρωματίσουμε έτσι,
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Στο 4ο ο ζητούμενος αριθμός είναι
Οι αριθμοί το επαληθεύουν. Χρειάζεται να δειχθεί ότι με την πρόσθεση παραπάνω αριθμών στον αρχικό πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί παραπάνω ο μικρότερος αριθμός.
Οι αριθμοί το επαληθεύουν. Χρειάζεται να δειχθεί ότι με την πρόσθεση παραπάνω αριθμών στον αρχικό πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί παραπάνω ο μικρότερος αριθμός.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Λίγο διαφορετικά το τελείωμα από εκείνο (το ομολογουμένως σύντομο και κομψό) του Θάνου!Friedoon έγραψε: 2) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ,όπου θετικός ακέραιος, είναι ακέραιος και έχει παράγοντα το
Ονομάζουμε τη μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί το . (Για παράδειγμα διότι και ).
Προφανώς και για ένα ακέραιο (όπου προφανώς ) ισχύει . Οι αποδείξεις τους είναι άμεσες από τον ορισμό της συνάρτησης .
Επίσης είναι φανερό ότι
Ειδικότερα, αν τότε διότι για κάθε με .
Είναι φανερό ότι ζητείται να αποδειχθεί ότι
Ας υποθέσουμε ότι .
Τότε
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε!
Όμοια ορίζεται και η συνάρτηση με πρώτο και η οποία έχει ανάλογες ιδιότητες με εκείνες της .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Το ίδιο γίνεται και με το . Το δύσκολο κομμάτι της άσκησης είναι αυτό που έχεις αφήσει.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Στο 4ο ο ζητούμενος αριθμός είναι
Οι αριθμοί το επαληθεύουν. Χρειάζεται να δειχθεί ότι με την πρόσθεση παραπάνω αριθμών στον αρχικό πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί παραπάνω ο μικρότερος αριθμός.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Πράγματι έχετε δίκαιο. Ξέχασα να σας ρωτήσω όταν σας είδα πως λύνεται. Μήπως θα μπορούσατε να αναρτήσετε την λύση; Περιμένω πως και πως να δω το σκεπτικό της.silouan έγραψε:Το ίδιο γίνεται και με το . Το δύσκολο κομμάτι της άσκησης είναι αυτό που έχεις αφήσει.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Στο 4ο ο ζητούμενος αριθμός είναι
Οι αριθμοί το επαληθεύουν. Χρειάζεται να δειχθεί ότι με την πρόσθεση παραπάνω αριθμών στον αρχικό πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί παραπάνω ο μικρότερος αριθμός.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Το πρόβλημα 4 είναι καταπληκτικό. Σε τέτοιου τύπου προβλήματα πρέπει να προπονούνται τα νέα ταλέντα αν θέλουμε να ελπίζουμε σε κάτι παραπάνω από χαμηλά αργυρά μετάλλια στην ΙΜΟ. Οι συνδυαστικές του τύπου "βρείτε πόσα τρίγωνα υπάρχουν στην τάδε διαμέριση του παραλληλογράμμου" είναι πλέον για Junior επίπεδο και μόνο.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες