Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

#1

Να δειχθεί ότι κάθε ρητός αιρθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο διαφόρων ρητών με άθροισμα μηδέν.

Π.χ. $2=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{9}{2}\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot (-4).$

Φιλικά,

Αχιλλέας

harrisp · #2

achilleas έγραψε:Να δειχθεί ότι κάθε ρητός αιρθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο διαφόρων ρητών με άθροισμα μηδέν.

Π.χ. $2=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{9}{2}\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot (-4).$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επαναφορά !

Friedoon · #3

Έστω ο ρητός $\dfrac{m}{n}$

$\dfrac{m}{n}=\dfrac{m}{n}\cdot\dfrac{-1}{n}\cdot\dfrac{-1}{n}\cdot ... \cdot\dfrac{-1}{n}\cdot (-n)\cdot (-n)\cdot ...\cdot (-n)\cdot 1\cdot 1 \cdot ...\cdot 1$

Όπου έχουμε :

φορές το $\dfrac{1}{n}$

φορές το

$m\cdot n$ φορές το

#4

Friedoon έγραψε:Έστω ο ρητός $\frac{m}{n}$
$\frac{m}{n}=\frac{m}{n}*\frac{-1}{n}*\frac{-1}{n}...*\frac{-1}{n}*(-n)*(-n)*...*(-n)*1*1...*1$
Όπου έχουμε :
φορές το $\frac{1}{n}$
φορές το
φορές το

Χμμμμ. Μόνο που η άσκηση ζητά οι παράγοντες να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Friedoon έγραψε:Έστω ο ρητός $\frac{m}{n}$
$\frac{m}{n}=\frac{m}{n}*\frac{-1}{n}*\frac{-1}{n}...*\frac{-1}{n}*(-n)*(-n)*...*(-n)*1*1...*1$
Όπου έχουμε :
φορές το $\frac{1}{n}$
φορές το
φορές το
Χμμμμ. Μόνο που η άσκηση ζητά οι παράγοντες να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.

Καλημέρα σας!

Ίσως δεν διατύπωσα σωστά την άσκηση, αλλά δεν χρειάζεται να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.

Μετέφρασα το "several" σε "διαφόρων".

Να με συγχωρείτε για την όποια σύγχυση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

Οπότε σωστά απάντησε ο Friedoon και συγνώμη αν τον αδίκησα.

Για την διατύπωση/μετάφραση θα άφηνα το "several". Θα έγραφα

Να δειχθεί ότι κάθε ρητός αιρθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:Οπότε σωστά απάντησε ο Friedoon και συγνώμη αν τον αδίκησα.

Για την διατύπωση/μετάφραση θα άφηνα το "several". Θα έγραφα

Να δειχθεί ότι κάθε ρητός αιρθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν.

Πράγματι! Μάλιστα, το πρόβλημα παρουσιάζει περισσότερο ενδιαφέρον εάν περιορίσουμε τον αριθμό των ρητών.

Έχουμε, λοιπόν, το εξής:

Να δειχθεί ότι εάν $k\geq 5$ ( $k\in \mathbb{N}$ ), τότε κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Al.Koutsouridis · #8

Το πρόβλημα φαίνεται να πρωτοεμφανίστηκε στην μαθηματική ολυμπιάδα του Καζακστάν, 2013. Υπάρχουν δυο άρθρα του θεματοδότη μαζί με κάποιους άλλους, όπου το πρόβλημα εξετάζεται πιο γενικά. Το πρώτο το οποίο μπορεί να βρεθεί εδώ. Σε αυτό εξετάζεται η περίπτωση $k \geq5$ .

Στο δεύτερο άρθρο, που μπορεί να βρεθεί εδώ, αποδεικνύεται το ζητούμενο και στην περίπτωση k=4

.

Το πρώτο άρθρο υπάρχει στο Mathematical Monthly τεύχος 10 του 2016 και συνδιασμός των παραπάνω δυο με κάποια ακόμη αποτελέσματα στο περιοδικό "Μαθηματική Εκπαίδευση" τέυχος 21 του 2017 (στα ρώσικα), για όσους θέλουν να ασχοληθούν παραπέρα..

Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Re: Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Re: Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Re: Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Re: Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Re: Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Re: Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Re: Ρητοί ως γινόμενο ρητών με άθροισμα μηδέν

Μέλη σε σύνδεση