Αρχιμήδης 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Αρχιμήδης 2017
Παρακαλούμε τα θέματα και η συζήτηση για αυτά να γίνει αμέσως μετά τη λήξη του διαγωνισμού(μετά τις 2 το μεσημέρι) διότι οι μαθητές γράφουν ακόμη.
Φιλικά
Φιλικά
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Αρχιμήδης 2017
Καλημέρα, Αλέξανδρε,cretanman έγραψε:Παρακαλούμε τα θέματα και η συζήτηση για αυτά να γίνει αμέσως μετά τη λήξη του διαγωνισμού(μετά τις 2 το μεσημέρι) διότι οι μαθητές γράφουν ακόμη.
Φιλικά
Έχεις δίκιο!
Φιλικά,
Αχιλλέας
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αρχιμήδης 2017
Αναρωτιέμαι γιατί δεν δείχνουμε την ίδια ευαισθησία στις Πανελλήνιες
Πέρυσι, η πρώτη απάντηση (συμπτωματικά δική μου) δόθηκε στις 10:56(θερινή ώρα), ενώ οι μαθητές έγραφαν.
Πέρυσι, η πρώτη απάντηση (συμπτωματικά δική μου) δόθηκε στις 10:56(θερινή ώρα), ενώ οι μαθητές έγραφαν.
Re: Αρχιμήδης 2017
Καλησπέρα, ο διαγωνισμός των μικρών έχει λήξει. Αν μου επιτραπεί θα παραθέσω τα θέματα. (Τα οποία θεωρώ ήταν πολύ χαμηλής δυσκολίας)
Bye :')
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Το 4ο από εμάς (Seniors) ήταν υπερβολικά δύσκολο. Καλά αποτελέσματα σε όλους.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αρχιμήδης 2017
Πρόβλημα 1(μικρών)
Έστω το σημείο τομής της με το ύψος του τριγώνου Είναι
Εξάλλου,
Άρα,
Έστω το σημείο τομής της με το ύψος του τριγώνου Είναι
Εξάλλου,
Άρα,
Re: Αρχιμήδης 2017
Πώς ήταν;Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Το 4ο από εμάς (Seniors) ήταν υπερβολικά δύσκολο. Καλά αποτελέσματα σε όλους.
Bye :')
Re: Αρχιμήδης 2017
Στα θέματα των μικρών, κατά την γνώμη μου τα ήταν πολύ εύκολα για Αρχιμήδη. Το τώρα απλά ήθελα να φτάσουμε στην σχέση και να δείξουμε ότι το όντως ικανοποιεί.
Bye :')
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Αρχιμήδης 2017
Θέμα 3 Μικρών:
Είναι:
.
Επειδή ο είναι πρώτος και , θα είναι ή .
Έστω ότι . Τότε, θα είναι , οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε .
Με αντικατάσταση στη σχέση βρίσκουμε ότι:
.
Άρα, θα είναι και , οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε .
Τότε, η αρχική σχέση δίνει ότι:
.
Αλλά, αφού οι είναι θετικοί ακέραιοι, θα είναι:
,
οπότε και .
Τελικά, προκύπτει ότι , που προφανώς επαληθεύει τη δοσμένη σχέση.
Είναι:
.
Επειδή ο είναι πρώτος και , θα είναι ή .
Έστω ότι . Τότε, θα είναι , οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε .
Με αντικατάσταση στη σχέση βρίσκουμε ότι:
.
Άρα, θα είναι και , οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε .
Τότε, η αρχική σχέση δίνει ότι:
.
Αλλά, αφού οι είναι θετικοί ακέραιοι, θα είναι:
,
οπότε και .
Τελικά, προκύπτει ότι , που προφανώς επαληθεύει τη δοσμένη σχέση.
τελευταία επεξεργασία από emouroukos σε Σάβ Μαρ 04, 2017 2:16 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Αρχιμήδης 2017
Διαφορετικά ....(Ξέχασα να πάρω την περίπτωση που και οι δύο παράγοντες είναι αρνητικοί που όμως στην ουσία είναι παρόμοιο με το αν είναι θετικοί! και που δεν γίνεται να ισχύσει αφού το αριστέρο μέλος θα είναι μικρότερο. Έπρεπε να την απορρίψω; )emouroukos έγραψε:Θέμα 3 Μικρών:
Είναι:
(1).
Επειδή ο είναι πρώτος και , θα είναι ή .
Έστω ότι . Τότε, θα είναι , οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε .
Με αντικατάσταση στη σχέση (1) βρίσκουμε ότι:
.
Άρα, θα είναι και , οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε .
Τότε, η αρχική σχέση δίνει ότι:
.
Αλλά, αφού οι είναι θετικοί ακέραιοι, θα είναι:
,
οπότε και . Τελικά, προκύπτει ότι , που προφανώς επαληθεύει τη δοσμένη σχέση.
Bye :')
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Αρχιμήδης 2017
Θέμα 2 Μικρών:
Το δοσμένο σύστημα γράφεται ισοδύναμα:
.
Με αφαίρεση της δεύτερης ισότητας από την πρώτη, της τρίτης από τη δεύτερη και της πρώτης από την τρίτη, προκύπτει ότι το δοσμένο σύστημα είναι ισοδύναμο με το
.
Αν δύο από τους αγνώστους είναι ίσοι, για παράδειγμα τότε έχουμε ότι και άρα οπότε έχουμε τη λύση
Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Με πολλαπλασιασμό των παραπάνω εξισώσεων κατά μέλη, βρίσκουμε ότι:
οπότε
πράγμα άτοπο, αφού οι αριθμοί είναι θετικοί.
Ώστε, το σύστημα έχει τη μοναδική λύση
Το δοσμένο σύστημα γράφεται ισοδύναμα:
.
Με αφαίρεση της δεύτερης ισότητας από την πρώτη, της τρίτης από τη δεύτερη και της πρώτης από την τρίτη, προκύπτει ότι το δοσμένο σύστημα είναι ισοδύναμο με το
.
Αν δύο από τους αγνώστους είναι ίσοι, για παράδειγμα τότε έχουμε ότι και άρα οπότε έχουμε τη λύση
Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Με πολλαπλασιασμό των παραπάνω εξισώσεων κατά μέλη, βρίσκουμε ότι:
οπότε
πράγμα άτοπο, αφού οι αριθμοί είναι θετικοί.
Ώστε, το σύστημα έχει τη μοναδική λύση
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Αρχιμήδης 2017
Θέμα 2ο Μικρών.
Πολλαλπλασιάζοντας κατά μέλη τις εξισώσεις του συσστήματος έχουμε
Παρατηρούμε (από τις αρχικές εξισώσεις του συστήματος) ότι όλοι παράγοντες είναι θετικοί. Οπότε από την ανισότητα αριθμιτικού γεωμετρικού μέσου
που ισχύει ως ισότητα. Άρα όλοι παράγοντες είναι ίσοι μεταξύ τους και βρίσκουμε την λύση .
Πολλαλπλασιάζοντας κατά μέλη τις εξισώσεις του συσστήματος έχουμε
Παρατηρούμε (από τις αρχικές εξισώσεις του συστήματος) ότι όλοι παράγοντες είναι θετικοί. Οπότε από την ανισότητα αριθμιτικού γεωμετρικού μέσου
που ισχύει ως ισότητα. Άρα όλοι παράγοντες είναι ίσοι μεταξύ τους και βρίσκουμε την λύση .
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Μαρ 06, 2017 3:48 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: Αρχιμήδης 2017
Καλησπέρα! Οι λύσεις των μεγάλων;JimNt. έγραψε:Καλησπέρα, ο διαγωνισμός των μικρών έχει λήξει. Αν μου επιτραπεί θα παραθέσω τα θέματα. (Τα οποία θεωρώ ήταν πολύ χαμηλής δυσκολίας)
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Εγώ έλυσα τα 2,3. Μου έφαγε όλη την ώρα το 4ο και δεν πρόλαβα γεωμετρία.
- Συνημμένα
-
- 1488629865327969656349.jpg (1.94 MiB) Προβλήθηκε 7608 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Σάβ Μαρ 04, 2017 2:19 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2017
Θέματα μεγάλων τάξεων
- Συνημμένα
-
- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ - Θέματα Μεγάλων.jpg (1.96 MiB) Προβλήθηκε 7618 φορές
The road to success is always under construction
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Αρχιμήδης 2017
Θέμα 1 Μεγάλων:
Επειδή , θα είναι .
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο , έχουμε ότι: .
Επομένως, είναι , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές, με .
Άρα, στο τρίγωνο η διάμεσος ισούται με το μισό της πλευράς και επομένως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με .
Επίσης, τα τρίγωνα και είναι ίσα (αφού έχουν την κοινή, και ). Άρα, θα ισχύει , οπότε, όπως παραπάνω, θα είναι: .
Τελικά, έχουμε ότι , οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 72
- Εγγραφή: Τετ Αύγ 03, 2016 1:57 pm
Re: Αρχιμήδης 2017
Καλησπέρα σας.Αν κατά λάθος,στο θέμα 3 μπερδεύτηκα και εβαλα a=b=4 αντί για 2 χάνω κάποια μονάδα;Η διαδικασία ήταν ολοσωστη απλά μπερδεύτηκα με τα τετράγωνα.
Χατζηγρηγοριάδης Χριστόδουλος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες