ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

giormala · #41

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Athena apo έγραψε:Μπορεί να που πει κάποιος τα αποτελέσματα από το πρώτο και το τέταρτο θέμα της γ γυμνασίου;
Στο ο είναι . Στο τέταρτο αν δεν κάνω λάθος είναι $0<a\le30$ (η ισότητα μπορεί και να μην μπεί, απλά εγώ θεώρησα ότι τον συμφέρει αν η πρώτη διαδρομή με τα πόδια και μετά με το ποδήλατο είναι ίσες σε χρονική διάρκεια.)
Η τελική μου απάντηση ήταν ότι . Έπρεπε να γράφαμε και ότι ; Είναι προφανές!

Και εγώ αυτό έγραψα...δεν έγραψα ότι πρέπει να είναι μεγαλύτερο του 0.

harrisp · #42

JimNt. έγραψε:
george visvikis έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Ναι και εγώ χρησιμοποίησα την ταυτότητα Euler για το πρώτο. Εννοώ απλά, ότι πολλά παιδιά που δεν έχουν κάνει ειδική προετοιμασία σε διαγωνισμούς δεν θα μπορούσαν να ανταποκριθούν.
Συμφωνώ απόλυτα. Στην αίθουσα που βρισκόμουν απο ότι είδα οι περισσότεροι έγραψαν θέματα. Τώρα θα δείξει.
Δεν χρειάζεται η ταυτότητα του Euler. Βγαίνει μια χαρά με αντικατάσταση!
Προγανώς και βγαίνει , όμως πιστεύω ότι η άσκηση φτιάχτηκε για τον σκοπό αυτό (). Επιπλέον, η αντικατάσταση παίρνει αρκετή ώρα και δεν νομίζω ότι ο μαθητής να εξετάζεται τόσο στις πράξεις όσο στον χειρισμό αλγεβρικών στοιχείων...

Ναι μεν η Euler βγάζει μάτι αλλά και με αντικατάσταση και όχι όλες τις πράξεις βγαίνει. (σε ένα σημείο βγάζεις το $\dfrac{3^9}{2^9}$ κοινό παράγοντα και μετά οι πράξεις ελαχιστοποιούνται . . .

WLOG · #43

Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη

giormala · #44

WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη

Εγώ την έλυσα με παράδειγμα...πόσους βαθμούς θα πάρω?

#45

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Αφού ο A^2

είναι ακέραιος, εάν ο $A=\sqrt{n(n+182)}$ είναι ρητός, τότε πρέπει να είναι ακέραιος.

Η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα A^2+91^2=(n+91)^2

ή

$\displaystyle{(n+91-A)(n+91+A)=91^2=7^2\cdot 13^2}$ .

Αφού n+91+A>n+91-A>0

, τα δυνατά ζεύγη

(n+91-A,n+91+A)

είναι $(1, 91^2), (7,7\cdot 13^2), (7^2, 13^2), (13, 7^2\cdot 13),$

δηλαδή

(1, 8281), (7,1183), (49, 169), (13, 637).

Συνεπώς, οι δυνατές τιμές του

$n=\dfrac{(n+91-A)+(n+91+A)}{2}-91$

είναι

$\dfrac{1+8281}{2}-91$ , $\dfrac{7+1183}{2}-91$ , $\dfrac{49+169}{2}-91$ , και $\dfrac{13+637}{2}-91$ , δηλαδή

4050, 504, 18

και

, αντίστοιχα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

JimNt. · #46

giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?

$a. [\frac{10^5}{9}]$

Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του

που δεν διαιρούνται με το

και ακολούθως τα πολλαπλάσια του

που δεν διαιρούνται με το

. Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του

αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του

. $[\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}]$ , ομοίως και για το

. Νομίζω είναι σωστό.

WLOG · #47

giormala έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη
Εγώ την έλυσα με παράδειγμα...πόσους βαθμούς θα πάρω?

Δεν ξερω αλλα μαλλον οχι ολες τις μοναδες επειδη το α δεν ειναι ακεραιος, οποτε το α παιρνει απειρες τιμες

JimNt. · #48

WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη

Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...

simantiris j. · #49

Καλησπέρα σε όλους!Ωραία τα προβλήματα της Γ από τα οποία ξεχωρίζω τη συναρτησιακή.
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιεί $f(2xf(y)+y)+f(2x(y+1))=f(2x+y)+4xy,\forall x,y\in \mathbb{R}$ .
Για

το $\frac{x}{2}$ είναι f(xf(y)+y)+f(x(y+1))=f(x+y)+2xy

(2) όπου για x=1

έχουμε

άρα η

είναι επί και το i) έπεται.
Για y=a

στην (2) τώρα έχουμε $f(x+a)+f(x(a+1))=f(x+a)+2ax\Rightarrow f(x(a+1))=2ax$ .(3)
Αν a=-1

τότε

που για

δίνει άτοπο.
Άρα για

το $\frac{x}{a+1}$ στην (3) είναι $f(x)=\frac{2a}{a+1}x ,\forall x\in \mathbb{R}$ και σε αυτή για x=a

είναι $f(a)=\frac{2a^2}{a+1}\Rightarrow 2a^2-a-1=0\Rightarrow a=1, a=-\frac{1}{2}$ που δίνουν τις συναρτήσεις $f(x)=x ,\forall x \in \mathbb{R}$ ή $f(x)=-2x,\forall x\in \mathbb{R}$ .
Και οι δυο επαληθεύουν άρα είναι λύσεις.

Καλή επιτυχία σε όλους!

WLOG · #50

JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη
Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...

Βγαινει και χωρις την ταχυτητα

JimNt. · #51

WLOG έγραψε:
JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη
Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...
Βγαινει και χωρις την ταχυτητα

Περίγραψε την λύση σου αν θέλεις.

Γιάννης Μπόρμπας · #52

Από την Γ λυκείου έλυσα τα 1,2,4. Η γεωμετρία με ψάρωσε αρκετά. Αναρωτιέμαι πώς λύνεται. Δοκίμασα να το πάω με ριζικούς άξονες αλλά δεν τα κατάφερα. Ίσως και να είναι απλή στην τελική.

WLOG · #53

JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:
JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη
Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...
Βγαινει και χωρις την ταχυτητα
Περίγραψε την λύση σου αν θέλεις.

Τωρα ομως που το ξανασκευτομαι χρησιμοποιω τον τυπο απλα πολυ εμμεσα

giormala · #54

WLOG έγραψε:
giormala έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη
Εγώ την έλυσα με παράδειγμα...πόσους βαθμούς θα πάρω?
Δεν ξερω αλλα μαλλον οχι ολες τις μοναδες επειδη το α δεν ειναι ακεραιος, οποτε το α παιρνει απειρες τιμες

έδωσα σαν απάντηση ότι α είναι μικρότερο του 30...

#55

Πρόβλημα 1-Γ' Γυμνασίου

Χωρίς την ταυτότητα του Euler.

$\displaystyle{A = \frac{{\frac{{{3^{12}}}}{{{2^{12}}}} - \frac{{{3^9}}}{{{2^9}}} - \frac{{{3^9}}}{{{2^{12}}}}}}{{\frac{{{3^4}}}{{{2^4}}} \cdot \frac{{{3^3}}}{{{2^3}}} \cdot \frac{{{3^3}}}{{{2^4}}}}} = \frac{{({3^{12}} - {2^3} \cdot {3^9} - {3^9}){2^{11}}}}{{{2^{12}} \cdot {3^{10}}}} = \frac{{{3^9}({3^3} - {2^3} - 1)}}{{2 \cdot {3^{10}}}} = \frac{{18}}{6} = 3}$

Η ταυτότητα του Euler δεν είναι "τελείως εξωσχολική", όπως ελέχθη πιο πάνω, αφού υπάρχει στις Γενικές Ασκήσεις του 1ου Κεφαλαίου. Όποιος μαθητής δίνει Ευκλείδη, θεωρείται δεδομένο ότι έχει διαβάσει τις Γενικές ασκήσεις.

AthanK · #56

Καλησπέρα και καλά αποτελέσματα σε όλους τους συμμετέχοντες . Μπορεί κάποιος να γράψει τη λύση του πρώτου θέματος της β' λυκείου ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #57

Θεμα 3 Α Λυκείου.
Εστω

το σημείο τομής των διχοτόμων.
Προφανώς $\angle BEC=60$
Επειδή το τρίγωνο BCD

είναι ισοσκελές η

είναι μεσοκάθετος της

Αρα το

είναι ισοσκελές οπότε $\angle CED=\angle BEC=60$
Όμοια και $\angle BEA=60$
Τελικά τα A,E,D

σε ευθεία.

harrisp · #58

JimNt. έγραψε:
giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?
$a. [\frac{10^5}{9}]$
Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του που δεν διαιρούνται με το και ακολούθως τα πολλαπλάσια του που δεν διαιρούνται με το . Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του . $[\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}]$ , ομοίως και για το . Νομίζω είναι σωστό.

Σε εμάς ήρθε διεκρίνιση να σβήσουμε το πρώτο «είτε».

Ας πει κάποιος μεγάλος την τελική απάντηση.

JimNt. · #59

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?
$a. [\frac{10^5}{9}]$
Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του που δεν διαιρούνται με το και ακολούθως τα πολλαπλάσια του που δεν διαιρούνται με το . Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του . $[\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}]$ , ομοίως και για το . Νομίζω είναι σωστό.
Σε εμάς ήρθε διεκρίνιση να σβήσουμε το πρώτο «είτε».

Ας πει κάποιος μεγάλος την τελική απάντηση.

Και σε εμάς το ίδιο. Ωστόσο η σημασία δεν νομίζω ότι αλλάζει. Εσύ πώς το ερμήνευσες;

giormala · #60

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?
$a. [\frac{10^5}{9}]$
Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του που δεν διαιρούνται με το και ακολούθως τα πολλαπλάσια του που δεν διαιρούνται με το . Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του . $[\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}]$ , ομοίως και για το . Νομίζω είναι σωστό.
Σε εμάς ήρθε διεκρίνιση να σβήσουμε το πρώτο «είτε».

Ας πει κάποιος μεγάλος την τελική απάντηση.
Και σε εμάς το ίδιο. Ωστόσο η σημασία δεν νομίζω ότι αλλάζει. Εσύ πώς το ερμήνευσες;

ΚΑΙ ΣΕ ΕΜΑΣ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μέλη σε σύνδεση