Φρέσκια κατασκευή

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..

: Φρέσκια κατασκευή.PNG (5.91 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC

και

το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο και το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο, Καλημέρα σε όλους!

: Φρέσκια κατασκευή.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Ανάλυση: Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το

είναι και περίκεντρο, οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος διέρχεται από το

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου και FM=MC=x, AF=y.

Είναι:

$\displaystyle{\frac{{AM}}{a} = \frac{y}{{2x}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AM = \frac{{ay}}{{2x}}}$ και $\displaystyle{2{x^2} = y(y + a) \Leftrightarrow }$ $\boxed{{x^2} = \frac{{{y^2} + ay}}{2}}$ Από αυτές τις δύο σχέσεις και από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο AMF

με απαλοιφή του

, καταλήγουμε στην εξίσωση:

$\displaystyle{{y^2} + ay - {a^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{a(\sqrt 5 - 1)}}{2}}$ ή $\boxed{y = \frac{a}{\Phi }}$

(Θα μπορούσαμε με απαλοιφή του

να πούμε ότι $\displaystyle{x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}$ , αλλά ξέρω ότι έχεις ιδιαίτερη αδυναμία στο γράμμα $\Phi$

)

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο και το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα στους αγαπητούς Γιώργο και Γιώργο. Καλησπέρα σε όλους .

δείτε κι αυτό : Από το μέσο της

φέρνω παράλληλη στην

που τέμνει τον κύκλο του τριγώνου ABC

στο

και μετά η

τη προέκταση της

στο ζητούμενο σημείο

.

: κατασκευή Μίτσιου.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Σε ότι αφορά τους υπολογισμούς ( που η άσκηση δεν τους απαιτεί) , θέτουμε τη

πλευρά του ισοπλεύρου $\vartriangle ABC$ με

και $\boxed{MN = x}$ οπότε $\boxed{AF = 2x}$

Η

τέμνει ακόμα τον κύκλο (A,B,C)

στο

και την

στο

κι έχουμε:

$MN \cdot NE = AN \cdot NC \Rightarrow \boxed{x(a + x) = {a^2}}$ κλασσική περίπτωση χρυσής τομής του

ευθυγράμμου τμήματος $\boxed{AN = a}$ .

: Φρέσκια κατασκευή Μίτσιου.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Φιλικά, Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο και το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα..

Έστω $\displaystyle{\alpha }$ η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου

Η παράλληλη από το $\displaystyle{M}$ προς την $\displaystyle{BF}$ περνά από το μέσον $\displaystyle{D}$ της $\displaystyle{BC}$ και $\displaystyle{\angle BAD = \angle MDA = {30^0}}$

Είναι, $\displaystyle{AD = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = GM = \frac{2}{3}\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{3}}$ και $\displaystyle{GD = \frac{1}{3}\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}}$ κι ακόμη $\displaystyle{DM = \frac{{\alpha + x}}{2}}$

Με ν. συνημιτόνων στο $\displaystyle{\vartriangle MGD}$ καταλήγουμε στην εξίσωση $\displaystyle{{x^2} + ax - {a^2} = 0}$ με δεκτή λύση $\displaystyle{\boxed{x = \frac{a}{\varphi }}}$

: fk.png (9.58 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #5

Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα.

: Φρέσκια επέκταση.PNG (8.69 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το

στην προέκταση της

ώστε τα

και

να είναι ίσα .Τότε

1) Να δειχθεί ότι το είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου ABC

2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου GEM

προς αυτό του τριγώνου BAG

είναι ..

.. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !

Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι

3) Η γωνία είναι μικρότερη από μοίρες .

Φιλικά Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα.
Φρέσκια επέκταση.PNG

Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το στην προέκταση της ώστε τα και να είναι ίσα .Τότε

1) Να δειχθεί ότι το είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου

2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς αυτό του τριγώνου
είναι .. .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !

Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι

3) Η γωνία είναι μικρότερη από μοίρες .

Φιλικά Γιώργος.

Γεια σου Γιώργο.Δίνω μια μια απάντηση στα πρόσθετα ερωτήματα.Ίσως υπάρχει ευκολότερη

Είναι $\displaystyle{GK = GD}$ και $\displaystyle{FG = GE}$ .Άρα $\displaystyle{\vartriangle FKG = \vartriangle GDE \Rightarrow AF = CE \Rightarrow BF = BE}$

κι επειδή $\displaystyle{\angle EBF = {60^0} \Rightarrow \vartriangle FBE}$ ισόπλευρο άρα $\displaystyle{BG \bot FE}$ με $\displaystyle{Z}$ μέσον της $\displaystyle{FE}$

Έτσι , $\displaystyle{MZ//BE \Rightarrow \angle MZB = \angle ZBE = {30^0} = \angle MDA}$ (Είναι $\displaystyle{MD//FB}$ ).Άρα, $\displaystyle{DGMZ}$ εγγράψιμο

Ακόμη, $\displaystyle{MD = \frac{{BF}}{2} = \frac{{FE}}{2} = ZE \Rightarrow MZED}$ ισοσκελές τραπέζιο άρα εγγράψιμο στον ίδιο κύκλο με το $\displaystyle{DGMZ}$

Επομένως $\displaystyle{\angle GME = {90^0}}$ και $\displaystyle{\angle MEG = {30^0}}$

Είναι $\displaystyle{D{E^2} = {\left( {\frac{\alpha }{2} + \frac{\alpha }{\varphi }} \right)^2} = \frac{{5{\alpha ^2}}}{4}}$ και $\displaystyle{ \Rightarrow G{M^2} + M{E^2} = G{D^2} + D{E^2} \Rightarrow {\left( {\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + M{E^2} = {\left( {\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + \frac{{5{\alpha ^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{ME = \alpha }}$

$\displaystyle{\frac{{\left( {MEG} \right)}}{{\left( {ABG} \right)}} = \frac{{ME \cdot EG}}{{AB \cdot AG}} = \frac{{EG}}{{AG}} = \frac{{2GM}}{{AG}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {MEG} \right)}}{{\left( {ABG} \right)}} = 2}}$

$\displaystyle{MZ = \frac{{CE}}{2} = \frac{\alpha }{{2\varphi }} = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{4} > GD = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}}$ .Άρα για τις εγγεγραμμένες γωνίες $\displaystyle{\omega ,\varphi }$ είναι $\displaystyle{\omega > \varphi }$

Επειδή $\displaystyle{\angle MEG = {30^0}}$ ,αν ήταν $\displaystyle{\angle MEC \geqslant {45^0}}$ θα είναι $\displaystyle{{30^0} + \varphi \geqslant {45^0} \Rightarrow \varphi \geqslant {15^0} \Rightarrow \omega > {15^0}}$ κι έτσι $\displaystyle{{60^0} = \angle ZED = {30^0} + \omega + \varphi > {60^0}}$ που είναι άτοπο .

Επομένως $\displaystyle{\boxed{\angle MEC < {{45}^0}}}$

: fk.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλημέρα. Μιχάλη σ' ευχαριστώ και πάλι για την πλήρη κάλυψη των πρόσθετων ερωτημάτων !
Δίνω απαντήσεις με παραλλαγή και χρήση στοιχείων από τη λύση του Μιχάλη.

: Φρέσκια-πρόσθετα.PNG (11.18 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

Το τρίγωνο FEB

είναι ισόπλευρο άρα $EC=\dfrac{\alpha }{\Phi} ...EB=\alpha \Phi$

Βρίσκουμε (όπως ο Μιχάλης) ότι τα D,G,M,Z,E

είναι ομοκυκλικά και το τρίγωνο MEG

του τύπου $\left ( 30^{0},60^{0} ,90^{0}\right )$ .

Τότε το

είναι εφαπτόμενο στον περίκυκλο του ABC

άρα $ME^{2}=EC\cdot EB=\dfrac{\alpha }{\Phi} \cdot \alpha \Phi =\alpha ^{2}\Rightarrow {\color{Blue} ME=\alpha }$

Είναι $\widehat{BAG}=30^{0}..\widehat{GME}=90^{0}$ οπότε (βλ. σχήμα) $\dfrac{\left (MEG \right )}{\left ( BAG \right )}=\dfrac{\eta \mu 90^{0}}{\eta \mu 30^{0}}=2$

Για το γ ερώτημα ας προχωρήσουμε.. πισωπατώντας : Θέλουμε $\widehat{MEC}< 45^{0}$ ενώ $\widehat{FEB}= 60^{0}$ ..άρα αρκεί $\widehat{FEM}> 60^{0}$ .

Είναι $\widehat{MEG}= 30^{0}$ συνεπώς αρκεί $\widehat{FEG}> 45^{0}$ ..δηλ. στο ισοσκελές FEG

αρκεί $\widehat{FGE}< 90^{0}.$

Πράγματι είναι ( από νόμο συνημιτόνων στο GAF

): $FG^{2}=..=\dfrac{4}{3}\alpha ^{2}=GE^{2}$

άρα τελικά αρκεί να δείξουμε $FE^{2}< FG^{2}+GE^{2}\Leftrightarrow \Phi ^{2}< \dfrac{8}{3}$ που ισχύει.

Φιλικά Γιώργος

Φρέσκια κατασκευή

Φρέσκια κατασκευή

Re: Φρέσκια κατασκευή

Re: Φρέσκια κατασκευή

Re: Φρέσκια κατασκευή

Re: Φρέσκια κατασκευή

Re: Φρέσκια κατασκευή

Re: Φρέσκια κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση