Φρέσκια κατασκευή
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Φρέσκια κατασκευή
Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο και το βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Φρέσκια κατασκευή
Καλημέρα Γιώργο, Καλημέρα σε όλους!Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο και το βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Ανάλυση: Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το είναι και περίκεντρο, οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος διέρχεται από το Έστω η πλευρά του ισοπλεύρου και Είναι:
και Από αυτές τις δύο σχέσεις και από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο με απαλοιφή του , καταλήγουμε στην εξίσωση:
ή
(Θα μπορούσαμε με απαλοιφή του να πούμε ότι , αλλά ξέρω ότι έχεις ιδιαίτερη αδυναμία στο γράμμα )
Re: Φρέσκια κατασκευή
Καλησπέρα στους αγαπητούς Γιώργο και Γιώργο. Καλησπέρα σε όλους .Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο και το βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
δείτε κι αυτό : Από το μέσο της φέρνω παράλληλη στην που τέμνει τον κύκλο του τριγώνου στο και μετά η
τη προέκταση της στο ζητούμενο σημείο .
Σε ότι αφορά τους υπολογισμούς ( που η άσκηση δεν τους απαιτεί) , θέτουμε τη
πλευρά του ισοπλεύρου με και οπότε
Η τέμνει ακόμα τον κύκλο στο και την στο κι έχουμε:
κλασσική περίπτωση χρυσής τομής του
ευθυγράμμου τμήματος .
Φιλικά, Νίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Φρέσκια κατασκευή
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο και το βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα..
Έστω η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου
Η παράλληλη από το προς την περνά από το μέσον της και
Είναι, και κι ακόμη
Με ν. συνημιτόνων στο καταλήγουμε στην εξίσωση με δεκτή λύση
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Φρέσκια κατασκευή
Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα. Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το στην προέκταση της ώστε τα και να είναι ίσα .Τότε
1) Να δειχθεί ότι το είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου
2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς αυτό του τριγώνου
είναι .. .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !
Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι
3) Η γωνία είναι μικρότερη από μοίρες .
Φιλικά Γιώργος.
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα. Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το στην προέκταση της ώστε τα και να είναι ίσα .Τότε
1) Να δειχθεί ότι το είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου
2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς αυτό του τριγώνου
είναι .. .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !
Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι
3) Η γωνία είναι μικρότερη από μοίρες .
Φιλικά Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Φρέσκια κατασκευή
Γεια σου Γιώργο.Δίνω μια μια απάντηση στα πρόσθετα ερωτήματα.Ίσως υπάρχει ευκολότερηΓιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα.
Φρέσκια επέκταση.PNG
Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το στην προέκταση της ώστε τα και να είναι ίσα .Τότε
1) Να δειχθεί ότι το είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου
2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς αυτό του τριγώνου
είναι .. .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !
Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι
3) Η γωνία είναι μικρότερη από μοίρες .
Φιλικά Γιώργος.
Είναι και .Άρα
κι επειδή ισόπλευρο άρα με μέσον της
Έτσι , (Είναι ).Άρα, εγγράψιμο
Ακόμη, ισοσκελές τραπέζιο άρα εγγράψιμο στον ίδιο κύκλο με το
Επομένως και
Είναι και
.Άρα για τις εγγεγραμμένες γωνίες είναι
Επειδή ,αν ήταν θα είναι κι έτσι που είναι άτοπο .
Επομένως
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Φρέσκια κατασκευή
Καλημέρα. Μιχάλη σ' ευχαριστώ και πάλι για την πλήρη κάλυψη των πρόσθετων ερωτημάτων !
Δίνω απαντήσεις με παραλλαγή και χρήση στοιχείων από τη λύση του Μιχάλη. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο άρα
Βρίσκουμε (όπως ο Μιχάλης) ότι τα είναι ομοκυκλικά και το τρίγωνο του τύπου .
Τότε το είναι εφαπτόμενο στον περίκυκλο του άρα
Είναι οπότε (βλ. σχήμα)
Για το γ ερώτημα ας προχωρήσουμε.. πισωπατώντας : Θέλουμε ενώ ..άρα αρκεί .
Είναι συνεπώς αρκεί ..δηλ. στο ισοσκελές αρκεί
Πράγματι είναι ( από νόμο συνημιτόνων στο ):
άρα τελικά αρκεί να δείξουμε που ισχύει.
Φιλικά Γιώργος
Δίνω απαντήσεις με παραλλαγή και χρήση στοιχείων από τη λύση του Μιχάλη. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο άρα
Βρίσκουμε (όπως ο Μιχάλης) ότι τα είναι ομοκυκλικά και το τρίγωνο του τύπου .
Τότε το είναι εφαπτόμενο στον περίκυκλο του άρα
Είναι οπότε (βλ. σχήμα)
Για το γ ερώτημα ας προχωρήσουμε.. πισωπατώντας : Θέλουμε ενώ ..άρα αρκεί .
Είναι συνεπώς αρκεί ..δηλ. στο ισοσκελές αρκεί
Πράγματι είναι ( από νόμο συνημιτόνων στο ):
άρα τελικά αρκεί να δείξουμε που ισχύει.
Φιλικά Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες