Νωρίς ακόμα (2)...
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Νωρίς ακόμα (2)...
Μία ακόμα κατασκευή.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν:
, για κάθε .
(α.i.) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
(β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη:
(γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη με , για κάθε .
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία .
Φιλικά,
Μάριος
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν:
, για κάθε .
(α.i.) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
(β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη:
(γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη με , για κάθε .
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία .
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Νωρίς ακόμα (2)...
Από τη σχέση βγάζουμεM.S.Vovos έγραψε:
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν:
, για κάθε
(α.i.) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
(β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη:
(γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη με , για κάθε .
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία .
Φιλικά,
Μάριος
Συνεπώς και . Επειδή η είναι συνεχής στο και σε αυτό είναι μη μηδενιζόμενη ( αφού από τα δεδομένα δίδεται ότι το σύνολο αφίξεως είναι το ) θα διατηρεί πρόσημο. Εφόσον συνάγουμε ότι για κάθε .
(α)
(ι) Από τη σχέση έχουμε
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ( γνήσια ) φθίνουσα αφού . 'Όμως η είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα οπότε σε αυτό λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Επειδή είναι φθίνουσα η ελάχιστη τιμή είναι η και η μέγιστη η . Θα δείξουμε ότι για κάθε . Πράγματι:
Το ζητούμενο έπεται άμεσα.
(ιι) Από τη σχέση που αποδείξαμε λίγο πριν πάνω , αν κάνουμε τη συμπλήρωση τετραγώνων , έχουμε:
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και μη μηδενιζόμενη σε αυτό , διότι αν είχε ρίζα τότε , έστω , η για θα έδινε το οποίο προφανώς είναι άτοπο. Οπότε η διατηρεί πρόσημο και μάλιστα θετικό αφού . Άρα
(β) Η είναι γνήσια αύξουσα ( απλό με τον ορισμό αφού δουλεύουμε στο ). Οπότε η μέγιστη τιμή της είναι η και η ελάχιστη είναι η . Οπότε για κάθε είναι και για κάθε είναι . Παρατηρούμε ότι η εξίσωση γράφεται ως:
Από τη παραπάνω ανάλυση εύκολα διαπιστώνουμε τώρα ότι το πρώτο μέλος είναι θετικό ενώ το δεύτερο αρνητικό. Άρα η εξίσωση δε μπορεί να έχει λύση.
(γ) Ως γνήσια αύξουσα συνάρτηση η είναι αντιστρέψιμη. Το πεδίο τιμών της είναι το . Για την εύρεση της αντίστροφης θέτουμε και αρκεί να λύσουμε ως προς . Όμως:
Άρα όντως .
(δ) Το εμβαδόν που περικλείεται της γραφικής παράστασης της , των αξόνων και της ευθείας είναι ίσο με
Αρχικά θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα . Ας το ονομάσουμε . Τότε:
Οπότε . Γυρνώντας πίσω στη παίρνουμε ότι το ζητούμενο εμβαδόν έχει τιμή ίση με:
Ωραία ασκησούλα!!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Νωρίς ακόμα (2)...
Αφού ευχαριστήσω τον Τόλη , να δώσω μια διαφορετική προσέγγιση που "πατά" σε δύο πράγματα:
1) Ένα πολύ γνωστό λήμμα και το βασικότερο,
2) χρησιμοποιούμε τα προηγούμενα ερωτήματα.
Λήμμα
Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και σε ένα διάστημα , τότε θεωρώντας ότι η είναι συνεχής, ισχύει:
Απόδειξη
Για το .
Θέτουμε , οπότε .
Για έχουμε αντίστοιχα . Επομένως:
Και άρα:
Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
Φιλικά,
Μάριος
1) Ένα πολύ γνωστό λήμμα και το βασικότερο,
2) χρησιμοποιούμε τα προηγούμενα ερωτήματα.
Λήμμα
Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και σε ένα διάστημα , τότε θεωρώντας ότι η είναι συνεχής, ισχύει:
Απόδειξη
Για το .
Θέτουμε , οπότε .
Για έχουμε αντίστοιχα . Επομένως:
Και άρα:
Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες