Μία δύσκολη Διαιρετότητα
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Μία δύσκολη Διαιρετότητα
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους μεγαλύτερους του ώστε:
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μία δύσκολη Διαιρετότητα
Καλημέρα Χάρη,
Μία προσπάθεια με
Αρχικά, υποθέτουμε ότι , όπου ο μικρότερος πρώτος, τέτοιος ώστε ώστε και έστω , ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ισχύει .
Άρα έχουμε και από μικρό θεώρημα του
άρα αν τότε θα υπάρχει ένας πρώτος παράγοντας του όπου θα διαιρεί τον , άτοπο.Άρα
πρέπει .
Τώρα, έστω περιττός πρώτος και άρα από την δοθείσα έχουμε και άρα από εδώ έπεται πως άτοπο γιατί τότε .Άρα .
Τώρα, από την τελευταία διαπίστωση έχουμε ότι και περιττός.
Επίσης, η γράφεται( αφου p=2)
Ακόμη, παρατηρούμε ότι και άρα (***) το οποίο ισχύει μόνο αν , καθώς αν τότε .Άρα αφού ισχύει η ισότητα στην τότε θα πρέπει να ισχύει και στην και άρα και .
Επομένως, αφού και έπεται ότι είναι περιττός.Επιπλέον , η δοθείσα γράφεται
και όπως και στην αρχή θα υποθέσουμε ότι , όπου ο μικρότερος πρώτος, τέτοιος ώστε ,και άρα περιττός, και ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ισχύει .Από τις τελευταίες έπεται ότι και και άρα πρέπει γιατί αλλιώς ο θα έχει μικρότερο πρώτο παράγοντα από το .
Επομένως , , πράγμα αδύνατο αν , και άρα συμπεραίνουμε ότι .Άρα μοναδική λύση η
Φιλικά,
Θράσος
Μία προσπάθεια με
Αρχικά, υποθέτουμε ότι , όπου ο μικρότερος πρώτος, τέτοιος ώστε ώστε και έστω , ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ισχύει .
Άρα έχουμε και από μικρό θεώρημα του
άρα αν τότε θα υπάρχει ένας πρώτος παράγοντας του όπου θα διαιρεί τον , άτοπο.Άρα
πρέπει .
Τώρα, έστω περιττός πρώτος και άρα από την δοθείσα έχουμε και άρα από εδώ έπεται πως άτοπο γιατί τότε .Άρα .
Τώρα, από την τελευταία διαπίστωση έχουμε ότι και περιττός.
Επίσης, η γράφεται( αφου p=2)
Ακόμη, παρατηρούμε ότι και άρα (***) το οποίο ισχύει μόνο αν , καθώς αν τότε .Άρα αφού ισχύει η ισότητα στην τότε θα πρέπει να ισχύει και στην και άρα και .
Επομένως, αφού και έπεται ότι είναι περιττός.Επιπλέον , η δοθείσα γράφεται
και όπως και στην αρχή θα υποθέσουμε ότι , όπου ο μικρότερος πρώτος, τέτοιος ώστε ,και άρα περιττός, και ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ισχύει .Από τις τελευταίες έπεται ότι και και άρα πρέπει γιατί αλλιώς ο θα έχει μικρότερο πρώτο παράγοντα από το .
Επομένως , , πράγμα αδύνατο αν , και άρα συμπεραίνουμε ότι .Άρα μοναδική λύση η
Φιλικά,
Θράσος
τελευταία επεξεργασία από thrassos σε Κυρ Ιαν 22, 2017 6:47 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Μία δύσκολη Διαιρετότητα
Μια προσπάθεια, αν και δεν είμαι πολύ σίγουρος...
Έστω ένας πρώτος που διαιρεί το , με . Έστω , με . Ακόμη έστω . Από το θεώρημα προκύπτει ότι
Ακόμη ισχύει ότι . Συνεπώς για να ισχύει ότι , πρέπει να ισχύει ότι .
Όμως, αφού και , ισχύει ότι . Άρα πρέπει να ισχύει ότι άτοπο.
Άρα πρέπει να ισχύει ότι , με .
Η σχέση μας γίνεται
Συνεπώς, ισχύει ότι και με . Όμως , άρα και , άρα . Επειδή ισχύει ότι , άρα και ή . Δεκτή μόνο η περίπτωση .
Μοναδική λύση λοιπόν είναι η
Edit: Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Θράσος... με παρόμοιο σκεπτικό!
Έστω ένας πρώτος που διαιρεί το , με . Έστω , με . Ακόμη έστω . Από το θεώρημα προκύπτει ότι
Ακόμη ισχύει ότι . Συνεπώς για να ισχύει ότι , πρέπει να ισχύει ότι .
Όμως, αφού και , ισχύει ότι . Άρα πρέπει να ισχύει ότι άτοπο.
Άρα πρέπει να ισχύει ότι , με .
Η σχέση μας γίνεται
Συνεπώς, ισχύει ότι και με . Όμως , άρα και , άρα . Επειδή ισχύει ότι , άρα και ή . Δεκτή μόνο η περίπτωση .
Μοναδική λύση λοιπόν είναι η
Edit: Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Θράσος... με παρόμοιο σκεπτικό!
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες