Δυνατές διαδρομές και πρώτοι
Συντονιστές: Demetres, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Δυνατές διαδρομές και πρώτοι
Τετράγωνο πλευράς όπου θετικός ακέραιος διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα όπως στο σχήμα. (Περίπτωση για ) Στην συνέχεια φέρνουμε την διαγώνιο του κάθε μοναδιαίου τετραγώνου που είναι παράλληλη με την . Μία αράχνη ξεκινάει από το θέλοντας να φτάσει στο μέσω των ευθυγράμμων τμημάτων υπό τις εξής προϋποθέσεις:
1)Πρέπει να κινείται προς τα πάνω ή προς τα δεξιά
2)Μπορεί να διασχίσει ένα διαγώνιο ευθύγραμμο τμήμα από πάνω-αριστερά προς κάτω-δεξιά μήκους αν στην αμέσως προηγούμενη κίνηση κινήθηκε προς τα πάνω.
Έστω το πλήθος των διαδρομών που μπορεί να διασχίσει η αράχνη για να φτάσει στο από το . Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε .
Δυστυχώς δεν έχω μάθει να χειρίζομαι το Geogebra οπότε το σχήμα είναι σε Screenshot.
1)Πρέπει να κινείται προς τα πάνω ή προς τα δεξιά
2)Μπορεί να διασχίσει ένα διαγώνιο ευθύγραμμο τμήμα από πάνω-αριστερά προς κάτω-δεξιά μήκους αν στην αμέσως προηγούμενη κίνηση κινήθηκε προς τα πάνω.
Έστω το πλήθος των διαδρομών που μπορεί να διασχίσει η αράχνη για να φτάσει στο από το . Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε .
Δυστυχώς δεν έχω μάθει να χειρίζομαι το Geogebra οπότε το σχήμα είναι σε Screenshot.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δυνατές διαδρομές και πρώτοι
Βάζουμε συντεταγμένες ώστε κάτω αριστερά να έχουμε συντεταγμένες και πάνω δεξιά .
Γράφουμε για το πλήθος των δυνατών διαδρομών ώστε να φτάσουμε στο σημείο .
Παρατηρούμε ότι:
για κάθε
για κάθε το οποίο επαγωγικά δίνει για κάθε .
για κάθε και . (Προσοχή. Αυτό δεν ισχύει για .) Γράφοντας τους πρώτους λίγους όρους δεν αργούμε να μαντέψουμε ότι
για και . Η απόδειξη είναι με απλή επαγωγή.
Επομένως για κάθε .
Επιπλέον για περιττό. Επίσης .
Τέλος παρατηρούμε ότι για κάθε . Επαγωγικά καταλήγουμε στο για κάθε
Εν τέλει, έχουμε .
Άρα αν και μόνο αν .
Γράφουμε για το πλήθος των δυνατών διαδρομών ώστε να φτάσουμε στο σημείο .
Παρατηρούμε ότι:
για κάθε
για κάθε το οποίο επαγωγικά δίνει για κάθε .
για κάθε και . (Προσοχή. Αυτό δεν ισχύει για .) Γράφοντας τους πρώτους λίγους όρους δεν αργούμε να μαντέψουμε ότι
για και . Η απόδειξη είναι με απλή επαγωγή.
Επομένως για κάθε .
Επιπλέον για περιττό. Επίσης .
Τέλος παρατηρούμε ότι για κάθε . Επαγωγικά καταλήγουμε στο για κάθε
Εν τέλει, έχουμε .
Άρα αν και μόνο αν .
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Δυνατές διαδρομές και πρώτοι
Επίσης ισχύει ότιDemetres έγραψε:Βάζουμε συντεταγμένες ώστε κάτω αριστερά να έχουμε συντεταγμένες και πάνω δεξιά .
Γράφουμε για το πλήθος των δυνατών διαδρομών ώστε να φτάσουμε στο σημείο .
Παρατηρούμε ότι:
για κάθε
για κάθε το οποίο επαγωγικά δίνει για κάθε .
για κάθε και . (Προσοχή. Αυτό δεν ισχύει για .) Γράφοντας τους πρώτους λίγους όρους δεν αργούμε να μαντέψουμε ότι
για και . Η απόδειξη είναι με απλή επαγωγή.
Επομένως για κάθε .
Επιπλέον για περιττό. Επίσης .
Τέλος παρατηρούμε ότι για κάθε . Επαγωγικά καταλήγουμε στο για κάθε
Εν τέλει, έχουμε .
Άρα αν και μόνο αν .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες