Ολοκλήρωμα με πολυλογάριθμο και τόξο εφαπτομένης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2859
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα με πολυλογάριθμο και τόξο εφαπτομένης

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Tolaso J Kos » Σάβ Δεκ 31, 2016 9:09 pm

Ας δηλώνει το {\rm Li}_2 το διλογάριθμο. Δειχθήτω:

\displaystyle{\int_0^{\infty}\ {\rm Li}_2 \left(e^{-\pi x}\right)\arctan x\,{\rm d}x =\frac{\pi^2}{18} - \frac{3 \zeta(3)}{8}}

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η γενίκευση για τον n -οστό πολυλογάριθμο. Θα τη δώσω αν απαντηθεί το θέμα.

Καλή χρονιά σε όλους. :mathexmastree: :santalogo:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με πολυλογάριθμο και τόξο εφαπτομένης

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Σεραφείμ » Τετ Ιαν 11, 2017 3:36 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Δειχθήτω: \displaystyle{\int_0^{\infty}\ {\rm Li}_2 \left(e^{-\pi x}\right)\arctan x\,{\rm d}x =\frac{\pi^2}{18} - \frac{3 \zeta(3)}{8}}
Κάποια λήμματα ..

\displaystyle{L1:\quad \int\limits_0^\infty  {{e^{ - \pi nx}} \cdot arc\tan x\;dx}  = \frac{{ - 1}}{{n \cdot \pi }}\int\limits_0^\infty  {{{\left( {{e^{ - \pi nx}}} \right)}{'}} \cdot arc\tan x\;dx}  = \frac{{ - 1}}{{n \cdot \pi }}\left[ {{e^{ - \pi nx}}arc\tan x} \right]_0^\infty  + \int\limits_0^\infty  {\frac{{{e^{ - \pi nx}}}}{{1 + {x^2}}}dx}  = \int\limits_0^\infty  {\frac{{{e^{ - \pi nx}}}}{{1 + {x^2}}}dx} }

\displaystyle{L2:\quad \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \int\limits_0^\infty  {\sin y \cdot {e^{ - xy}}dy\,} } (Μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης \displaystyle{\sin y} )

\displaystyle{L3:\quad \int\limits_0^\infty  {{e^{ - x\left( {n\pi  + y} \right)}}} dx\, = \frac{{ - 1}}{{n\pi  + y}}\left[ {{e^{ - x\left( {n\pi  + y} \right)}}} \right]_0^\infty  = \frac{1}{{n\pi  + y}}}

\displaystyle{L4:\quad \int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin y}}{y}dy}  = \frac{\pi }{2}} (θεωρείται πολύ γνωστό)

\displaystyle{L5:\quad \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}}}  =  - \frac{3}{4} \cdot \zeta \left( 3 \right)} (φανερό)

\displaystyle{L6:\quad L{i_3}\left( { - {e^{ix}}} \right) - L{i_3}\left( { - {e^{ - ix}}} \right) = \frac{i}{6}\left( {{x^3} - {\pi ^2}x} \right)} διότι από εδώ http://functions.wolfram.com/ZetaFuncti ... owAll.html γνωρίζουμε ότι για \displaystyle{z \notin \left( {0,1} \right)} ισχύει \displaystyle{L{i_3}\left( z \right) - L{i_3}\left( {\frac{1}{z}} \right) =  - \frac{1}{6}\left( {{{\log }^3}\left( { - z} \right) + {\pi ^2}\log \left( { - z} \right)} \right)} οπότε \displaystyle{L{i_3}\left( { - {e^{ix}}} \right) - L{i_3}\left( { - {e^{ - ix}}} \right) =  - \frac{1}{6}{\log ^3}\left( {{e^{ix}}} \right) - \frac{{{\pi ^2}}}{6}\log \left( {{e^{ix}}} \right) = \frac{i}{6}\left( {{x^3} - {\pi ^2}x} \right)}

Στο θέμα μας ..

\displaystyle{I = \int\limits_0^\infty  {L{i_2}\left( {{e^{ - \pi x}}} \right) \cdot arc\tan x\;dx}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^2}}}} \int\limits_0^\infty  {{e^{ - \pi nx}} \cdot arc\tan x\;dx} \mathop  = \limits^{L1} \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^3}}}} \int\limits_0^\infty  {\frac{{{e^{ - \pi nx}}}}{{1 + {x^2}}}dx} \mathop  = \limits^{L2} }

\displaystyle{ = \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^3}}}} \int\limits_0^\infty  {{e^{ - \pi nx}}\int\limits_0^\infty  {\sin y \cdot {e^{ - xy}}dy\,} dx}  = \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^3}}}} \int\limits_0^\infty  {\sin y\int\limits_0^\infty  { \cdot {e^{ - x\left( {n\pi  + y} \right)}}} dx\,dy} \mathop  = \limits^{L3} } \displaystyle{\frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^3}}}} \int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin y}}{{n\pi  + y}}dy}  = }

\displaystyle{ = \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}}} \int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\pi  + y} \right)}}{{n\pi  + y}}dy} \mathop  = \limits^{n\pi  + y \to y} \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}}} \int\limits_{n \cdot \pi }^\infty  {\frac{{\sin y}}{y}dy}  = } \displaystyle{\frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}}} \left( {\int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin y}}{y}dy}  - \int\limits_0^{n \cdot \pi } {\frac{{\sin y}}{y}dy} } \right)\mathop  = \limits^{L4} }

\displaystyle{ = \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}}} \left( {\frac{\pi }{2} - \int\limits_0^{n \cdot \pi } {\frac{{\sin y}}{y}dy} } \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}}}  - \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^3}}}} \int\limits_0^{n \cdot \pi } {\frac{{\sin y}}{y}dy} } \displaystyle{\mathop  = \limits^{L5} \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^3}}}} \int\limits_0^{n \cdot \pi } {\frac{{\sin y}}{y}dy}  - }

\displaystyle{ - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right)\mathop  = \limits^{y = nx} \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^3}}}} \int\limits_0^\pi  {\frac{{\sin nx}}{x}dx}  - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right) = } \displaystyle{\frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot i}}\int\limits_0^\pi  {\frac{1}{x}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left( {{e^{inx}} - {e^{ - inx}}} \right)}}{{{n^3}}}} }  - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right) = }

\displaystyle{ =  - \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot i}}\int\limits_0^\pi  {\frac{1}{x}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\frac{{{{\left( { - {e^{ix}}} \right)}^n}}}{{{n^3}}} - \frac{{{{\left( { - {e^{ - ix}}} \right)}^n}}}{{{n^3}}}} \right)} \,dx}  - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right) = } \displaystyle{ - \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot i}}\int\limits_0^\pi  {\frac{1}{x}\left( {L{i_3}\left( { - {e^{ix}}} \right) - L{i_3}\left( { - {e^{ - ix}}} \right)} \right)dx}  - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right)\mathop  = \limits^{L6} }

\displaystyle{ =  - \frac{1}{{12 \cdot \pi }}\int\limits_0^\pi  {\left( {{x^2} - {\pi ^2}} \right)dx}  - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right) =  - \frac{1}{{12 \cdot \pi }}\left( { - \frac{{2{\pi ^3}}}{3}} \right) - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{{18}} - \frac{3}{8} \cdot \zeta \left( 3 \right)}

Σίγουρα μπορεί να γενικευτεί με πολυλογάριθμο άρτιας τάξης, γιατί βοηθάει η συναρτησιακή των πολυλογαρίθμων. Για περιττή τάξη .. χμ ..

:)




Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2859
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με πολυλογάριθμο και τόξο εφαπτομένης

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 11, 2017 5:17 pm

Σεραφείμ έγραψε:Σίγουρα μπορεί να γενικευτεί με πολυλογάριθμο άρτιας τάξης, γιατί βοηθάει η συναρτησιακή των πολυλογαρίθμων. Για περιττή τάξη .. χμ ..


Γεια σου Σεραφείμ από τα χιονισμένα ( με αρκετό χιόνι ) Φάρσαλα. Όντως για n=2m είναι

\displaystyle{I_{2m} = \frac{(-1)^m \pi^{2m}}{2} \sum_{k=0}^{2m+1} \frac{2^k \mathcal{B}_k \mathcal{H}_{2m+1-k}}{k!(2m+1-k)!} - \frac{1}{2}\eta(2m+1)}

όπου \eta η συνάρτηση ήτα του Dirichlet και \mathcal{B}_k οι αριθμοί Bernoulli. Σου αφήνω την απόδειξη. :) :lol: :lol:

Επίσης,

\displaystyle{\sum_{m=0}^{\infty} I_{2m}z^{2m} = \frac{1}{2}\left( \frac{{\rm Si}(\pi z)}{\sin (\pi z)} - \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh(z t)}{e^t + 1} \, {\rm d}t \right)}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες