Χειμωνιάτικη !

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Χειμωνιάτικη !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 09, 2017 11:20 pm

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) , με (a,b)=1 , ώστε \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2} \in \mathbff{Z^+}. (Άλλαξα την εκφώνηση για να είναι χαμηλότερης δυσκολίας).
Ας αφεθεί για μαθητές μέχρι τις 15/1


Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
λόγος
θετικοί
Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Ιαν 10, 2017 1:44 pm

Καλημέρα Δημήτρη. Δεν έχετε και εσείς σχολειο εεε; ;)

Επειδη την εχω δει την ασκηση στο AoPS θα βάλω απλά ενα hint
Χρήση θεωρήματος..... Zsigmondy ( :D )


Κορυφή
thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Χειμωνιάτικη !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Τρί Ιαν 10, 2017 9:10 pm

Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό.
Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει
a^2+b^2|ab(a+b). Όμως, (ab,a^2+b^2)=1 άρα a^2+b^2|a+b από όπου συνεπάγεται πως μοναδική λύση είναι η
(a,b)=(1,1).
Υ.Γ η απόδειξη του (ab,a^2+b^2) είναι άμεση αν υποθέσουμε ότι \exists p ,όπου p πρώτος, τέτοιος ώστε (ab,a^2+b^2)=p. Τότε για να ισχύει αυτό θα πρέπει p|a και p|b πράγμα άτοπο καθώς (a,b)=1.

Φιλικά,
Θράσος


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιαν 10, 2017 9:12 pm

thrassos έγραψε:Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό.
Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει
a^2+b^2|ab(a+b). Όμως, (ab,a^2+b^2)=1 άρα a^2+b^2|a+b από όπου συνεπάγεται πως μοναδική λύση είναι η
(a,b)=(1,1).
Υ.Γ η απόδειξη του (ab,a^2+b^2) είναι άμεση αν υποθέσουμε ότι \exists p ,όπου p πρώτος, τέτοιος ώστε (ab,a^2+b^2)=p. Τότε για να ισχύει αυτό θα πρέπει p|a και p|b πράγμα άτοπο καθώς (a,b)=1.

Φιλικά,
Θράσος
:coolspeak:


Bye :')
Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Ιαν 11, 2017 12:09 am

Και με Zsigmondy . . .

Έστω p ο πρωτος που διαίρει το a^2+b^2 και οχι το a+b.

Επεται εύκολα οτι θα πρεπει να διαίρει το ab δηλαδή ή το a ή το b. Όμως αναγκαστικά θα διαιρει και τους δυο, άτοπο αφου (a,b)=1


Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Ιαν 11, 2017 3:24 pm

Και χωρίς την συνθήκη (a,b)=1.

https://www.artofproblemsolving.com/com ... 32p7505455


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες