Χειμωνιάτικη !

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

JimNt.
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Χειμωνιάτικη !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από JimNt. » Δευ Ιαν 09, 2017 11:20 pm

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) , με (a,b)=1 , ώστε \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2} \in \mathbff{Z^+}. (Άλλαξα την εκφώνηση για να είναι χαμηλότερης δυσκολίας).
Ας αφεθεί για μαθητές μέχρι τις 15/1


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.

Λέξεις Κλειδιά:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 461
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Ιαν 10, 2017 1:44 pm

Καλημέρα Δημήτρη. Δεν έχετε και εσείς σχολειο εεε; ;)

Επειδη την εχω δει την ασκηση στο AoPS θα βάλω απλά ενα hint

Χρήση θεωρήματος..... Zsigmondy ( :D )


thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από thrassos » Τρί Ιαν 10, 2017 9:10 pm

Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό.
Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει
a^2+b^2|ab(a+b). Όμως, (ab,a^2+b^2)=1 άρα a^2+b^2|a+b από όπου συνεπάγεται πως μοναδική λύση είναι η
(a,b)=(1,1).
Υ.Γ η απόδειξη του (ab,a^2+b^2) είναι άμεση αν υποθέσουμε ότι \exists p ,όπου p πρώτος, τέτοιος ώστε (ab,a^2+b^2)=p. Τότε για να ισχύει αυτό θα πρέπει p|a και p|b πράγμα άτοπο καθώς (a,b)=1.

Φιλικά,
Θράσος


Θρασύβουλος Οικονόμου
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από JimNt. » Τρί Ιαν 10, 2017 9:12 pm

thrassos έγραψε:Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό.
Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει
a^2+b^2|ab(a+b). Όμως, (ab,a^2+b^2)=1 άρα a^2+b^2|a+b από όπου συνεπάγεται πως μοναδική λύση είναι η
(a,b)=(1,1).
Υ.Γ η απόδειξη του (ab,a^2+b^2) είναι άμεση αν υποθέσουμε ότι \exists p ,όπου p πρώτος, τέτοιος ώστε (ab,a^2+b^2)=p. Τότε για να ισχύει αυτό θα πρέπει p|a και p|b πράγμα άτοπο καθώς (a,b)=1.

Φιλικά,
Θράσος

:coolspeak:


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 461
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χειμωνιάτικη !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τετ Ιαν 11, 2017 12:09 am

Και με Zsigmondy . . .

Έστω p ο πρωτος που διαίρει το a^2+b^2 και οχι το a+b.

Επεται εύκολα οτι θα πρεπει να διαίρει το ab δηλαδή ή το a ή το b. Όμως αναγκαστικά θα διαιρει και τους δυο, άτοπο αφου (a,b)=1



Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες