Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3651
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #661 από Φωτεινή » Τετ Ιούλ 27, 2016 9:50 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 234
Άσκηση 234.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές CB ,CD , ορθογωνίου ABCD κατά τμήματα BS=BA

και DP=DA αντίστοιχα . Τα σημεία P,A,S είναι προφανώς συνευθειακά .

Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος PS .

A\hat MC=90^o (εγγεγραμένη,AC διάμετρος του κύκλου)
\vartriangle PCS ισοσκελές
άρα το ύψος CM είναι και διάμεσος.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #662 από george visvikis » Τετ Ιούλ 27, 2016 9:50 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 234
Άσκηση 234.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές CB ,CD , ορθογωνίου ABCD κατά τμήματα BS=BA

και DP=DA αντίστοιχα . Τα σημεία P,A,S είναι προφανώς συνευθειακά .

Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος PS .


Η CA είναι διάμετρος του κύκλου, άρα η CM είναι κάθετη στην PS κι επειδή το τρίγωνο CPS είναι ισοσκελές, το M θα είναι μέσο του PS.

Με διαφορά dt. Γεια σου Φωτεινή.


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3651
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #663 από Φωτεινή » Τετ Ιούλ 27, 2016 9:52 am

george visvikis έγραψε:Η CA είναι διάμετρος του κύκλου, άρα η CM είναι κάθετη στην PS κι επειδή το τρίγωνο CPS είναι ισοσκελές, το M θα είναι μέσο του PS.

Γιώργο γράφαμε ταυτόχρονα :)
Καλημέρα.!


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8392
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #664 από KARKAR » Τετ Ιούλ 27, 2016 9:53 am

Άσκηση 235
Άσκηση 235.png
Άσκηση 235.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές
Ο κύκλος (K,2) εφάπτεται της πλευράς AB , του ορθογωνίου ABCD και το σημείο επαφής

τη χωρίζει σε τμήματα με μήκη 4 και 3 . Η εφαπτομένη DS του κύκλου ,τέμνει την BC στο P .

Υπολογίστε την πλευρά AD αν : α) Τα σημεία K,S,C είναι συνευθειακά .. β) Είναι PB=PS .

Η άσκηση είναι προφανώς εμπνευσμένη από το KARKAR-AVATAR :lol:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #665 από george visvikis » Τετ Ιούλ 27, 2016 10:54 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 235
Άσκηση 235.pngΟ κύκλος (K,2) εφάπτεται της πλευράς AB , του ορθογωνίου ABCD και το σημείο επαφής

τη χωρίζει σε τμήματα με μήκη 4 και 3 . Η εφαπτομένη DS του κύκλου ,τέμνει την BC στο P .

Υπολογίστε την πλευρά AD αν : α) Τα σημεία K,S,C είναι συνευθειακά .. β) Είναι PB=PS .

Η άσκηση είναι προφανώς εμπνευσμένη από το KARKAR-AVATAR :lol:


Πρώτα το α) ερώτημα (γιατί ως γνωστόν "ένα ένα τα τρων' τα σύκα"! :D )
Ορθογωνια.235.png
Ορθογωνια.235.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 1172 φορές

\displaystyle{D{C^2} - D{K^2} = C{S^2} - K{S^2} \Leftrightarrow 49 - {(b - 2)^2} - 16 = C{S^2} - 4 \Leftrightarrow } \boxed{{(b - 2)^2} = 37 - C{S^2}} (1)

\displaystyle{K{C^2} = {(b - 2)^2} + 9\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} {(CS + 2)^2} = 46 - C{S^2} \Leftrightarrow C{S^2} + 2CS - 21 = 0 \Leftrightarrow CS = \sqrt {22}  - 1}

και από την (1) βρίσκουμε \boxed{b = 2 + \sqrt {14 +2 \sqrt {22} } }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #666 από george visvikis » Παρ Ιούλ 29, 2016 11:13 am

Πάμε για το β) ερώτημα:
Ορθογώνια 235.png
Ορθογώνια 235.png (19.11 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

\displaystyle{P{B^2} = P{S^2} = PM \cdot PE \Leftrightarrow BM \bot PE}. Εύκολα τώρα βρίσκουμε:

\displaystyle{BZ = 5,BM = \frac{9}{5},MZ = \frac{{16}}{5},ME = \frac{{12}}{5},PB = \frac{9}{4}} και συνεπώς \boxed{PC = b - \frac{9}{4}}

Από Π. Θ στο PSK και νόμο συνημιτόνων στο DKA με \displaystyle{\cos \omega  = \sin \varphi  = \frac{1}{{\sqrt 5 }}} έχουμε:

\displaystyle{D{S^2} = D{K^2} - 4 = {b^2} + 20 - 4b - 4 \Leftrightarrow } \boxed{DS = \sqrt {{b^2} - 4b + 16} }

Τέλος από Π. Θ στο DSP: \displaystyle{{\left( {\sqrt {{b^2} - 4b + 16}  + \frac{9}{4}} \right)^2} = {\left( {b - \frac{9}{4}} \right)^2} + 49}, απ' όπου παίρνουμε την δεκτή λύση: \boxed{b = \frac{{15}}{2}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8392
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #667 από KARKAR » Δευ Αύγ 22, 2016 7:20 pm

Άσκηση 236 .
Άσκηση  237.png
Άσκηση 237.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 1088 φορές
Αξιοποιώντας τα δεδομένα στα δύο ορθογώνια : α) Υπολογίστε το μήκος της AD .

Αν T' είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής T , δείξτε ότι : \widehat{DT'P}=90^0


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #668 από sakis1963 » Δευ Αύγ 22, 2016 11:06 pm

Άσκηση 236

Αν η Q=PO \cap AD έχουμε :

από Π.Θ. στο OTP ότι TP=\sqrt5

από Π.Θ. στο T'TP ότι T'P=\sqrt{21}

από ομοιότητα PQD, PTO ότι \dfrac{\sqrt5}{7}=\dfrac{3}{DP}=\dfrac{2}{QD} απόπου QD=\dfrac{14}{\sqrt5}, DP=\dfrac{21}{\sqrt5}, AD=AQ+QD=\dfrac{14}{\sqrt5}+2

Τώρα αφού T'T^2=16=TP \cdot DT= TP(DP-TP)=\sqrt5(\dfrac{21}{\sqrt5}-\sqrt5) και T'T \perp DP έπεται ότι το T' ανήκει σε κύκλο με διάμετρο DP και συνεπώς \widehat{DT'P}=90^0


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #669 από george visvikis » Δευ Αύγ 22, 2016 11:54 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 236 .
Άσκηση 237.pngΑξιοποιώντας τα δεδομένα στα δύο ορθογώνια : α) Υπολογίστε το μήκος της AD .

Αν T' είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής T , δείξτε ότι : \widehat{DT'P}=90^0


Καλησπέρα!

Κάτι παρόμοιο...
Ορθογώνια 236.png
Ορθογώνια 236.png (20.69 KiB) Προβλήθηκε 1067 φορές

Έστω AD=a. Εύκολα βρίσκουμε ότι PT=\sqrt{5} κι επειδή τα τρίγωνα OTP, PCD είναι όμοια, θα είναι:

\displaystyle{\frac{{\sqrt 5 }}{7} = \frac{3}{{DP}} = \frac{2}{{a - 2}} \Rightarrow } \boxed{a = \frac{{10 + 14\sqrt 5 }}{5}} και \displaystyle{DP = \frac{{21}}{{\sqrt 5 }}}. Επειδή όμως από Π. Θ στο T'TP είναι

\displaystyle{T'P = \sqrt {21}  \Rightarrow T'{P^2} = 21 = \sqrt 5  \cdot \frac{{21}}{{\sqrt 5 }} = PT \cdot PD \Rightarrow } \boxed{\widehat{DT'P}=90^0}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8392
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #670 από KARKAR » Παρ Οκτ 21, 2016 10:43 pm

Άσκηση 237

Άσηση  239.png
Άσηση 239.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές
Στο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , αν \dfrac{(ABSP)}{(ABCD)}=\dfrac{5}{9}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #671 από george visvikis » Σάβ Οκτ 22, 2016 11:26 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 237

Άσηση 239.pngΣτο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , αν \dfrac{(ABSP)}{(ABCD)}=\dfrac{5}{9}


Ορθογώνια 237.png
Ορθογώνια 237.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Αν η μεσοκάθετη της AS διέρχεται από το B θα είναι BS=BA=a, οπότε \boxed{SC=\sqrt{a^2-b^2}}

Τα τρίγωνα DSP, CSB είναι όμοια: \displaystyle{\frac{x}{a} = \frac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b} \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{{{a^2} - a\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}} (1)

\displaystyle{(ABSP) = \frac{5}{9}(ABCD) \Leftrightarrow ax = \frac{5}{9}ab \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{5}{9}b} (2) Από τις (1), (2), παίρνουμε τελικά \boxed{\frac{b}{a} = \frac{3}{5}}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1536
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #672 από STOPJOHN » Σάβ Οκτ 22, 2016 3:11 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 237

Άσηση 239.pngΣτο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , αν \dfrac{(ABSP)}{(ABCD)}=\dfrac{5}{9}


Καλημέρα , για την κατασκευή του σημείου S

Θεωρώ την γωνία
\hat{PAS}=\hat{\omega }.Αρα από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης είναι \hat{PAS}=\hat{TBA}=\omega

Aπό το ισοσκελές τρίγωνο ABS,AB=AS,TB\perp AS,\hat{TBS}=\omega
Στο εγράψιμο τετράπλευροSTBC,\hat{SCT}=\omega ,
Συνεπώς \hat{CSB}=2\omega =\hat{CTB}, ;Αρα \hat{DTS}=2\omega ,\hat{ADT}=\omega =\hat{TAD},\hat{STC}=\hat{SBC}=90-2\omega ,\hat{DTC}=90^{0} και \hat{ATB}=90^{0}
Το σημείο T ορίζεται ως η τομή (εφόσον υπάρχει)των δυο κόκκινων ημικυκλίων διαμέτρου a και κέντρων O,K
Η τομή της AT με την DC προσδιορίζει το σημείο S





Γιάννης
Συνημμένα
Συλλογή ασκήσεων σε ορθογώνια  -Ασκηση 237.png
Συλλογή ασκήσεων σε ορθογώνια -Ασκηση 237.png (72.87 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #673 από george visvikis » Σάβ Οκτ 22, 2016 4:45 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 237

Άσηση 239.pngΣτο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B.


Γεια σου Γιάννη, γεια σε όλους!

Επειδή ξέχασα να γράψω την κατασκευή στην προηγούμενη ανάρτησή μου.
Ορθογώνια 237.b.png
Ορθογώνια 237.b.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Είναι BS=BA=a, άρα ο κύκλος (B,a) τέμνει την CD στο ζητούμενο σημείο S.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8392
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #674 από KARKAR » Τετ Οκτ 26, 2016 9:55 pm

Άσκηση 238

Άσκηση 238.png
Άσκηση 238.png (14.06 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές
Το A' είναι ένα σημείο της πλευράς DC του ορθογωνίου ABCD . Οι αποστάσεις

των κορυφών B,C,D από την ευθεία που διέρχεται από το A' και είναι κάθετη

προς το AA' , φαίνονται στο σχήμα . Υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Φεβ 10, 2017 8:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #675 από george visvikis » Πέμ Οκτ 27, 2016 10:20 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 238

Άσκηση 238.pngΤο A' είναι ένα σημείο της πλευράς DC του ορθογωνίου ABCD . Οι αποστάσεις

των κορυφών B,C,D από την ευθεία που διέρχεται από το A' και είναι κάθετη

προς το AA' , φαίνονται στο σχήμα . Υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .


Ορθογώνια 238..png
Ορθογώνια 238..png (16.03 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Έστω AB=a, BC=b, DA'=x, EB'=y. Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα στο σχήμα είναι όμοια μεταξύ τους.

Εύκολα βρίσκω \displaystyle{EC' = 3y,BE = \frac{b}{4},EC = \frac{{3b}}{4}} και από την ομοιότητα των τριγώνων A'DD', A'CC', A'AD παίρνω

\boxed{a = \frac{{7x}}{3},AA' = \frac{{{x^2}}}{9},A'C = \frac{{4x}}{3}}. Τέλος από τα όμοια τρίγωνα AA'D, EBB' είναι: \displaystyle{\frac{x}{y} = \frac{b}{4} = \frac{{4{x^2}}}{{9b}} \Rightarrow } \boxed{y=3}

Πάμε τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο CC'E, απ' όπου παίρνουμε \boxed{b=20} και τέλος από \displaystyle{x = \frac{{by}}{4},a = \frac{{7x}}{3} \Rightarrow } \boxed{a=35}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8392
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #676 από KARKAR » Δευ Ιαν 09, 2017 8:30 pm

Άσκηση 239

Άσκηση  240.png
Άσκηση 240.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές
Στο άκρο C της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει

τις προεκτάσεις των AB,AD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{CBP}=\widehat{CDS}

Συμπλήρωση : Δείξτε ότι η γωνία \theta παίρνει μέγιστη τιμή . Μιχάλη , καλή χρονιά !
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τρί Ιαν 10, 2017 10:01 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2891
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #677 από Μιχάλης Νάννος » Δευ Ιαν 09, 2017 9:52 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 239

Στο άκρο C της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει

τις προεκτάσεις των AB,AD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{CBP}=\widehat{CDS}

Καλησπέρα!
Άσκηση-239.png
Άσκηση-239.png (22.16 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Οι «γαλάζιες» γωνίες είναι ίσες, οπότε το PDBS είναι εγγράψιμο, συνεπώς {90^ \circ } + \omega  = {90^ \circ } + \theta  \Leftrightarrow \omega  = \theta


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8392
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #678 από KARKAR » Τετ Ιαν 11, 2017 3:02 pm

Άσκηση 240
Άσκηση  240.png
Άσκηση 240.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές
Το σημείο M είναι το μέσο της πλευράς AD ορθογωνίου ABCD , ενώ τα B',B'' είναι

τα μέσα των AM,MD αντίστοιχα . Διπλώνουμε το ορθογώνιο , με τσάκιση SP , έτσι ώστε

το B να βρεθεί στη θέση B' ( ή στη θέση B'' ) και το C στη θέση C' .

α) Δείξτε ότι και στις δύο περιπτώσεις το εμβαδόν του SB'C'P , είναι το ίδιο .

β) Αν AB=6 και AD=4 , υπολογίστε το εμβαδόν του SB'C'P .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8392
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #679 από KARKAR » Παρ Ιαν 13, 2017 4:51 pm

Άσκηση 241
Άσκηση  241.png
Άσκηση 241.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές
Μέρος του ορθογωνίου ABCD , διπλώθηκε κατά μήκος τμήματος SP , ώστε τα D,C , να

βρεθούν στις θέσεις D',C' . Δείξτε ότι η διχοτόμος της \widehat{BD'C'} , είναι παράλληλη της SP .


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1363
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #680 από rek2 » Κυρ Ιαν 15, 2017 8:11 pm

Επαναφέρω την 210.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες