Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

sakis1963 · #641

Ασκηση 226

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.226.png (24.31 KiB) Προβλήθηκε 2976 φορές

Εστω ορθογώνιο PQST

και κύκλος (K, r)

που διέρχεται από τα P, Q

(

εξωτερικό του ορθογωνίου και $r>\dfrac{PQ}{2}$ )
Από τα T, S

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα TC, SD

που τέμνονται στο

.

Δείξτε ότι KP, KQ

είναι εφαπτομένες του κυκλου (L, LT)

#642

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 226
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.226.png
Εστω ορθογώνιο και κύκλος που διέρχεται από τα ( εξωτερικό του ορθογωνίου και $r>\dfrac{PQ}{2}$ )
Από τα φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα που τέμνονται στο .

Δείξτε ότι είναι εφαπτομένες του κυκλου

Αρκεί να δείξω ότι $sin(P\hat{K}L)=\dfrac{R}{KL}$ . Πράγματι, είναι $\dfrac{TS/2}{R}=sin(T\hat{L}K)=\dfrac{r}{KL}$ , οπότε

$sin(P\hat{K}L)=\dfrac{PQ/2}{r}=\dfrac{TS/2}{r}=\dfrac{TS/2}{R}\dfrac{R}{r}=\dfrac{r}{KL}\dfrac{R}{r}=\dfrac{R}{KL}$

sakis1963 · #643

Ασκηση 227

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.227.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 2889 φορές

Στις προεκτάσεις των διαγωνίων AC, BD

, ορθογωνίου ABCD (AB=a, BC=b)

, παίρνουμε ίσα τμήματα CE=DF=x

α. Δείξτε ότι το ABEF

είναι ισοσκελές τραπέζιο

β. Υπολογίστε το

(συναρτήσει των a, b

) ώστε

γ. Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ ώστε επιπλέον ο περίκυκλος του ABEF

νάχει κέντρο το μέσον

της

#644

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 227
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.227.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στις προεκτάσεις των διαγωνίων , ορθογωνίου , παίρνουμε ίσα τμήματα

α. Δείξτε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο

β. Υπολογίστε το (συναρτήσει των ) ώστε

γ. Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ ώστε επιπλέον ο περίκυκλος του νάχει κέντρο το μέσον της

Καλημέρα Σάκη.

: 227.png (17.74 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

α) Το

είναι τραπέζιο (προκύπτει από αντίστροφο Θαλή) και επειδή AE=BF

είναι ισοσκελές.

β) Έστω $\displaystyle{KD = d = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}}$ , (KAF)=(KBE)=(S_1), KFE=(S_2)

.

$\displaystyle{\frac{{(KAD)}}{{(KAF)}} = \frac{{(KBC)}}{{(KBE)}} = \frac{{ab}}{{4({S_1})}} = \frac{d}{{d + x}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{({S_1}) = \frac{{ab(d + x)}}{{4d}}}$

$\displaystyle{\frac{{(KDC)}}{{({S_2})}} = \frac{{ab}}{{4({S_2})}} = \frac{{{d^2}}}{{{{(d + x)}^2}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{({S_2}) = \frac{{ab{{(d + x)}^2}}}{{4{d^2}}}}$

$\displaystyle{(ABEF) = 2(ABCD) \Leftrightarrow 2({S_1}) + ({S_2}) + \frac{{ab}}{4} = 2ab \Leftrightarrow \frac{{d + x}}{{2d}} + \frac{{{{(d + x)}^2}}}{{4{d^2}}} = \frac{7}{4} \Leftrightarrow {x^2} + 2dx - 4{d^2} = 0}$

απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα $\displaystyle{x = 2d\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} }$

γ) $\displaystyle{FD \cdot DB = {R^2} - O{D^2} \Leftrightarrow 2xd = {b^2} \Leftrightarrow ({a^2} + {b^2})(\sqrt 2 - 1) = {b^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt[4]{2}}$

KARKAR · #645

Άσκηση 228

: Άσκηση 227.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 2834 φορές

Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή

, ορθογωνίου ABCD

, τέμνει τις

προεκτάσεις των BA,BC

στα σημεία P,Q

αντίστοιχα . Από το

και τυχόν

σημείο

της

, διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη

από το

, η οποία τέμνει την

στο

. Δείξτε ότι και : $QT \perp BS$ .

STOPJOHN · #646

KARKAR έγραψε:Άσκηση 228
Το συνημμένο Άσκηση 227.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή , ορθογωνίου , τέμνει τις

προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Από το και τυχόν

σημείο της , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη

από το , η οποία τέμνει την στο . Δείξτε ότι και : $QT \perp BS$ .

Καλημέρα

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $PEB, \hat{PEB}=\hat{TBP}=\hat{\phi },$ ,

Aκόμη είναι $SA//BC\Leftrightarrow \hat{ASB}=\hat{\phi }=\hat{SBE}$

$\hat{TBC}=\hat{\nu }=90-\hat{\phi },\hat{QTC}=\hat{\phi },\hat{TQC}=\hat{\nu }=90-\hat{\phi }, TQ=TB, \hat{NQB}+\hat{QBN}=90-\hat{\phi }+\hat{\phi }=90^{0}\Leftrightarrow QN\perp SB$

Γιάννης

KARKAR · #647

Άσκηση 229

: Άσκηση 229.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 2755 φορές

Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο

κινείται στο μικρό τόξο $\displaystyle\overset{\frown}{AB}$ του περικύκλου

ορθογωνίου ABCD

. Η

τέμνει την

στο

. Γράφω τον κύκλο

(K)

, ο οποίος διέρχεται από τα S,P,B

. Έστω

το κέντρο του ABCD

.

α) Δείξτε ότι $KS\perp SO$ ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου

#648

KARKAR έγραψε:Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο κινείται στο μικρό τόξο $\displaystyle\overset{\frown}{AB}$ του περικύκλου ορθογωνίου . Η τέμνει την στο . Γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται από τα . Έστω το κέντρο του .α) Δείξτε ότι $KS\perp SO$ ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου

α) $\angle OSC\mathop = \limits^{OA = OC} \angle OCS\mathop = \limits^{O,A,C\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } \angle ACS$ $\mathop = \limits^{A,S,B,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle ABS \Rightarrow OS$ εφαπτόμενη του κύκλου $\left( K \right) \Rightarrow KS \bot OS$ .

β) Με $OS = OB = {R_O}\mathop \Rightarrow \limits^{KS \bot OS} BK \bot OB \Rightarrow K$ σημείο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα το και το σημείο τομής της καθέτου επί την σταθερή

με την μεσοκάθετη της και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί και βρεθεί.

Στάθης

#649

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Άσκηση 229.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο κινείται στο μικρό τόξο $\displaystyle\overset{\frown}{AB}$ του περικύκλου

ορθογωνίου . Η τέμνει την στο . Γράφω τον κύκλο

, ο οποίος διέρχεται από τα . Έστω το κέντρο του .

α) Δείξτε ότι $KS\perp SO$ ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου

Καλημέρα σε όλους!

: Ορθογώνια.228.png (20.25 KiB) Προβλήθηκε 2715 φορές

α) $\displaystyle{AD = BC \Leftrightarrow D\widehat BA = B\widehat SC}$ , άρα η

είναι εφαπτομένη του κύκλου (K)

και επειδή τα τρίγωνα OBK, OSK

είναι ίσα, θα είναι $\displaystyle{O\widehat SK = {90^0}}$ .

β) Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα, το

κινείται πάνω σε ευθεία που διέρχεται από το σταθερό σημείο

και είναι κάθετη στη

. Όταν το

πάρει τη θέση του

, τότε η

θα είναι κάθετη στην

. Αν λοιπόν οι εφαπτόμενες του κύκλου (O)

στα

τέμνονται στο σημείο

, τότε το ευθύγραμμο τμήμα

είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

KARKAR · #650

Άσκηση 230

: 230.png (9.95 KiB) Προβλήθηκε 2679 φορές

α) Αν

είναι σημείο της διαγωνίου

, ορθογωνίου ABCD

, δείξτε ότι (SBC)=(SDC)

.

β) Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε να είναι δυνατόν να ορισθεί

με $\dfrac{BS}{DS}=\dfrac{1}{2}$ και κατασκευάστε το

.

γ) Αν a=9,b=4

υπολογίστε εμβαδόν και περίμετρο του τριγώνου SBC

(

του ερωτήματος β)) .

#651

KARKAR έγραψε:Άσκηση 230
Το συνημμένο 230.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
α) Αν είναι σημείο της διαγωνίου , ορθογωνίου , δείξτε ότι .

β) Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε να είναι δυνατόν να ορισθεί με $\dfrac{BS}{DS}=\dfrac{1}{2}$ και κατασκευάστε το .

γ) Αν υπολογίστε εμβαδόν και περίμετρο του τριγώνου ( του ερωτήματος β)) .

: Ορθογώνια 230.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 2650 φορές

α) Τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή την πλευρά

και επειδή οι κορυφές B, D

ισαπέχουν της

, είναι ισεμβαδικά. Αφήνω το β) ερώτημα και πάω στο

γ) Είναι $\displaystyle{AC = BD = \sqrt {97} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{9}{{\sqrt {97} }},\sigma \upsilon \nu \omega = \frac{4}{{\sqrt {97} }}}$ και με νόμο συνημιτόνων στα δύο τρίγωνα έχω:

$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} 4{x^2} = 81 + C{S^2} - 18CS\sigma \upsilon \nu \varphi \hfill \\ {x^2} = 16 + C{S^2} - 8CS\sigma \upsilon \nu \omega \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

Πολλαπλασιάζω την πάνω εξίσωση με

, την κάτω με

και αφαιρώ κατά μέλη, οπότε $\displaystyle{x = CS\sqrt {\frac{{65}}{{17}}} }$ και τελικά: $\boxed{CS = \frac{{2\sqrt {1309} - 17}}{{3\sqrt {97} }}}$

Η περίμετρος είναι $\boxed{L = 4 + \frac{{2\sqrt {1309} - 17}}{{3\sqrt {97} }} + \frac{{2\sqrt {1309} - 17}}{{3\sqrt {97} }} \cdot \sqrt {\frac{{65}}{{17}}} }$ και το εμβαδόν

$\displaystyle{E = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{{2\sqrt {1309} - 17}}{{3\sqrt {97} }}\eta \mu \omega \Leftrightarrow }$ $\boxed{E = \frac{6}{{97}}\left( {2\sqrt {1309} - 17} \right)}$

KARKAR · #652

Άσκηση 231

: 232.png (7.5 KiB) Προβλήθηκε 2617 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD

συνδέουμε το κέντρο

με τα μέσα M,N

των πλευρών

AB,AD

αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των $\widehat{ABD}, \widehat{ADB}$ , τέμνουν τις OM,ON

στα

αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{AD}$ , ώστε : α) $\dfrac{SM}{PN}=\dfrac{2}{3}$ , β) $\dfrac{(DNP)}{(SMB)}=\dfrac{1}{2}$

ealexiou · #653

KARKAR έγραψε:Άσκηση 231
Το συνημμένο 232.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ορθογώνιο συνδέουμε το κέντρο με τα μέσα των πλευρών

αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των $\widehat{ABD}, \widehat{ADB}$ , τέμνουν τις

στα αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{AD}$ , ώστε : α) $\dfrac{SM}{PN}=\dfrac{2}{3}$ , β) $\dfrac{(DNP)}{(SMB)}=\dfrac{1}{2}$

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 231.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 2605 φορές

Για το α)
Ας είναι $\dfrac{AB}{AD}=k\Rightarrow a=kb$ οπότε $DB=\sqrt{b^2+(kb)^2}=b\sqrt{k^2+1}$ και άρα $DO=OB=\dfrac{b\sqrt{k^2+1}}{2}$

Θεώρημα διχοτόμων, οπότε έχουμε:
$\dfrac{x}{b/2}=\dfrac{kb/2}{kb/2+b\sqrt{k^2+1}/2}\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{kb}{2(k+\sqrt{k^2+1})}}$ και $\dfrac{y}{kb/2}=\dfrac{b/2}{b/2+b\sqrt{k^2+1}/2}\Rightarrow \boxed{y=\dfrac{kb}{2(1+\sqrt{k^2+1})}}$

Θέλουμε $\dfrac{SM}{PN}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow$ $\dfrac{\dfrac{kb}{2(k+\sqrt{k^2+1})}}{\dfrac{kb}{2(1+\sqrt{k^2+1})}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow ...\Rightarrow\boxed{\boxed{\dfrac{AB}{AD}=k=2+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}}$

#654

KARKAR έγραψε:Άσκηση 231
Το συνημμένο 232.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ορθογώνιο συνδέουμε το κέντρο με τα μέσα των πλευρών

αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των $\widehat{ABD}, \widehat{ADB}$ , τέμνουν τις

στα αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{AD}$ , ώστε : α) $\dfrac{SM}{PN}=\dfrac{2}{3}$ , β) $\dfrac{(DNP)}{(SMB)}=\dfrac{1}{2}$

Χαιρετώ τους φίλους!

: Ορθογώνια 231.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 2604 φορές

Έστω

, οπότε $OD=OB=\sqrt{a^2+b^2}$ . Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου είναι:

$\displaystyle{\frac{{NP}}{{PO}} = \frac{b}{{OD}} \Leftrightarrow \frac{{NP}}{a} = \frac{b}{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{NP = \frac{{ab}}{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}$ και ομοίως $\boxed{SM = \frac{{ab}}{{a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}$

α) $\displaystyle{\frac{{SM}}{{PN}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3{a^2} - 12ab + 8{b^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{a > b} }$ $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}$

β) $\displaystyle{\frac{{(DNP)}}{{(SMB)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{b \cdot NP}}{{a \cdot SM}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ab + b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{ab + a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{a - 2b}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,}$ με a>2b

Με λογισμικό βρίσκω $\boxed{\frac{a}{b} \simeq 2,947}$

#655

Άσκηση 232

: Ορθογώνια 232.png (9.81 KiB) Προβλήθηκε 2528 φορές

Οι πλευρές και η διαγώνιος ορθογωνίου ABCD

είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί. Αν εναλλάξουμε τα ψηφία

του μήκους της μεγάλης του διάστασης, προκύπτει το μήκος της διαγωνίου.

α) Να βρεθούν οι διαστάσεις και η διαγώνιος του ορθογωνίου.

β) Σημείο

κινείται στην πλευρά

και η μεσοκάθετος της

τέμνει τις πλευρές AB, AD

στα σημεία M, N

αντίστοιχα.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του (MAN)

ealexiou · #656

Γεια σου Γιώργο!

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232.png (28.21 KiB) Προβλήθηκε 2506 φορές

Για το α) (και ...υπαινιγμός για το β))
Αν $\overline{xy}$ η διαγώνιος τότε η μια πλευρά του ορθογωνίου θα έχει την μορφή $\overline{yx}$ και αν

(όπου

διψήφιος αριθμός) η άλλη πλευρά του ορθογωνίου τότε:

$(10x+y)^2-(10y+x)^2=n^2\Rightarrow$ 99(x^2-y^2)=n^2

απο όπου με δοκιμές βρίσκω n=33

και άρα $x^2-y^2=\dfrac{1089}{99}=11\Rightarrow (x+y)(x-y)=11\Rightarrow x=6, y=5$ ,

δηλαδή $\boxed{AD=33, DC=56, AC=DB=65}$

ealexiou · #657

george visvikis έγραψε:Άσκηση 232

Το συνημμένο Ορθογώνια 232.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Οι πλευρές και η διαγώνιος ορθογωνίου είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί. Αν εναλλάξουμε τα ψηφία

του μήκους της μεγάλης του διάστασης, προκύπτει το μήκος της διαγωνίου.

α) Να βρεθούν οι διαστάσεις και η διαγώνιος του ορθογωνίου.

β) Σημείο κινείται στην πλευρά και η μεσοκάθετος της τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232a.png (42.25 KiB) Προβλήθηκε 2463 φορές

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232b.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 2463 φορές

Είναι προφανές (διαγραμματικά) ότι $(MAN)\geq (M_0AN_0)\Rightarrow$ $(MAN)_{min}=(M_0AN_0)$

Είναι $AP=DK_0=DAtan30°=33\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}=11\sqrt{3}$ ,

άρα $AK_0=22\sqrt{3}$ και επίσης είναι $DQ=\dfrac{DA}{2}=\dfrac{33}{2}$

Είναι $\triangle M_0AN_0 \sim \triangle ADK_0 \Rightarrow$ $N_0M_0=\dfrac{AP\cdot AK_0}{DQ}\Rightarrow N_0M_0=44$

οπότε $(MAN)_{min}=\dfrac{44\cdot11\sqrt{3} }{2}=242\sqrt{3}$

#658

Άσκηση 233

: Ορθογώνια 233.png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 2381 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

και ένα σημείο

του επιπέδου που να μην βρίσκεται πάνω στις διαγώνιές του. Αν είναι γνωστές οι γωνίες $\displaystyle{D\widehat MB = \omega ,C\widehat MA = \varphi }$ , να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών $\displaystyle{\frac{{(DMB)}}{{(CMA)}}}$

dement · #659

Σε κάθε τρίγωνο $\triangle{ABC}$ εμβαδού

ισχύει (από το νόμο των συνημιτόνων) ότι $c^2 = a^2 + b^2 - 4 E \cot \hat{C}$ .

Στην περίπτωση των $\triangle{DBM}, \triangle{CMA}$ έχουμε BD = CA

και

.

Άρα $\displaystyle (DMB) \cot \omega = (CMA) \cot \phi \implies \frac{(DMB)}{(CMA)} = \frac{\cot \phi}{\cot \omega}$

KARKAR · #660

Άσκηση 234

: Άσκηση 234.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 2266 φορές

Προεκτείνουμε τις πλευρές CB ,CD

, ορθογωνίου ABCD

κατά τμήματα BS=BA

και

αντίστοιχα . Τα σημεία P,A,S

είναι προφανώς συνευθειακά .

Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο

του τμήματος

.

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση