Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

KARKAR · #581

Άσκηση 206

: Άσκηση 206.png (7.98 KiB) Προβλήθηκε 1193 φορές

Υπολογίστε το τμήμα

συναρτήσει των πλευρών

και

του ορθογωνίου ABCD

.

ealexiou · #582

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 206.png (10.14 KiB) Προβλήθηκε 1176 φορές

Από $\triangle SAD$ έχουμε $x^2=b^2+d^2-2bd\cdot cos(t)=$ $b^2+a^2+b^2-2b\sqrt{a^2+b^2}\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow$

$\boxed{SD=x=\sqrt{a^2-2ab+2b^2}}$

#583

KARKAR έγραψε:Άσκηση 206
Το συνημμένο Άσκηση 206.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε το τμήμα συναρτήσει των πλευρών και του ορθογωνίου .

: 206.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

$\displaystyle{{x^2} = {b^2} + {(a - b)^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \sqrt {{a^2} - 2ab + 2{b^2}} }$

KARKAR · #584

Άσκηση 207

: Άσκηση 207.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

Το

είναι το μέσο της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

. Η κάθετη από

το

προς την

, τέμνει τις DM,DB,DC

κατά σειρά στα P,S,Q

.

Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν είναι AP=SQ

.

#585

KARKAR έγραψε:Άσκηση 207
Το συνημμένο Άσκηση 207.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Η κάθετη από

το προς την , τέμνει τις κατά σειρά στα .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν είναι .

: 207.png (11.58 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

Το

είναι εγγράψιμο: $\displaystyle{aDQ = DS \cdot DB = {b^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{b}{{DQ}}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle{\frac{{DQ}}{a} = \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{AP}}{{PQ}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{DQ}} \Leftrightarrow \frac{{D{Q^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{DQ}}{a} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{a}{b} = \frac{{b\sqrt 2 }}{a} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt[4]{2}}$ .

STOPJOHN · #586

KARKAR έγραψε:Άσκηση 207
Το συνημμένο Άσκηση 207.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Η κάθετη από

το προς την , τέμνει τις κατά σειρά στα .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν είναι .

Kαλησπέρα

Από τα όμοια τρίγωνα $ADQ,ADB,DQ=\dfrac{b^{2}}{a^{2}},(1)$ ,

Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα $DSQ,ASB, \dfrac{d}{d+PS}=\dfrac{DQ}{a},(2)$ ,

Απο την ομοιότητα των τριγώνων

$DPQ,PAM,\dfrac{2b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{d+PS}{d},(3) (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{2b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\sqrt[4]{2}$

Γιάννης

KARKAR · #587

Άσκηση 208

: Άσκηση 208.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Είναι : $\dfrac{AB}{AD}=2 , \dfrac{\widehat{CAB}}{\widehat{ACS}}=2$ . Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

#588

KARKAR έγραψε:Άσκηση 208
Άσκηση 208.png
Είναι : $\dfrac{AB}{AD}=2 , \dfrac{\widehat{CAB}}{\widehat{ACS}}=2$ . Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \theta = \frac{1}{2},\varepsilon \varphi 2\theta = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \varepsilon \varphi 3\theta = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{4}{3}}}{{1 - \frac{4}{6}}} = \frac{{11}}{2}}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi (B\widehat SC) = \frac{b}{{SB}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 3\theta = \frac{b}{{SB}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{SB = \frac{{2b}}{{11}}}$ (1)

$\displaystyle{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{2{b - SB}}{{SB}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = 10}$

KARKAR · #589

Άσκηση 209

: Άσκηση 209.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

Η πλευρά

ορθογωνίου ABCD

παραμένει σταθερή , ενώ η

συνεπώς

και ο λόγος $\dfrac{a}{b}$

μεταβάλλεται . Επί της

παίρνω σημείο

, ώστε $AS=\dfrac{AC}{4}$

και φέρω την κάθετη του

στο

, η οποία τέμνει την πλευρά

στο

.

Υπολογίστε την τιμή του λόγου $\dfrac{a}{b}$ που ελαχιστοποιεί το (DSP)

και (βρείτε) το $(DSP)_{min}$ .

ealexiou · #590

KARKAR έγραψε:Άσκηση 209
Το συνημμένο Άσκηση 209.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η πλευρά ορθογωνίου παραμένει σταθερή , ενώ η συνεπώς

και ο λόγος $\dfrac{a}{b}$ μεταβάλλεται . Επί της παίρνω σημείο , ώστε $AS=\dfrac{AC}{4}$

και φέρω την κάθετη του στο , η οποία τέμνει την πλευρά στο .

Υπολογίστε την τιμή του λόγου $\dfrac{a}{b}$ που ελαχιστοποιεί το και το $(DSP)_{min}$ .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 209.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Είναι $\triangle CKS \sim \triangle CDA \Rightarrow \dfrac{KS}{DA}=\dfrac{CS}{CA}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow \boxed{KS=\dfrac{3b}{4}}$ , άρα το (DSP)

γίνεται ελάχιστο όταν το

γίνει ελάχιστο.

Από τα $\triangle DKS$ και $\triangle KSP$ έχουμε: DK=KStan(t)

και

Άρα $DP=KS(tan(t)+tan(90°-t))\Rightarrow$ $DP_{min}=KS(tan(t)+tan(90°-t))_{min}$ .

Όμως $(tan(t)+tan(90°-t)_{min}=2$ (για t=45°

) $\Rightarrow DP_{min}=\dfrac{3b}{2} \Rightarrow CD=3b \Rightarrow \boxed{\dfrac{a}{b}=3}$

$(DSP)_{min}=\dfrac{1}{2}\dfrac{3b}{2}\cdot \dfrac{3b}{4}=\dfrac{9b^2}{16}$

#591

ΑΣΚΗΣΗ 210

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD

, οι διχοτόμοι των γωνιών D, B

τέμνουν την

στα σημεία E,Z

, και οι διχοτόμοι των γωνιών A, C

τέμνουν την

στα σημεία H, F

.

Αν

, να αποδειχτεί ότι το τετράπλευρο ABCD

είναι ορθογώνιο.

#592

KARKAR έγραψε:Άσκηση 209
Το συνημμένο Άσκηση 209.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η πλευρά ορθογωνίου παραμένει σταθερή , ενώ η συνεπώς

και ο λόγος $\dfrac{a}{b}$ μεταβάλλεται . Επί της παίρνω σημείο , ώστε $AS=\dfrac{AC}{4}$

και φέρω την κάθετη του στο , η οποία τέμνει την πλευρά στο .

Υπολογίστε την τιμή του λόγου $\dfrac{a}{b}$ που ελαχιστοποιεί το και (βρείτε) το $(DSP)_{min}$ .

$\displaystyle{KS//AD \Rightarrow DK = \frac{a}{4},SK = \frac{{3b}}{4}}$

: 209.png (11.28 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

$\displaystyle{S{K^2} = DK \cdot KP \Leftrightarrow x = \frac{{9{b^2}}}{{4a}}}$ και $\displaystyle{(DSP) = \frac{{3b}}{{32}}\left( {a + \frac{{9{b^2}}}{a}} \right)}$

Αλλά, $\displaystyle{{(a - 3b)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 9{b^2} \ge 6ab \Leftrightarrow a + \frac{{9{b^2}}}{a} \ge 6b}$ . Άρα: $\displaystyle{(DSP) \ge \frac{{18{b^2}}}{{32}} = \frac{{9{b^2}}}{{16}}}$

To ζητούμενο λοιπόν εμβαδόν ελαχιστοποιείται όταν $\boxed{\frac{a}{b} = 3}$ και είναι $\boxed{(DSP)_{\min } = \frac{{9{b^2}}}{{16}}}$

KARKAR · #593

Άσκηση 211

: Άσκηση 210.png (19.64 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Στο άκρο

της διαγωνίου

, ορθογωνίου ABCD

, φέρω κάθετη , η οποία τέμνει

τις προεκτάσεις των CB,CD

στα σημεία Q,P

αντίστοιχα . Ονομάζω

το μέσο

του

, παίρνω τυχαίο σημείο

της

και γράφω τους κύκλους , (Q,A,S)

,

, οι οποίοι τέμνουν τις προεκτάσεις των AB,AD

στα

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι οι ευθείες QL,PN

τέμνονται σε σημείο - το οποίο ονομάζω

- της

.

#594

Άσκηση 212

: 212.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

και ο κύκλος (O,R)

που διέρχεται από το

και εφάπτεται των AD, DC

στα σημεία

P, Q

αντίστοιχα. Η απόσταση του

από την

είναι $6\sqrt{2}$ .

α) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

β) Αν επιπλέον είναι R=5

, να βρείτε τις διαστάσεις a,b

του ορθογωνίου.

KARKAR · #595

Άσκηση 212

: 212.png (13.48 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Με αρχή των αξόνων το σημείο

, η

έχει εξίσωση x-y=0

. Έστω ότι οι διαστάσεις

του ορθογωνίου είναι r+t , r+z

, με

. Τότε

.

Αλλά $(t+z)^2 = t^2+z^2+2tz=r^2+2tz\Leftrightarrow tz=\dfrac{(t+z)^2-r^2}{2}\Leftrightarrow$

$E=r^2+r(t+z)+\dfrac{(t+z)^2-r^2}{2}$ . Όμως : $\dfrac{|x-y|}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow r+t+z=12\Leftrightarrow t+z=12-r$ .

Τελικά : $E=r^2+r(12-r)+\dfrac{(12-r)^2-r^2}{2}\Leftrightarrow E=72$ . Αν r=5

και υποθέτοντας ότι AB>AD

, θα είναι AB=9 , AD=8

ealexiou · #596

Άσκηση 212

Μία γραφική προσέγγιση του θέματος, δεν είμαι και σίγουρος για την ορθότητα της.

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 212.png (34.73 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Για το α)
$(ABCD)=AB\cdot BC=BA\cdot BA'=BM^2$ (Δύναμη σημείου

ως προς γαλάζιο κύκλο)

$\Rightarrow \boxed{(ABCD)=(6\sqrt{2})^2=72}$

Για το β)
Είναι $DQ=QO=5\Rightarrow DC-QC=a-\dfrac{b}{2}=5$ και επειδή ab=72

έχουμε το σύστημα εξισώσεων:

$\begin{cases} & a-\dfrac{b}{2}=5\\ & a\cdot b=72\end{cases}\ \ \Rightarrow AB=a=9,\ BC=b=8$

#597

george visvikis έγραψε:Άσκηση 212

Το συνημμένο 212.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο και ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται των στα σημεία

αντίστοιχα. Η απόσταση του από την είναι $6\sqrt{2}$ .

α) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

Καλημέρα σε όλους.

Για το α) που είναι ανεξάρτητο της ακτίνας του κύκλου.

: 212b.png (18.82 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

$\hat{DOP}=\hat{MBA}=45^0$ (οξείες γωνίες με πλευρές παράλληλες).

$\hat{BPQ}=\hat{MBC}$ (σχέση εγγεγραμμένης με γωνία χορδής εφαπτομένης) και επειδή τα APMB, CQMB

είναι εγγράψιμα,

όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε τα τρίγωνα ABM, MBC

είναι όμοια και $\boxed{ab=d^2=72}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #598

george visvikis έγραψε:Άσκηση 212

Το συνημμένο 212.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο και ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται των στα σημεία

αντίστοιχα. Η απόσταση του από την είναι $6\sqrt{2}$ .

α) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

β) Αν επιπλέον είναι , να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

$\displaystyle{\angle DQP = {45^0} = \angle QBP}$ (υπό χορδής –εφαπτόμενης) και με $\displaystyle{PK,QL}$ ύψη του $\displaystyle{\vartriangle PQB}$ εύκολα προκύπτουν

οι 45-αρες γωνίες του σχήματος, άρα $\displaystyle{DK//PB,DL//QB}$ και $\displaystyle{PQ = R\sqrt 2 \Rightarrow DQ = DP = R}$

Ακόμη,αν $\displaystyle{QB = y,PB = x \Rightarrow 2\left( {QLB} \right) = QL \cdot LB = \frac{{{y^2}}}{2} = 2\left( {DQB} \right) = Rb}$ και $\displaystyle{2\left( {PKB} \right) = KP \cdot KB = \frac{{{x^2}}}{2} = 2\left( {DQB} \right) = Ra}$

Άρα $\displaystyle{\boxed{{{\left( {xy} \right)}^2} = 4{R^2}ab}(1)}$ .Όμως $\displaystyle{2\left( {QPB} \right) = xy\sin {45^0} = R\sqrt 2 \cdot 6\sqrt 2 = 12R \Rightarrow \boxed{{{\left( {xy} \right)}^2} = 288{R^2}}(2)}$

Από $\displaystyle{(1),(2) \Rightarrow \boxed{\left( {ABCD} \right) = ab = 72}}$

Όταν $\displaystyle{R = 5 \Rightarrow {x^2} = 10a \Rightarrow {(b - 5)^2} + {\alpha ^2} = 10a}$ και $\displaystyle{ab = 72}$ απ όπου $\displaystyle{\alpha = 9,\beta = 8}$ ή $\displaystyle{\alpha = 8,\beta = 9}$

: a212.png (23.09 KiB) Προβλήθηκε 820 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #599

KARKAR έγραψε:Άσκηση 208
Το συνημμένο Άσκηση 208.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Είναι : $\dfrac{AB}{AD}=2 , \dfrac{\widehat{CAB}}{\widehat{ACS}}=2$ . Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$

Με $\displaystyle{CE}$ διχοτόμο της $\displaystyle{\angle ACS \Rightarrow CS}$ εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle{\vartriangle CAE \Rightarrow C{S^2} = SE \cdot SA \Rightarrow {b^2} + {x^2} = SE \cdot SA(1)}$

Είναι $\displaystyle{EO \bot AC \Rightarrow AO \cdot AC = AE \cdot AB \Rightarrow \frac{{5{b^2}}}{2} = AE \cdot 2b \Rightarrow \boxed{AE = \frac{{5b}}{4}} \Rightarrow EB = \frac{{3b}}{4} \Rightarrow \boxed{ES = \frac{{3b}}{4} - x}}$

$\displaystyle{(1) \Rightarrow {b^2} + {x^2} = \left( {2b - x} \right)\left( {\frac{{3b}}{4} - x} \right) \Rightarrow x = \frac{{2b}}{{11}} \Rightarrow AS = \frac{{20b}}{{11}} \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = 10}}$

: a208.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

#600

KARKAR έγραψε:Άσκηση 211
Στο άκρο της διαγωνίου , ορθογωνίου , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Ονομάζω το μέσο του , παίρνω τυχαίο σημείο της και γράφω τους κύκλους , , , οι οποίοι τέμνουν τις προεκτάσεις των στα αντίστοιχα .Δείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται σε σημείο - το οποίο ονομάζω - της .

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Στάθης

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση