Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Συντονιστής: spyros
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 16
Στην πλευρά ορθογωνίου , διαστάσεων , κινείται
σημείο .Η κάθετη προς την , στο , τέμνει την πλευρά στο σημείο .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή του .
σημείο .Η κάθετη προς την , στο , τέμνει την πλευρά στο σημείο .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή του .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 16
Το γίνεται ελάχιστο όταν το γίνεται ελάχιστο.
Επειδή το είναι εγγράψιμο, ο περικυκλός του τέμνει την σε συμμετρικά σημεία ως προς την κοινή μεσοκάθετο των // χορδών
Από δύναμη σημείου έχουμε απόπου και που μηδενίζεται στο
οπότε και
Γεωμετρικά, πράγματι τα προσδιορίζονται από τον κύκλο που διέρχεται από τα και εφάπτεται στην και οι θέσεις τους σημειώνονται με τα σημεία στο σχήμα
Σάκης
Το γίνεται ελάχιστο όταν το γίνεται ελάχιστο.
Επειδή το είναι εγγράψιμο, ο περικυκλός του τέμνει την σε συμμετρικά σημεία ως προς την κοινή μεσοκάθετο των // χορδών
Από δύναμη σημείου έχουμε απόπου και που μηδενίζεται στο
οπότε και
Γεωμετρικά, πράγματι τα προσδιορίζονται από τον κύκλο που διέρχεται από τα και εφάπτεται στην και οι θέσεις τους σημειώνονται με τα σημεία στο σχήμα
Σάκης
τελευταία επεξεργασία από sakis1963 σε Κυρ Δεκ 20, 2015 11:09 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
ΑΣΚΗΣΗ 16
Θετω
Γιάννης
Θετω
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 17
Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με δεδομένα, τον λόγο πλευρών του , την κορυφή και δύο παράλληλες ευθείες επί των οποίων βρίσκονται οι κορυφές του αντίστοιχα
Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με δεδομένα, τον λόγο πλευρών του , την κορυφή και δύο παράλληλες ευθείες επί των οποίων βρίσκονται οι κορυφές του αντίστοιχα
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα φίλτατε ...Μιχαήλ .Μιχάλης Νάννος έγραψε:Καλημέρα. Χαιρετίζω την ιδέα του Θανάση με μια απλή για ζέσταμα…
Άσκηση 7 Στο ορθογώνιο , του παραπάνω σχήματος, δίνεται ότι και . Να βρείτε τη γωνία .
Μικρή κι ωραία είναι, αλλά όχι απλή.
Αν το μέσο του και σημείο του , ώστε , τότε επειδή δε από το τρίγωνο, ισχύει :
Θα είναι .
Ν.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα Σάκη, Καλημέρα σε όλους.sakis1963 έγραψε:Ασκηση 15
Αφού περιγράψετε γεωμετρικά με τετράγωνο, δοσμένο ορθογώνιο με πλευρές αποδείξτε ότι το εμβαδόν του (τετραγώνου) είναι
Από τις κορυφές του ορθογωνίου, φέρνω κάθετες στις διχοτόμους του. Το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι προφανώς το ζητούμενο τετράγωνο με πλευρά και εμβαδόν
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 18
Δίνεται ορθογώνιο με και έστω οι προβολές
τυχαίου σημείου της διαγωνίου πάνω στις πλευρές αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η
διαφορά είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του .
τυχαίου σημείου της διαγωνίου πάνω στις πλευρές αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η
διαφορά είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 18
Γειά σου Γιώργο,
επειδή τα ορθογώνια είναι ομοιόθετα με κέντρο (και κάποιο λόγο που εξαρτάται από τη θέση του ),
οι διαγωνιές τους είναι παραλλήλες και συνεπώς τραπέζιο, απόπου ,
οπότε
Σάκης
επειδή τα ορθογώνια είναι ομοιόθετα με κέντρο (και κάποιο λόγο που εξαρτάται από τη θέση του ),
οι διαγωνιές τους είναι παραλλήλες και συνεπώς τραπέζιο, απόπου ,
οπότε
Σάκης
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 19
Το σημείο είναι το κέντρο του διαστάσεων ορθογωνίου .
Σημεία κινούνται επί των αντίστοιχα , ώστε .
α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι σταθερής ομοιότητας* .
β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της είναι μια ευθεία .
γ) Υπολογίστε το λόγο , ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το .
*Η έκφραση ίσως είναι αδόκιμη , ισοδυναμεί πάντως με την παλαιότρη "παραμένει όμοιο προς εαυτό(ν)"
Σημεία κινούνται επί των αντίστοιχα , ώστε .
α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι σταθερής ομοιότητας* .
β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της είναι μια ευθεία .
γ) Υπολογίστε το λόγο , ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το .
*Η έκφραση ίσως είναι αδόκιμη , ισοδυναμεί πάντως με την παλαιότρη "παραμένει όμοιο προς εαυτό(ν)"
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Τα είναι σταθερά καθώς και η γωνία .KARKAR έγραψε:Άσκηση 19 Το σημείο είναι το κέντρο του διαστάσεων ορθογωνίου .
Σημεία κινούνται επί των αντίστοιχα , ώστε .
α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι σταθερής ομοιότητας* .
β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της είναι μια ευθεία .
γ) Υπολογίστε το λόγο , ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το .
*Η έκφραση ίσως είναι αδόκιμη , ισοδυναμεί πάντως με την παλαιότρη "παραμένει όμοιο προς εαυτό(ν)"
Επειδή τα σημεία ομοκυκλικά θα είναι , σταθερή και άρα το ορθογώνιο τρίγωνο μένει όμοιο προς αυτό.
Επειδή το σημείο ανήκει στη σταθερή μεσοκάθετο του
Αν η ευθεία αυτή περνά από το θα ισχύει και άρα
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 19
Χαιρετώ.
α. Επειδή το είναι εγγράψιμο, γωνία
β. Το είναι κάθε φορά το κέντρο του περίκυκλου του , οπότε αφού οι κύκλοι (δέσμη) διέρχονται από σταθερή χορδή ,
ο γ.μ. του είναι η μεσοκάθετος της (περιοριζόμενη από της πλευρές του ορθογωνίου)
γ. όταν η μεσοκάθετος της διέρχεται από το , το τρίγωνο είναι ισοσκελές και λόγω του ορθογωνίου (ίσες διχοτομούμενες διαγώνιες) ισόπλευρο.
Αρα
Σάκης
Γειά σου Νίκο (με πρόλαβες στη στροφή ... και με σχήμα!!!). Την αφήνω για τον κόπο.
Για βραβείο (ή τιμωρία...) να λύσεις την Ασκ.17
Χαιρετώ.
α. Επειδή το είναι εγγράψιμο, γωνία
β. Το είναι κάθε φορά το κέντρο του περίκυκλου του , οπότε αφού οι κύκλοι (δέσμη) διέρχονται από σταθερή χορδή ,
ο γ.μ. του είναι η μεσοκάθετος της (περιοριζόμενη από της πλευρές του ορθογωνίου)
γ. όταν η μεσοκάθετος της διέρχεται από το , το τρίγωνο είναι ισοσκελές και λόγω του ορθογωνίου (ίσες διχοτομούμενες διαγώνιες) ισόπλευρο.
Αρα
Σάκης
Γειά σου Νίκο (με πρόλαβες στη στροφή ... και με σχήμα!!!). Την αφήνω για τον κόπο.
Για βραβείο (ή τιμωρία...) να λύσεις την Ασκ.17
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 20
Στην προέκταση της πλευράς , ορθογωνίου , κινείται σημείο .
Η τέμνει την στο , του οποίου την προβολή στην , ονομάζω .
Βρείτε , συναρτήσει των πλευρών , τη μέγιστη τιμή του λόγου .
Η τέμνει την στο , του οποίου την προβολή στην , ονομάζω .
Βρείτε , συναρτήσει των πλευρών , τη μέγιστη τιμή του λόγου .
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλησπέρα.sakis1963 έγραψε:Ασκηση 17
Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με δεδομένα, τον λόγο πλευρών του , την κορυφή και δύο παράλληλες ευθείες επί των οποίων βρίσκονται οι κορυφές του αντίστοιχα
Έστω οι προβολές του στις αντίστοιχα. Αφού το είναι σταθερό και οι ευθείες δοσμένες τότε και τα σημεία είναι σταθερά και έστω και
Από τα όμοια τρίγωνα , είναι , άρα τα σημεία είναι ορισμένα και η κατασκευή του ορθογωνίου απλή.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
ΑΣΚΗΣΗ 21
Δίνεται ορθογώνιο πλευράς και εμβαδού . Έστω , τέτοιο ώστε και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 22
Για μικρότερες ηλικίες . Τα σημεία είναι τα μεσα των πλευρών ,
του ορθογωνίου και το είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου .
Αν τα εικονιζόμενα βέλη ( όχι διανύσματα ! ) είναι ίσα , υπολογίστε το λόγο .
του ορθογωνίου και το είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου .
Αν τα εικονιζόμενα βέλη ( όχι διανύσματα ! ) είναι ίσα , υπολογίστε το λόγο .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Γεια σου Μιχάλη, γεια σε όλους.Μιχάλης Νάννος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21 Δίνεται ορθογώνιο πλευράς και εμβαδού . Έστω , τέτοιο ώστε και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
Από την υπόθεση βρίσκω ότι . Φέρνω τις παράλληλες στη και έστω , οπότε θα είναι και .
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 20
Καλησπέρα.
,
.....(1)
....(2)
.....(3)
(1)-> και μέσω (2), (3) .....(4)
από όμοια τρίγωνα .....(5)
από όμοια τρίγωνα .....(6)
από (5), (6) έχουμε .....(7)
από (4), (7) έχουμε
οπότε o ζητούμενος λόγος δίνεται από τη σχέση
και (με λογισμικό, που δεν μπορεί να βρεί ρίζες με παραμέτρους )
Αν για παράδειγμα θέσω βγάζει αποτέλεσμα ένα "σιδηρόδρομο" νούμερα ......
,
.....(1)
....(2)
.....(3)
(1)-> και μέσω (2), (3) .....(4)
από όμοια τρίγωνα .....(5)
από όμοια τρίγωνα .....(6)
από (5), (6) έχουμε .....(7)
από (4), (7) έχουμε
οπότε o ζητούμενος λόγος δίνεται από τη σχέση
και (με λογισμικό, που δεν μπορεί να βρεί ρίζες με παραμέτρους )
Αν για παράδειγμα θέσω βγάζει αποτέλεσμα ένα "σιδηρόδρομο" νούμερα ......
τελευταία επεξεργασία από sakis1963 σε Δευ Δεκ 21, 2015 11:37 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες