Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Συντονιστής: spyros
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 9
Φέρω το ύψος του τριγώνου
Οι ως εντός εναλλάξ
Οι από τη γνωστή πρόταση ύψους-διχοτόμου-διαμέτρου περίκυκλου, που άγονται από την ιδια κορυφή (εδώ την )
Αρα ισοσκελές και λόγω της ισότητας των διαγωνίων του ορθογωνίου
Σάκης
Χαιρετώ.Φέρω το ύψος του τριγώνου
Οι ως εντός εναλλάξ
Οι από τη γνωστή πρόταση ύψους-διχοτόμου-διαμέτρου περίκυκλου, που άγονται από την ιδια κορυφή (εδώ την )
Αρα ισοσκελές και λόγω της ισότητας των διαγωνίων του ορθογωνίου
Σάκης
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 8
α.
Θέτω οπότε από Π.Θ. στο
Από δύναμη σημείου έχω απόπου
α.
Θέτω οπότε από Π.Θ. στο
Από δύναμη σημείου έχω απόπου
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 10
Ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου είναι .
Κατασκευάστε νέο ορθογώνιο , με κορυφές ανά μία στις πλευρές
του αρχικού και και βρείτε το λόγο :
Ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου είναι .
Κατασκευάστε νέο ορθογώνιο , με κορυφές ανά μία στις πλευρές
του αρχικού και και βρείτε το λόγο :
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Δεκ 20, 2015 2:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Για το δεύτερο ερώτημα είναι .sakis1963 έγραψε:Ασκηση 8
α.
Θέτω οπότε από Π.Θ. στο
Από δύναμη σημείου έχω απ όπου
Λόγω άθλιου διαδικτύου, υποθέτω σε λίγο και τα λόγια.
Ν.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13206
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Χαιρετώ τους φίλους.Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
Δίνεται ορθογώνιο στο οποίο είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας και της από το καθέτου στην . Δείξτε ότι .
Φέρνω από το παράλληλη στη που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε . Τα τρίγωνα έχουν και , οπότε θα είναι ή (ο κριτήριο). Στην η περίπτωση τα τρίγωνα είναι ίσα και . Στη δεύτερη περίπτωση είναι , δηλαδή το είναι τετράγωνο, το είναι μέσο του , άρα και πάλι ισχύει.
Υπάρχουν πολύ πιο εύκολοι τρόποι, αλλά ήθελα να χρησιμοποιήσω αυτό το κριτήριο που το βλέπουμε σπάνια.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
KARKAR έγραψε:Άσκηση 8 Ορθογώνιο , διαστάσεων , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Η εφαπτομένη του
περικύκλου στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο , από το οποίο φέρουμε
το άλλο εφαπτόμενο τμήμα και στη συνέχεια το κάθετο προς την τμήμα .
α) Υπολογίστε το τμήμα . β) Αν , υπολογίστε το τμήμα .
1. Επειδή και άρα .
2. Αν τώρα θα έχουμε , δηλαδή με άμεση συνέπεια .
Έστω το σημείο τομής των και το κέντρο του κύκλου του ορθογωνίου .
Επειδή ( υπό χορδής κι εφαπτομένης ) και ( αφού ) , θα είναι και άρα τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Όμως τα σημεία ανήκουν στο κύκλο διαμέτρου γιατί .
Συνεπώς τα πέντε σημεία ανήκουν στον κύκλο διαμέτρου με άμεση συνέπεια το να είναι μέσο του .
Από τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο θα έχουμε :
Λόγω Π. Θ. στο τρίγωνο . Όμως τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια και η προηγούμενη σχέση γίνεται :
και λόγω της
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 11
Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του ορθογωνίου
, όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν η απόσταση της κορυφής απο την
πλευρά είναι , βρείτε την απόσταση του από την πλευρά
, όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν η απόσταση της κορυφής απο την
πλευρά είναι , βρείτε την απόσταση του από την πλευρά
-
- Δημοσιεύσεις: 1418
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
ΑΣΚΗΣΗ 12
Θεωρούμε ένα ορθογώνιο και τυχαίο σημείο της περιμέτρου του.
Δείξτε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του από τις διαγωνίους και
είναι σταθερό.
Θεωρούμε ένα ορθογώνιο και τυχαίο σημείο της περιμέτρου του.
Δείξτε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του από τις διαγωνίους και
είναι σταθερό.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
KARKAR έγραψε:Άσκηση 11 Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του ορθογωνίου
, όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν η απόσταση της κορυφής απο την
πλευρά είναι , βρείτε την απόσταση του από την πλευρά
Ας δούμε τη γεωμετρική κατασκευή.
Από το φέρνουμε ευθεία με κλίση με την η οποία τέμνει τη μεσοπαράλληλο των και ( σταθερή ως ευθεία) στο μέσο του .
Τα υπόλοιπα είναι απλώς … υπολογισμοί!
Ας είναι η διάμεσος του τραπεζίου . Επειδή και άρα
Ν.
-
- Δημοσιεύσεις: 2749
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ας είναι . Τότε . Θέτουμε , άρα .KARKAR έγραψε:Άσκηση 10
Ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου είναι .
Κατασκευάστε νέο ορθογώνιο , με κορυφές ανά μία στις πλευρές
του αρχικού και και βρείτε το λόγο :
Επειδή , τα ορθογώνια τρίγωνα θα έχουν ίσες γωνίες κι αφού έχουν ίσες υποτείνουσες θα είναι και ίσα .
Από τα όμοια τρίγωνα έχουμε: κι αφού έχουμε την εξίσωση : .
Έτσι με είναι : και η κατασκευή του απλή.
Επειδή ( Π. Θ. στα τρίγωνα ) θα έχουμε:
.
Ν.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
ΑΣΚΗΣΗ 13
Μια απλή και σχολική :
Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου υπάρχει σημείο , τέτοιο ώστε : .Να υπολογιστεί το τμήμα .
Μπ
Μια απλή και σχολική :
Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου υπάρχει σημείο , τέτοιο ώστε : .Να υπολογιστεί το τμήμα .
Μπ
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3530
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Γεια σου Μπάμπη.Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13
Μια απλή και σχολική :
Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου υπάρχει σημείο , τέτοιο ώστε : .Να υπολογιστεί το τμήμα .
Μπ
Είναι .
* Edit: Η σχέση προκύπτει από δύο θεωρήματα διαμέσων στις ίσες διαγώνιες του ορθογωνίου, που τέμνονται στο .
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Δευ Δεκ 21, 2015 6:29 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ας είναι και και οι αποστάσεις του σημείου από τις πλευρές και αντίστοιχα τότεΜπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13
Μια απλή και σχολική :
Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου υπάρχει σημείο , τέτοιο ώστε : .Να υπολογιστεί το τμήμα .
Μπ
όμως , άρα
edit: Άργησα... Την αφήνω για να την βρίσκω εύκολα (στις δημοσιεύσεις μου) και επειδή μου άρεσε.
-
- Δημοσιεύσεις: 2749
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 14
Στην πλευρά ορθογωνίου , διαστάσεων , βρίσκεται σημείο ,
και έστω . Επιλέξτε σημείο της πλευράς , με ώστε ,
αν η κάθετη της στο , τέμνει την στο και την στο ,
να είναι : . Διερεύνηση επιθμητή , αλλά όχι ζητούμενη !
και έστω . Επιλέξτε σημείο της πλευράς , με ώστε ,
αν η κάθετη της στο , τέμνει την στο και την στο ,
να είναι : . Διερεύνηση επιθμητή , αλλά όχι ζητούμενη !
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
AΣΚΗΣΗ 12
Έστω τότε είναι , γιατί είναι ορθογώνια
και έχουν την πλευρά κοινή, Αρα
Aπό το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
, σταθερό
Γιάννης
Έστω τότε είναι , γιατί είναι ορθογώνια
και έχουν την πλευρά κοινή, Αρα
Aπό το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
, σταθερό
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 12.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 1383 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5279
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 14
Χωρίζω το ορθογώνιο σε τρία οριζόντια ισεμβαδικά τμήματα υψους
Η ζητούμενη είναι η συμμετρική της ώς προς την // προς την που περνά από την τομή , της με την 1η παράλληλη
Είναι φανερό ότι πρέπει
Σάκης
Η ζητούμενη είναι η συμμετρική της ώς προς την // προς την που περνά από την τομή , της με την 1η παράλληλη
Είναι φανερό ότι πρέπει
Σάκης
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 15
Αφού περιγράψετε γεωμετρικά με τετράγωνο, δοσμένο ορθογώνιο με πλευρές αποδείξτε ότι το εμβαδόν του (τετραγώνου) είναι
Αφού περιγράψετε γεωμετρικά με τετράγωνο, δοσμένο ορθογώνιο με πλευρές αποδείξτε ότι το εμβαδόν του (τετραγώνου) είναι
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες