Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

KARKAR · #1

Στο παρελθόν είχαν δημιουργηθεί με πρωτοβουλία εκλεκτών συναδέλφων , συλλογές ασκήσεων

στα τετράγωνα , τα ισόπλευρα τρίγωνα και στα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα .

Στην παρούσα θέση , ας αναρτήσουμε θέματα ποικίλης δυσκολίας , τα οποία όμως θα έχουν

ως σχήμα εκκίνησης ένα ορθογώνιο ( κατά προτίμηση μακρόστενο και όχι στενόμακρο ).

Άσκηση 1

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια.png (6.71 KiB) Προβλήθηκε 15327 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD

, διαστάσεων $a \times b , ( b<\dfrac{a}{2} )$ , γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

, το οποίο

τέμνει την πλευρά

στα σημεία S,T

. Εκφράστε το τμήμα

, συναρτήσει των πλευρών

του ορθογωνίου και βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : i) ST= b

... ή ... $ii) (ASTB)=\dfrac{2}{3}(ABCD)$

ealexiou · #2

Για το α)

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 1α.png (16.8 KiB) Προβλήθηκε 15306 φορές

Π.Θ στο $\triangle SOS'$ , $SO^2=SS'^2+S'O^2 \Rightarrow$ $b^2+\dfrac{b^2}{4} =\dfrac{a^2}{4}\Rightarrow$ $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Για το β)

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 1β.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 15295 φορές

Ας είναι

Αν $\dfrac{(ASTB)}{(ABCD)}=\dfrac{2}{3}$ τότε $\dfrac{(a+x)}{2}b=\dfrac{2}{3}ab \Rightarrow x=\dfrac{a}{3}$

Π.Θ στο $\triangle SOS'$ , $\left(\dfrac{a}{6}\right )^2+b^2=\dfrac{a^2}{4} \Rightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

KARKAR · #3

Άσκηση 2

: Ίσα ορθογώνια.png (7.86 KiB) Προβλήθηκε 15230 φορές

Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο

στην πλευρά

, του διαστάσεων $a\times b$

ορθογωνίου ABCD

, ώστε αν φέρω $ST \parallel DB$ και $SP \perp DB$ , τα τρίγωνα

DPS , SAT

να είναι ίσα . Υπολογίστε , στη συνέχεια , το τμήμα

.

#4

ΑΣΚΗΣΗ 3

Αν $\displaystyle{E}$ τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του $\displaystyle{ABCD}$ και οι ημιευθείες $\displaystyle{AE,BE,CE,DE}$ τέμνουν τις πλευρές του στα $\displaystyle{P,M,K,L}$ . Δείξτε ότι :
$\displaystyle{AE + BE + CE + DE \ge KE + ME + PE + LE}$

#5

ΑΣΚΗΣΗ 4

: προβολή και καθετότητα.png (7.27 KiB) Προβλήθηκε 15207 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

,

είναι η προβολή του

στην

.

Αν $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK$ αντίστοιχα , δείξετε ότι $MN \bot NB$ .

raf616 · #6

Doloros έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4

προβολή και καθετότητα.png
Στο ορθογώνιο , είναι η προβολή του στην .

Αν $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK$ αντίστοιχα , δείξετε ότι $MN \bot NB$ .

Καλησπέρα κ. Νίκο! Μία προσπάθεια:

Έστω

το μέσο της

. Τότε είναι απλό ότι τα τρίγωνα LDM

και

είναι ίσα. Έστω

το μέσο της

. Ισχύει $RL = RC = RB = RN= \dfrac{LC}{2}$ αφού και

$LN \parallel BK$ και άρα $LN \perp AK$ . Ακόμα $RM = \dfrac{LD}{2} = \dfrac{LC}{2}$ και άρα τα M, N, L, B, C

ανήκουν σε κύκλο. Άρα $\angle MNB = \angle MLB = 90^{o}$ και έτσι το ζητούμενο

εδείχθη.

KARKAR · #7

Doloros έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4
Στο ορθογώνιο , είναι η προβολή του στην .

Αν $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK$ αντίστοιχα , δείξετε ότι $MN \bot NB$ .

: dol..png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 15199 φορές

Ο κύκλος που διέρχεται από τα B,C,M

, διέρχεται και από το μέσο

της

και

έστω ότι τέμνει την

στο

. Επειδή $\widehat{CNS}=90^0$ (βαίνει σε ημικύκλιο )

το

είναι το μέσο της

, $(SN \parallel BK )$ ο.ε.δ.

ealexiou · #8

KARKAR έγραψε:Άσκηση 2
Το συνημμένο Ίσα ορθογώνια.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο στην πλευρά , του διαστάσεων $a\times b$

ορθογωνίου , ώστε αν φέρω $ST \parallel DB$ και $SP \perp DB$ , τα τρίγωνα

να είναι ίσα . Υπολογίστε , στη συνέχεια , το τμήμα .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 2.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 15199 φορές

Ας είναι

μεσοπαράλληλη των AB,CD

και

διχοτόμος της $\angle ADB$ και

μεσοκάθετη της

. Το σημείο

είναι το ζητούμενο αφού $\boxed{DS=ST}$ και $AS=AD-SD=DA'-ST=DA'-PA'\Rightarrow$ $\boxed{AS=DP}$

#9

KARKAR έγραψε:Άσκηση 2
Το συνημμένο Ίσα ορθογώνια.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο στην πλευρά , του διαστάσεων $a\times b$

ορθογωνίου , ώστε αν φέρω $ST \parallel DB$ και $SP \perp DB$ , τα τρίγωνα

να είναι ίσα . Υπολογίστε , στη συνέχεια , το τμήμα .

: Ορθογώνια (KARKAR)_2.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 15182 φορές

Αν

η προβολή του

στην

θα είναι

και άρα η

είναι διχοτόμος του τριγώνου DAB

. Θέτουμε $\boxed{DB = d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} }$

Επειδή , $x = \dfrac{{ab}}{{b + d}}$ και ST//DB

προκύπτει εύκολα: $\boxed{AS = y = \frac{{{b^2}}}{{b + d}}}$ .

Ν.

KARKAR · #10

Άσκηση 5

: Παράλληλο τμήμα.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 15159 φορές

Σημείο

βρίσκεται σε τυχαία θέση στο εσωτερικό ορθογωνίου ABCD

.

Οι κάθετες από το

προς την

και από το

προς την

, τέμνονται

στο σημείο

. Δείξτε ότι $ST \parallel AB$ .

ealexiou · #11

KARKAR έγραψε:Άσκηση 5
Το συνημμένο Παράλληλο τμήμα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο βρίσκεται σε τυχαία θέση στο εσωτερικό ορθογωνίου .

Οι κάθετες από το προς την και από το προς την , τέμνονται

στο σημείο . Δείξτε ότι $ST \parallel AB$ .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 5.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 15142 φορές

Είναι τετράπλευρο SETZ

εγγράψιμο καθώς και το ABZCED

, οπότε:

$\angle STZ= \angle SEZ \equiv \angle AEZ =\angle ADZ \Rightarrow$ $\angle ZST =90° -\angle STZ =$ $90° -\angle ADZ =\angle ZDC$ και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

sakis1963 · #12

Ασκηση 6

: GEOMETRIA133 Τέμνουσα διαγωνίων ορθογωνίου.png (24.7 KiB) Προβλήθηκε 15133 φορές

Εστω

τα μέσα των πλευρών AB, AD

ορθογωνίου ABCD

και

το κέντρο του.

a. Να αχθεί από

ευθεία που τέμνει με τη σειρά τις διαγώνιες BD, AC

του ορθογωνίου στα S, T

αντίστοιχα, ώστε OS=TC

(υπολογιστικά ή γεωμετρικά)

b. Αποδείξτε ότι αν $P=NT \cap BD$ τότε OP=OS

c. Βρείτε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ των πλευρών του ορθογωνίου ώστε $MT \perp BD$

STOPJOHN · #13

ΑΣΚΗΣΗ 3
Καλησπέρα

Kατασκευάζω τις ευθείες ST//AB,IJ//BC

Στηρίζομαι στην πρόταση της σχέσης μεταξύ καθέτου από ένα σημείο και πλάγιων τμημάτων από το ίδιο σημείο δηλαδή $LS\prec SB\Leftrightarrow LE\prec EB$ μπορεί να ισχύει και το ίσον σε μια ειδική θέση των ευθειών.Αρα είναι

$BE\geq LE\geq SE, AE\geq EK\geq ET, CE\geq PE\geq EI, DE\geq EM\geq EI$

Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισοτήτων καταλήγουμε στην αποδεικτέα σχέση

Γιάννης

Ιστοσελίδα · #14

Καλημέρα. Χαιρετίζω την ιδέα του Θανάση με μια απλή για ζέσταμα…

Άσκηση 7

: 07.jpg (71.04 KiB) Προβλήθηκε 15073 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, του παραπάνω σχήματος, δίνεται ότι $EKZ\parallel AD,\,EC = \dfrac{{AK}}{2}$ και $C\widehat EB = {60^ \circ }$ . Να βρείτε τη γωνία $x = A\widehat CE$ .

STOPJOHN · #15

ΑΣΚΗΣΗ 6

Καλημέρα

Θέτω $OS=d,OT=\varepsilon$ .

$LM//\dfrac{OB}{2}=\dfrac{d+\varepsilon }{2},NL=LM,2OB=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, NL//OP\Rightarrow \dfrac{TP}{TN}=\dfrac{OP}{NL}\Rightarrow OP=d=OS,DP=SB=OT=\varepsilon$

Στο τρίγωνο OAB

με τέμνουσα MST

από το θεώρημα του Μενελάου :

$\dfrac{SB}{OS}\dfrac{OT}{AT}\dfrac{AM}{MB}=1\Rightarrow \varepsilon ^{2}-d^{2}=2d\varepsilon \Leftrightarrow \varepsilon =d(1+\sqrt{2})(**), 2(d+\varepsilon) =\sqrt{a^{2}+b^{2}},(*) (*),(**)\Rightarrow d=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{4+2\sqrt{2}}, \varepsilon =\dfrac{\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}{8}$

Για το τρίτο ερώτημα :

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

$OMB,MS\perp OB, MS^{2}=d\varepsilon ,(1), MS^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}-\varepsilon ^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{b}{a}=\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+1}}$

Γιάννης

STOPJOHN · #16

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Καλημέρα. Χαιρετίζω την ιδέα του Θανάση με μια απλή για ζέσταμα…

Άσκηση 7
Το συνημμένο 07.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο , του παραπάνω σχήματος, δίνεται ότι $EKZ\parallel AD,\,EC = \dfrac{{AK}}{2}$ και $C\widehat EB = {60^ \circ }$ . Να βρείτε τη γωνία $x = A\widehat CE$ .

Kαλημέρα

Θέτω $EB=d,\hat{CAE}=\hat{\omega }$ . Συνεπώς

$EC=2d,AK=4d,SA=SK=ES=2d, \hat{x}+\hat{\omega }=60^{0}, \hat{x}=2\hat{\omega }, \hat{x}=40^{0}$

Φιλικά και Θρυλικά
Γιάννης

KARKAR · #17

Άσκηση 8

: Άσκηση 8.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 15051 φορές

Ορθογώνιο

, διαστάσεων $a \times b$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Η εφαπτομένη του

περικύκλου στο

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

, από το οποίο φέρουμε

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα

και στη συνέχεια το κάθετο προς την

τμήμα

.

α) Υπολογίστε το τμήμα

. β) Αν $CS=\dfrac{a}{3}$ , υπολογίστε το τμήμα

.

Φανης Θεοφανιδης · #18

ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ στο οποίο

είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας $\hat{A}$ και της από το $\Gamma$ καθέτου στην $B\Delta$ . Δείξτε ότι $B\Delta =\Gamma K$ .

ealexiou · #19

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ στο οποίο είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας $\hat{A}$ και της από το $\Gamma$ καθέτου στην $B\Delta$ . Δείξτε ότι $B\Delta =\Gamma K$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #20

ΑΣΚΗΣΗ 9

Το τετράπλευρο $\Delta TNK$ είναι εγράψιμο σε κύκλο και $\hat{B\Delta N}=\hat{TKN}=\omega ,$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $\Delta B\Gamma ,NK\Gamma \Rightarrow \dfrac{b}{N\Gamma }=\dfrac{a}{a-b+N\Gamma }\Leftrightarrow N\Gamma =b=B\Gamma$

Αρα τα τρίγωνα $NK\Gamma ,B\Gamma \Delta$ ,είναι ίσα και το ζητούμενο έχει δειχθεί.

Οι πλευρές του ορθογωνίου είναι $AB=a,A\Delta =b$

Γιάννης

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση