Τύπος εμβαδού
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Τύπος εμβαδού
Στο επίπεδο δίνονται τα σημεία
Θεωρούμε ότι η κλειστή πολυγωνική γραμμή
δεν τέμνει τον εαυτό της και είναι έτσι ώστε η φορά της να είναι ίδια με
την φορά των δεικτών του ωρολογίου.
Ετσι περικλείει ένα χωρίο του επιπέδου(κυρτό η μη κυρτό)
Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό αυτού του χωρίου είναι
όπου
Θεωρούμε ότι η κλειστή πολυγωνική γραμμή
δεν τέμνει τον εαυτό της και είναι έτσι ώστε η φορά της να είναι ίδια με
την φορά των δεικτών του ωρολογίου.
Ετσι περικλείει ένα χωρίο του επιπέδου(κυρτό η μη κυρτό)
Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό αυτού του χωρίου είναι
όπου
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τύπος εμβαδού
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Green για εμβαδό επίπεδου χωρίου.
Συγκεκριμένα αν είναι απλή κλειστή καμπύλη κατά τμήματα λεία ,
θετικά προσανατολισμένη που περιέχει το χωρίο
τότε
οπου το εμβαδό του
Επειδή η καμπύλη που έχουμε έχει την φορά των δεικτών του ωρολογίου που είναι αρνητική
θα πρέπει να ολοκληρώσουμε ανάποδα.
Το ζητούμενο εμβαδό θα είναι
Παίρνοντας παραμέτριση
υπολογίζουμε ότι
Αθροίζοντας και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε το ζητούμενο
Στην ουσία ο τύπος προκύπτει αθροίζοντας -αφαιρώντας εμβαδά τραπεζίων.
Μπορεί ειδικά στην περίπτωση του κυρτού να γίνει απόδειξη με επαγωγή.
Στην περίπτωση του μη κυρτού και εκεί μπορεί να γίνει απόδειξη με επαγωγή αλλά
θα πρέπει να εξετασθούν κάποιες περιπτώσεις,
Συγκεκριμένα αν είναι απλή κλειστή καμπύλη κατά τμήματα λεία ,
θετικά προσανατολισμένη που περιέχει το χωρίο
τότε
οπου το εμβαδό του
Επειδή η καμπύλη που έχουμε έχει την φορά των δεικτών του ωρολογίου που είναι αρνητική
θα πρέπει να ολοκληρώσουμε ανάποδα.
Το ζητούμενο εμβαδό θα είναι
Παίρνοντας παραμέτριση
υπολογίζουμε ότι
Αθροίζοντας και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε το ζητούμενο
Στην ουσία ο τύπος προκύπτει αθροίζοντας -αφαιρώντας εμβαδά τραπεζίων.
Μπορεί ειδικά στην περίπτωση του κυρτού να γίνει απόδειξη με επαγωγή.
Στην περίπτωση του μη κυρτού και εκεί μπορεί να γίνει απόδειξη με επαγωγή αλλά
θα πρέπει να εξετασθούν κάποιες περιπτώσεις,
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τύπος εμβαδού
Σταύρο, δεν είχα γράψει απόδειξη γιατί την γνώριζα ήδη. Πρόκειται για τον λεγόμενο τύπο του Gauss ή του Τοπογράφου.
Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις, π.χ. στοιχειωδώς με επαγωγή.
Βλέπε εδώ
Για απόδειξη με τύπο του Green
βλέπε εδώ
Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις, π.χ. στοιχειωδώς με επαγωγή.
Βλέπε εδώ
Για απόδειξη με τύπο του Green
βλέπε εδώ
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Τύπος εμβαδού
Πολύ ενδιαφέρον. Να και μία ακόμη εφαρμογή του Green που δεν είχα δει και ούτε γνώριζα. Σταύρο ευχαριστώ.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες