U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS
Σας προτείνω το θέμα 397 από τα Undergraduate Problems του 1ου τεύχους του 2017 του Mathematical Reflections . H καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15η Μαρτίου 2017. Αφού αυτή η ημερομηνία παρήλθε θεωρώ σωστό να την προτείνω. Το θέμα υπογράφει ο ίδιος ο Titu Andreescu.
Έχω βρει μια λύση και ξέρω ότι είναι σωστή , θέλω να δω όμως και άλλες σκέψεις , αν υπάρχουν....
Έστω o νιοστός τριγωνικός αριθμός . Υπολογίστε το
Έχω βρει μια λύση και ξέρω ότι είναι σωστή , θέλω να δω όμως και άλλες σκέψεις , αν υπάρχουν....
Έστω o νιοστός τριγωνικός αριθμός . Υπολογίστε το
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS
Αυτό το άθροισμα τι είναι; Πεπερασμένο ή άπειρο; Από πού ξεκινάει επίσης ;ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Έστω o νιοστός τριγωνικός αριθμός . Υπολογίστε το
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS
Όπως μπορεί να δει κάποιος στο τρέχον τεύχος του Mathematical Reflections , το άθροισμα ξεκινάει από το 1 και είναι πεπερασμένο.
Συγνώμη για το αν υπήρξε κάποια σύγχυση...
Βρήκα κλειστό τύπο που δίνει το άθροισμα , ο τρόπος με τον οποίον το βρήκα δεν ήταν κάτι το πολύ έξυπνο...
Μήπως υπάρχει κάτι καλύτερο; Αυτός είναι ο λόγος που προτείνω το θέμα , να δω άλλες σκέψεις.
Συγνώμη για το αν υπήρξε κάποια σύγχυση...
Βρήκα κλειστό τύπο που δίνει το άθροισμα , ο τρόπος με τον οποίον το βρήκα δεν ήταν κάτι το πολύ έξυπνο...
Μήπως υπάρχει κάτι καλύτερο; Αυτός είναι ο λόγος που προτείνω το θέμα , να δω άλλες σκέψεις.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS
Εφόσον δεν διευκρινίζει, θα υποθέσω ότι είναι από έως άπειρο.
Ας θυμηθούμε ότι άρα και .
Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι
(Η μέθοδος για να καταλήξουμε στο πιο πάνω είναι αρκετά γνωστή.)
Άρα
Άρα τηλεσκοπικά έχουμε
Το τελευταίο άθροισμα βγαίνει και πάλι τηλεσκοπικά αφού
Αυτό δίνει
οπότε
Επεξεργασία: Τώρα είδα ότι το άθροισμα είναι πεπερασμένο. Εν πάση περιπτώσει είναι απλό να μετατραπεί η πιο πάνω λύση σε λύση για το πεπερασμένο άθροισμα.
Ας θυμηθούμε ότι άρα και .
Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι
(Η μέθοδος για να καταλήξουμε στο πιο πάνω είναι αρκετά γνωστή.)
Άρα
Άρα τηλεσκοπικά έχουμε
Το τελευταίο άθροισμα βγαίνει και πάλι τηλεσκοπικά αφού
Αυτό δίνει
οπότε
Επεξεργασία: Τώρα είδα ότι το άθροισμα είναι πεπερασμένο. Εν πάση περιπτώσει είναι απλό να μετατραπεί η πιο πάνω λύση σε λύση για το πεπερασμένο άθροισμα.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS
Δημήτρη,Demetres έγραψε:Εφόσον δεν διευκρινίζει, θα υποθέσω ότι είναι από έως άπειρο.
και γω έτσι το πήρα το άθροισμα εφόσον δε διδόταν διεύκρινηση και φυσικά βρήκα όπως και συ. Έκανα ανάλυση σε απλά κλάσματα και μετά χρησιμοποίησα τη και τα λοιπά... (διότι για κάποιο λόγο δε μου βγαίναν τα τηλεσκοπικά η οποία ήταν η πρώτη σκέψη που έκανα όταν είδα το θέμα) αλλά τη προσέγγιση αυτή τη θεωρώ overkill.
Κανένα πρόβλημα. Ευχαριστώ για τη διευκρίνηση.ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Συγνώμη για το αν υπήρξε κάποια σύγχυση...
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες