Υποσύνολο φυσικών

BAGGP93 · #1

Έστω $\displaystyle{S}$ μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών τέτοιο, ώστε το $\displaystyle{\mathbb{N}\setminus S}$ να είναι

άπειρο. Υποθέτουμε επίσης ότι το $\displaystyle{S}$ είναι κλειστό στην πρόσθεση. Δείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle{n\in\mathbb{N}\,,n\geq 2}$

το οποίο διαιρεί κάθε στοιχείο του $\displaystyle{S}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Το

είναι άπειρο (κλειστό στην πρόσθεση)Διατάσουμε τα στοιχεία του

Εστω $S=\left \{ a_{1},a_{2},.... \right \}$
Θέτουμε $b_{k}=(a_{1},a_{2},...a_{k})$ μέγιστος κοινός διαιρέτης .
Προφανώς $b_{k+1}/b_{k}$ οπότε $(b_{k})$ είναι φθίνουσα.
Αρα σαν φθίνουσα ακολουθία φυσικών είναι τελικά σταθερή.
$b_{k}=r , k\geq k_{0}$
1περίπτωση
$r\geq 2$
τους διαιρεί όλους
2περίπτωση
r=1

δηλαδή υπάρχει

ωστε $1=(a_{1},a_{2},...a_{k})$
Βασει γνωστης(!) πρότασης το σύνολο των αριθμών της μορφής $\sum_{i=1}^{k}x_{i}a_{i}$
με $x_{i}\geq 0$ φυσικούς περιέχει ένα τελικό κομμάτι του $\mathbb{N}$ και επειδή το

είναι κλειστό
στην πρόσθεση αυτό το κομμάτι περιέχεται στο

Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ γιατί $\mathbb{N}-S$ απείρο
Αφου 2περίπτωση δεν υπάρχει τελειώσαμε

Καλό θα ή ήταν να αποδείξει κάποιος την γνωστή πρόταση.
Συμπλήρωμα.Διατύπωση γνωστής πρότασης
viewtopic.php?f=168&t=55793

BAGGP93 · #3

Παραθέτω ακόμη μια ιδέα για να μου πείτε τη γνώμη σας. Η ιδέα δεν είναι δική μου, αλλά 2 φίλων μου και συμφοιτητών μου.

Θέτουμε $\displaystyle{G=S\cup (-S)\cup \left\{0\right\}}$ . Εξ' υποθέσεως, το $\displaystyle{G}$ είναι υποομάδα της $\displaystyle{\left(\mathbb{Z},+\right)}$

και συνεπώς, υπάρχει $\displaystyle{n\in\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}}$ ώστε $\displaystyle{G=n\,\mathbb{Z}}$ . Αν $\displaystyle{n=0}$ , τότε

$\displaystyle{G=\left\{0\right\}\implies S=\left\{0\right\}\implies 0\in\mathbb{N}}$ , άτοπο. Αν $\displaystyle{n=1}$ , τότε

$\displaystyle{G=\mathbb{Z}\implies 1\in S\implies S=\mathbb{N}}$ , άτοπο. Ώστε, $\displaystyle{n\geq 2}$ .

#4

BAGGP93 έγραψε:
Θέτουμε $\displaystyle{G=S\cup (-S)\cup \left\{0\right\}}$ . Εξ' υποθέσεως, το $\displaystyle{G}$ είναι υποομάδα της $\displaystyle{\left(\mathbb{Z},+\right)}$

Βαγγέλη, δεν ισχύει αυτό. Για να ίσχυε θα έπρεπε να ξέραμε πως αν $a,b \in S$ με a < b

τότε $(b-a) \in S$ , κάτι το οποίο δεν δίνεται.

Για παράδειγμα θα μπορούσε το

να είναι όλα τα πολλαπλάσια του

τα οποία είναι μεγαλύτερα του 100

. Τότε το $S \cup (-S) \cup \{0\}$ δεν είναι ομάδα.

BAGGP93 · #5

Σωστά κύριε Δημήτρη. Ευχαριστούμε για την παρατήρηση.

BAGGP93 · #6

Demetres έγραψε:
BAGGP93 έγραψε:
Θέτουμε $\displaystyle{G=S\cup (-S)\cup \left\{0\right\}}$ . Εξ' υποθέσεως, το $\displaystyle{G}$ είναι υποομάδα της $\displaystyle{\left(\mathbb{Z},+\right)}$
Βαγγέλη, δεν ισχύει αυτό. Για να ίσχυε θα έπρεπε να ξέραμε πως αν $a,b \in S$ με τότε $(b-a) \in S$ , κάτι το οποίο δεν δίνεται.

Για παράδειγμα θα μπορούσε το να είναι όλα τα πολλαπλάσια του τα οποία είναι μεγαλύτερα του . Τότε το $S \cup (-S) \cup \{0\}$ δεν είναι ομάδα.

Αν θεωρήσουμε την υποομάδα που παράγεται από το $\displaystyle{G}$ , τότε είμαστε εντάξει ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Δεν νομίζω .
Αν σου βγεί η $\mathbb{Z}$ τότε τι συμπέρασμα θα βγάλεις;
Με την ευκαιρία από που είναι η άσκηση;

BAGGP93 · #8

Την άσκηση την είδα από εδώ

http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php? ... 72&start=0

Μου άρεσε και είπα να την θέσω και στο

Υπάρχουν και άλλες ιδέες εκεί.

Υποσύνολο φυσικών

Υποσύνολο φυσικών

Re: Υποσύνολο φυσικών

Re: Υποσύνολο φυσικών

Re: Υποσύνολο φυσικών

Re: Υποσύνολο φυσικών

Re: Υποσύνολο φυσικών

Re: Υποσύνολο φυσικών

Re: Υποσύνολο φυσικών

Μέλη σε σύνδεση