Το Πρόβλημα του Κινούμενου Καναπέ

[paulgai]

1) Δίνεται το χωρίου του σχήματος που αποτελείται από δυο τεταρτοκύκλια , και το ορθογώνιο από το οποίο έχει αφαιρεθεί το ημικύκλιο .
Να βρεθεί η τιμή της ακτίνας ώστε το χωρίο να έχει το μέγιστο εμβαδόν.

1.jpg (18.3 KiB) Προβλήθηκε 1460 φορές

2) Αν το χωρίο αποτελεί την κάτοψη ενός καναπέ, τότε αυτός ο καναπές μπορεί να περάσει από στροφή διαδρόμου πλάτους 1. (βλ. animation)



Να δείξετε ότι αν κάποιο χωρίο (οποιουδήποτε σχήματος) έχει εμβαδόν πάνω από δεν μπορεί να περάσει από τη στροφή.

Υ.Γ. Το συνημμένο αρχείο geogebra ενδεχομένως να βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση της κίνησης.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αποτελεί ανοικτό πρόβλημα η εύρεση του σχήματος με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν που μπορεί να περάσει από τη στροφή. Το εμβαδόν του ιδεατού αυτού σχήματος ονομάζεται σταθερά του καναπέ. Η άσκηση αυτή δείχνει ότι:
.

[paulgai]

1) Τα δύο τεταρτοκύκλια και έχουν σταθερό εμβαδόν το οποίο ισούται με . Για το εμβαδόν του χωρίου έχουμε:



Επομένως το εμβαδόν του χωρίου εκφράζεται συναρτήσει της ακτίνας ως εξής:

όπου

Η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το οποίο είναι:

.